专题05多边形.平行四边形与三角形中位线专项训练 (19大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题05多边形.平行四边形与三角形中位线专项训练 题型01.多边形基础与对角线计算 题型02.多边形内角和计算 题型03.多边形内外叫综合计算 题型04.多边形截角问题 题型05.多边形周长计算 题型06.平行四边形的性质 题型07.求平行线间的距离 题型08.平行线间距离的应用 题型09.平行四边形的判定与证明 题型10.添条件成为四边形 题型11.平行四边形构造与拼接问题 题型12.由平行四边形判定与性质求解 题型13.由平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定的应用 题型15.三角形中位线的计算与证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形最值问题 题型18.平行四边形动点问题 题型19.平行四边形折叠问题 解答题7题 题型01.多边形基础与对角线计算 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 2．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 4．一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．27 B．20 C．9 D．14 【答案】A 【分析】设相邻外角的度数为，则内角为；再根据相邻内角和外角的关系列方程可得该多边形为9边形，然后再根据多边形的对角线公式求解是解答本题的关键． 【详解】解：设相邻外角的度数为，则内角为， 由题意可得：，解得：； 所以该多边形的边数为 ∴这个多边形对角线的条数是． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线等知识点，根据题意得到该多边形为9边形是解答本题的关键． 题型02.多边形内角和计算 5．已知一个多边形的内角和为度，则该多边形为_____________． 【答案】 七边形 【分析】本题利用多边形内角和公式，列一元一次方程求解多边形的边数，即可得到结果． 【详解】设该多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得：， 解得， 因此该多边形为七边形． 6．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 7．如图（1），___________；如图（2），____________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） 解得： 8．如图，，则的值是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键． 先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值． 【详解】解：∵四边形的外角和为，且， ∴ 第四个外角的度数为， ∵ 与这个外角互为邻补角， ∴． 故答案为： ． 9．如图，四边形中，，，，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等，及三角形内角和为是解题的关键． 连接，将四边形分割为两个等腰三角形，利用的条件，结合三角形内角和定理，先求出中底角的度数，再算出中底角的度数，最终求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 题型03.多边形内外角综合计算 10．一个十三边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和为，掌握这一知识点是解题的关键；根据多边形的外角和为即可求解． 【详解】解：多边形的外角和为； 故选：D． 11．一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 【答案】13 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为，结合题中等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得． 12．冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和的应用，利用内角和外角的关系求得，，，的和是解题的关键． 根据题意，由外角和内角的关系可求得，，，的和，由五边形内角和可以求得五边形的内角和，由此求出，选出答案． 【详解】解：根据题意得： ，，，的外角和等于， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：． 题型04.多边形截角问题 14．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 15．一个多边形剪去一个角后，内角和为，则原多边形是___________边形． 【答案】或或 【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少三种情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数是，则， 解得， 截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多或少， 原多边形的边数是或或． 故答案是：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少，有这么三种情况． 16．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 17．若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可． 【详解】解：设截去一个角后的多边形边数为n， 则有：， 解得：， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10； 如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11； 如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12； 综上，原来多边形的边数可能是10或11或12； 故选：D． 题型05.多边形周长计算 18．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 19．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 20．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 题型06.平行四边形的性质. 21．如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 22．如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 根据平行四边形的边角对角线性质逐一判断，即得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A. ，不一定成立； B. ，不一定成立； C. ，一定成立； D. ，不一定成立． 故选：C． 23．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 24．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立，⑤根据平行四边形的性质得到结合，即可得到． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； ，， ， 故⑤正确； 综上所述正确的结论共有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 25．如图，将沿方向平移至，使与交于点，连接，若的面积为2，四边形的面积为5，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据平移的性质可得四边形、是平行四边形，过点作交于点，可得四边形、是平行四边形，运用平行四边形的性质可得，，，，根据面积关系可得，可得出，从而可得出． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∴四边形、是平行四边形， 过点作交于点， ∴四边形、是平行四边形， 由得， ∴， ∴， 又的面积为2， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴． 题型07.求平行线间的距离 26．如图，直线，则直线a，b之间的距离是____________． 【答案】线段的长度 【分析】本题考查了两平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义． 从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴直线之间的距离是线段的长度． 故答案为：线段的长度． 27．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 28．如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是____．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 29．如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 【答案】 【分析】作，在中根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作，则， 又∵， ， ， ， ， ， ， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键． 题型08.平行线间距离的应用 30．如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 31．如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键． 【详解】解：根据平行线之间的距离的定义可得，两直线的距离应该小于的长度， ∵， ∴，两直线之间的距离可以是3． 故选：D． 32．小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线间的距离，折叠问题．证明，再由折叠的性质可得，，，根据题意可得当线段最大时，最小，此时最小，则当时， 最小，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵线段最大， ∴最小，此时最小， ∵， ∴当时， 最小， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型09.平行四边形的判定与证明 33．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 34．下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是______． 【答案】①③ 【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题． 【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题； ②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题； ③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个四边形是平行四边形，那么③是真命题； ④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形是平行四边形，那么④是假命题． 综上：真命题有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的定义是解决本题的关键． 35．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知四边形中，再添加或，或能推导出或 的条件．根据平行四边形的判定定理，逐项判断各条件能否证明该四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵已知， 对于A选项，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于B选项，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于C选项，∵，∴，又∵，∴，∴， 两组对边分别平行，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于D选项，∵，∴，是本来就成立的结论， 该条件没有给出新的有效信息，无法推出另一组对边平行或， ∴不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 36．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则的值为__________． 【答案】9 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分性质，建立方程求解和的值，再计算． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则对角线与互相平分，即． 由，得，即． 由，得，即． 解方程组: 解得： 故． 故答案为：9. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线互相平分的四边形为平行四边形． 题型10.添条件成为四边形 37．如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，仍不能使四边形是平行四边形，符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 38．