平面向量（概念+新定义+线性运算+基本定理）专项练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026下学期数学高一下平面向量（概念+新定义+线性运算+基本定理） 一、平面向量的实际背景及基本概念 1．对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若与共线，则存在唯一的实数，使得 D．若，满足，且与同向，则 2．设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 3．下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 4．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 5．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 6．(多选题)已知是不共线的向量，下列向量共线的有（    ） A． B． C． D． 二、向量新定义 7．设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（    ） A． B．1 C． D． 8．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④． (1)设，求和； (2)证明：； (3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值． 三、平面向量的线性运算 9．设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 10．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 12．若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 四、平面向量的数量积 13．下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 14．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 16．已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 17．和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 18．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 19．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 20．已知平面向量满足在方向上的投影为1，则（    ） A．4 B． C．5 D．与有关 21．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 23．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 24．已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 25．已知，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值． 26．已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求向量的坐标. 27．对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②证明：. 五、平面向量的基本定理及坐标表示 28．已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求在方向上投影向量的坐标． 29．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 30．已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 32．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 B B D D D BC B B A B 题号 12 13 16 17 18 19 20 21 22 24 答案 B ACD D B A C C A ABD D 题号 29 30 31 答案 B D C 1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 6．BC 7．B 8．(1)，. (2)证明详见解析. (3). 9．B 10．A 11．B 12．B 13．ACD 14． 15．(1)证明见解析 (2) 16．D 17．B 18．A 19．C 20．C 21．A 22．ABD 23． 24．D 25．(1)2； (2). 26．(1) (2)或. 27．(1) (2)①；②证明见解析 28．(1) (2) 29．B 30．D 31．C 32．(1); (2) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学期数学高一下平面向量（概念+新定义+线性运算+基本定理） 一、平面向量的实际背景及基本概念 1．（23-24高一下·山东聊城·期中）对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若与共线，则存在唯一的实数，使得 D．若，满足，且与同向，则 【答案】B 【分析】根据向量的加法与减法法则，判断出A、B两项的正误；根据向量共线的条件，判断出C项的正误；根据向量的定义得到两个向量不能比较大小，从而得出D项的正误． 【详解】A．根据平面向量的加法法则，可知，故错误，不符合题意； B．根据平面向量的减法法则，可知，故正确，符合题意； C．若与共线，为零向量且不是零向量，则不存在实数，使得成立，故错误，不符合题意； D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以两个向量不能比较大小， 因此“若，满足，且与同向，则”是假命题，故错误，不符合题意；． 故选：B． 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    3．（25-26高二上·北京海淀·月考）下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 【答案】D 【分析】根据零向量和单位向量的定义可判断AB的正误，根据向量相等的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，因为零向量有任意方向，故A错误； 对于B，因为单位向量就是模长为1的向量，方向任意， 故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，两个向量不相等时，当它们的方向不同，模长可以相等，故C错误； 对于D，两个向量相等指两个向量方向相同，且模长相等， 故当两个相等向量的起点相同时，终点一定相同，故D正确， 故选：D. 4．（24-25高一下·陕西西安·月考）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 5．（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 6．（20-21高一·江苏·课后作业）(多选题)已知是不共线的向量，下列向量共线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量的共线条件，以及向量的共线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】因为是不共线的向量，所以都不是零向量， 对于A中，若与共线，则向量为共线向量，与已知矛盾，所以与不共线； 对于B中，因为，所以与共线； 对于C中，因为，所以与共线； 对于D中，若与共线，则存在事实，使得， 即，所以， 因为是不共线的向量，所以，此时方程组无解， 即不存在使得与共线. 故选：BC. 二、向量新定义 7．（22-23高一下·河北保定·期中）设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积运算律列方程求得，结合同角三角函数关系、新定义求值即可. 【详解】由，解得， 又，所以，所以． 故选：B 8．（24-25高一下·广东深圳·期中）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④． (1)设，求和； (2)证明：； (3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值． 【答案】(1)，. (2)证明详见解析. (3). 【分析】（1）代入运算法则①②③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设，表示出，即可得， 根据完全平方数的性质计算其最小值；设，根据定义即可求的值. 【详解】（1）由，得. 则， 综上，，. （2）由已知设， 则 ， ， 所以 . 综上，得证. （3）令，又，且， 则， ，当时取等号. 所以. 当取最小值时，， . 设， 则， 综上，的最小值为，此时的值为0. 三、平面向量的线性运算 9．（2009·山东·高考真题）设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项得.故选B 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 11．（山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题）如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得. 【详解】在矩形中，. 故选：B 12．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 四、平面向量的数量积 13．（24-25高一下·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 14．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 15．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得出结论； （2）根据题意可知，再结合余弦定理计算可得，，代入计算可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； （2）因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 16．（2019·河北沧州·一模）已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中条件先求出向量与的数量积，再由 即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以，因此， 所以，因此向量与的夹角为. 故选D 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型. 17．（24-25高一下·广东深圳·期末）和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或， 故或，结合选项可知选项B即为所求. 故选：B 18．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A. 19．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【详解】由题意：. 故选：C 20．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量满足在方向上的投影为1，则（    ） A．4 B． C．5 D．与有关 【答案】C 【分析】由投影的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】由在方向上的投影为1可知， 又，故，而， 所以. 故选：C． 21．（24-25高一下·福建福州·月考）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可. 【详解】设与的夹角为，， 由题意可知，，， 则，即，故，结合，解得. 故选：A 22．（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 23．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义计算即得. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 24．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，求出终点的轨迹，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】由，得，而，则， 在平面直角坐标系中，令，设， 由，得，即， 则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，则点的轨迹为直线， 所以的最小值为. 故选：D 25．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【详解】（1）根据题意，， 又. （2）根据题意， ，即，，解得. 26．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，且向量的夹角为， 则， 则. （2）设，因为，且， 则，解得或， 所以或. 27．（23-24高一下·湖北武汉·期末）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算不等式即可； （2）①应用列举法计算古典概型即可；②应用古典概型证明即可. 【详解】（1）是的“迷你向量”， ，解得. （2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即， 要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点 故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可. 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上， 其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法： “123”代表前三步向上，剩下三步向右； “246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右； {123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}， 总共的最短路径条数，； {156，256，356，456},故经过包含的路径条数为4，， 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型， . ②同理，总共的最短路径条数为 经过包含的路径条数为，试验为古典概型， . 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 五、平面向量的基本定理及坐标表示 28．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求在方向上投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直和向量线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据向量平行的坐标表示求出，结合投影向量的公式计算即可. 【详解】（1）由可得：， 即， 解得. （2）由，可得，即， 解得，则， 因在方向上投影向量为， 故其坐标为：. 29．（20-21高一·全国·课后作业）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算，结合相等向量逐项计算判断作答. 【详解】设， 对于A，，则，无解，A不是； 对于B，，则，解得，B是； 对于C，，则，无解，C不是； 对于D，，则，无解，D不是. 故选：B 30．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【详解】由，可得， 则. 故选：D. 31．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题可先求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，， 可得. 已知，且，所以， 即，解得. 故选：C. 32．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $