8.4～8.5 综合训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 8.4~8.5 综合训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.如图所示，点A、线m、面α之间的数学符号语言关系为(　　) A.m⊂α，A∉α B.m⊂α，A∉m C.m∈α，A∉m D.m∈α，A∈m 2.根据所学知识判断下列描述错误的是(　　) A.不相交的直线是平行直线 B.经过两条平行直线有且只有一个平面 C.不共线的三点确定一个平面 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 3.下列四个说法中正确的是(　　) A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β 4.下列命题正确的是(　　) A.若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α B.若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个 C.三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域 D.已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，则直线PM与QN可能相交 5.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，α∩β＝m，则“l∥m”是“l∥β”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3AD＝3，E在AB上且AE＝，将△ADE沿DE折起到△FDE，使得F∉平面BCDE，点G在线段CF上，若BG∥平面FDE，则的值等于(　　) A. B. C. D. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的是(　　) 8.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中(　　) A.平面EFGH∥平面ABCD B.BC∥平面PAD C.AB∥平面PCD D.平面PAD∥平面PAB 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PBC和△PAC的重心，则直线DE与AB的位置关系是________. 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为____________. 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在底面ABCD内，若直线D1P与平面A1BC1无公共点，则线段D1P的最小值为________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)如图，AD∥BC，EG∥AD，设平面BCF与平面EFG的交线为l，求证：BC∥l. 13.(15分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面BCHG∥平面A1EF. 14.(15分)已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，AD，CC1的中点. (1)求证：MP∥平面ABB1A1； (2)过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面(保留作图痕迹)，并计算截面的周长. 第八章 8.4~8.5 综合训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.如图所示，点A、线m、面α之间的数学符号语言关系为(　　) A.m⊂α，A∉α B.m⊂α，A∉m C.m∈α，A∉m D.m∈α，A∈m 解析：B　由图可知：A∉m，A∈α，m⊂α，故选B. 2.根据所学知识判断下列描述错误的是(　　) A.不相交的直线是平行直线 B.经过两条平行直线有且只有一个平面 C.不共线的三点确定一个平面 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 解析：A　对于A，在空间内不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确. 3.下列四个说法中正确的是(　　) A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β 解析：C　选项A：当α∩β＝l，m∥l，m⊂α时，平面α内的直线m上有无数个点到平面β的距离相等.判断错误； 选项B：在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，γ与β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b.判断错误； 选项C：平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β.判断正确； 选项D：如图，α∩β＝l，平面α内的一个平行四边形相对的两边m，n与平面β内的一个平行四边形相对的两边p，q满足m∥n∥l，p∥q∥l.判断错误. 4.下列命题正确的是(　　) A.若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α B.若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个 C.三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域 D.已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，则直线PM与QN可能相交 解析：C　对于A：若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α或b⊂平面α，故A错误；对于B：若直线a与b异面，则过空间任意一点(不妨设为A)与a和b都平行的平面可以没有，如果有只有一个，事实上，过直线a上任一点P作b的平行线c，则a，c相交，a，c确定的平面为γ，若A∈γ，则过A点作不出平面与a，b都平行，故B错误；对于C：当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分；当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，故C正确；对于D：已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，则直线PM与QN不可能相交，若PM与QN相交，则PM与QN确定一个平面(不妨记作τ)，则P∈τ，Q∈τ，所以a⊂τ，