如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件：____________，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    【答案】（不唯一） 【分析】连结，交于点O，然后根据平行四边形的判定和性质可以得到解答． 【详解】解：如图，连结，交于点O，    ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 若，则即 ∴四边形为平行四边形， 故答案为（不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 39．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 题型11.平行四边形构造与拼接问题 40．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 41．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 42．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． . 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 43．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 题型12.由平行四边形判定与性质求解 44．如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 45．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后根据等式的性质可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后根据等量代换可得四边形的周长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长 ， 故选：B． 46．已知平行四边形中，交于点O，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先要作辅助线，利用平行四边形的性质得，，再利用三角形，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求得． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴，即． 47．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 题型13.由平行四边形性质与判定证明 48．如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：在中，，即， 则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 49．如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．连接交于，证明进而证明四边形是平行四边形，即可判断C选项，根据全等三角形的性质即判断B，D选项，即可求解． 【详解】解：连接交于点， 在平行四边形中 ∴，， ∴， 、分别是、边的中点， ， 又， ， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵ ∴ ∴与互相平分，故C正确 ∵ ，，，故B、D正确， 没有条件证明，故A不正确， 故选：A． 50．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为________． 【答案】18 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 如图，连接，，通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明四边形是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到，即可求出四边形的周长 【详解】解：如图，连接，． 和相交于点且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ，． 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：． 题型14.平行四边形性质与判定的应用 51．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 52．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为________．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 53．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图与平行四边形的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 题型15.三角形中位线的计算与证明 54．如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质得出是的中点，结合是的中点，利用三角形中位线定理可得，再根据线段的和差关系求出的长即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴为的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 55．如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图：    ∵点、分别是、边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 56．如图，在中，是上一点，若、分别是、的中点，的面积为6，则的面积为__________．    【答案】24 【分析】连接，先证明，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接．   、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型． 题型16.三角形中位线的实际应用 57．在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 58．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 59．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 题型17.平行四边形最值问题 60．如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为7． 61．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___． 【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵平行四边形的坐标分别为、、、， ∴，， ∵点A关于的对称点为， ∴， 在中，由三角形三边关系可知：， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形三边的关系，以及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 62．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值4． 故选：D． 63．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 题型18.平行四边形动点问题 64．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得是的中位线，即，当取最小值时，则也为最小，则当时，取最小，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，则也为最小， ∴当时，取最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为． 65．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， . ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 66．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 67．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，____________，____________． 【答案】 8 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得，由折叠得，从而得，所以；由平行四边形的性质得，，，，由折叠得，，，可证明，得；过点作于点，分别求出，，从而可求出即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵, ∴， 又， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8；． 题型19.平行四边形折叠问题 68．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握这些性质并能综合运用，推导出线段之间的等量关系是解题的关键． 先利用平行四边形的性质得到对边相等，再根据折叠性质和等边三角形的性质，推导出的边长，进而求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由折叠性质可知，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 69．如图，中，，且，将对折，使点和点重合，求折痕的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设相交于点，作，交延长线于点，根据平行四边形的性质得到，由折叠可知垂直平分，，可证明，得到，求出，得到，求出，可证明，得到，求出，得到． 【详解】解：如图，设相交于点，作，交延长线于点， ， 中，，且， ，， ， 由折叠可知垂直平分，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 70．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 71．直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 解答题 72．小明和小红在一起探讨有关“多边形内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小红出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小红想了想，说：“这道题目有问题．” (1)请你指出问题在哪里； (2)他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 【答案】(1)四边形中最大内角不能等于 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了多边形内角和，利用多边形内角和定理得出是解题关键． （1）根据多边形的每一个内角都小于，计算即可判断； （2）将度数比改为．利用四边形内角和为，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题中条件可知，四边形中最大内角的度数为， 多边形的每一个内角都小于， ∴这个角不能是四边形的内角， ∴四边形中最大内角不能等于； （2）解：将度数比改为， 四边形的内角和为， ∴四个内角的度数分别为，，，． 73．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 【答案】（1）边数为7；（2）或 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，勾股定理的应用，注意：任意多边形的外角和都是，与边数无关．掌握这几个定理或公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． （2）分两种情况：斜边为8或斜边为x，再利用勾股定理求解边长即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 所以这个多边形的边数是7． （2）分两种情况： ①当斜边为8时，， ②当斜边为x时，． 综上所述：这个三角形的第三边长是或． 74．如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． (1)点到的距离为________； (2)①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． (3)①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) (2)①直角三角形② (3)①②或 【分析】（1）根据面积及一边长即可求得结果； （2）①求出各边长，利用勾股定理的逆定理可得；②分别求出点落在边上时，的长，则取值范围可得； （3）①当时，值最小；②分类讨论三边两两相等时的位置，进而求得的长． 【详解】（1）解：过点A作于， ∵，， ∴， 点到的距离为：； 故答案为：． （2）①解：是直角三角形；理由如下， 连接，过点A作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：是直角三角形． ②解：∵是直角三角形，， ∴， ∴， 当在边上时，如图所示， ∵， ∴是等边三角形，， ∴； 当在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：①由（1）可知，在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知： ∵在中，，， ∴由垂线段最短可得：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图所示：分别以为圆心，为半径作圆， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上； 当时，是的交点，因此在上，是等边三角形，；或在上，是等边三角形，； 当时，是与垂直平分线的交点，因此在上，是等边三角形，； 当时，是与的交点，因此在上，是等边三角形，； 综上所述：或．     【点睛】本题考查了图形变换——翻折、平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题． 75．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，当经过边的中点D时，求证：； (2)①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形C直接写出结果）； ②当t为______时，（直接写出结果） 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等等： （1）由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，由此即可证明； （2）①当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可；②先根据平行线间间距相等得到中边上的高的长度与中边上的高的长度相等，进而得到，再仿照（2）①分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或； ②∵， ∴中边上的高的长度与中边上的高的长度相等， ∵， ∴， 由前面可知当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则， ∴或， 解得或； ∴当或时，， 故答案为：或． 76．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．运用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】证明：连接交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 77．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 78．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形.平行四边形与三角形中位线专项训练 题型01.多边形基础与对角线计算 题型02.多边形内角和计算 题型03.多边形内外叫综合计算 题型04.多边形截角问题 题型05.多边形周长计算 题型06.平行四边形的性质 题型07.求平行线间的距离 题型08.平行线间距离的应用 题型09.平行四边形的判定与证明 题型10.添条件成为四边形 题型11.平行四边形构造与拼接问题 题型12.由平行四边形判定与性质求解 题型13.由平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定的应用 题型15.三角形中位线的计算与证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形最值问题 题型18.平行四边形动点问题 题型19.平行四边形折叠问题 解答题7题 题型01.多边形基础与对角线计算 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 2．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 4．一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．27 B．20 C．9 D．14 题型02.多边形内角和计算 5．已知一个多边形的内角和为度，则该多边形为_____________． 6．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 7．如图（1），___________；如图（2），____________． 8．如图，，则的值是____________． 9．如图，四边形中，，，，，则的度数是____________． 题型03.多边形内外角综合计算 10．一个十三边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 11．一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 12．冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 13．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型04.多边形截角问题 14．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 15．一个多边形剪去一个角后，内角和为，则原多边形是___________边形． 16．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 17．若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 题型05.多边形周长计算 18．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 19．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 20．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 题型06.平行四边形的性质. 21．如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 22．如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 24．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．如图，将沿方向平移至，使与交于点，连接，若的面积为2，四边形的面积为5，则的面积为______． 题型07.求平行线间的距离 26．如图，直线，则直线a，b之间的距离是____________． 27．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 28．如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是____．    29．如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 题型08.平行线间距离的应用 30．如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    31．如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 32．小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 题型09.平行四边形的判定与证明 33．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 34．下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是______． 35．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 36．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则的值为__________． 题型10.添条件成为四边形 37．如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件：____________，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    39．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 题型11.平行四边形构造与拼接问题 40．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 41．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 42．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 43．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 题型12.由平行四边形判定与性质求解 44．如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 45．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 46．已知平行四边形中，交于点O，若，则的取值范围是_____． 47．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 题型13.由平行四边形性质与判定证明 48．如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 49．如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．与互相平分 D． 50．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为________． 题型14.平行四边形性质与判定的应用 51．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 52．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为________．    53．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 题型15.三角形中位线的计算与证明 54．如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 55．如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为______．    56．如图，在中，是上一点，若、分别是、的中点，的面积为6，则的面积为__________．    题型16.三角形中位线的实际应用 57．在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 58．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 59．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 题型17.平行四边形最值问题 60．如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 61．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___． 62．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 63．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 题型18.平行四边形动点问题 64．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 65．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 66．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 67．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，____________，____________． 题型19.平行四边形折叠问题 68．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 69．如图，中，，且，将对折，使点和点重合，求折痕的长为___________． 70．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 71．直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 解答题 72．小明和小红在一起探讨有关“多边形内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小红出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小红想了想，说：“这道题目有问题．” (1)请你指出问题在哪里； (2)他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 73．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 74．如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． (1)点到的距离为________； (2)①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． (3)①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 75．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，当经过边的中点D时，求证：； (2)①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形C直接写出结果）； ②当t为______时，（直接写出结果） 76．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 77．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 78．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $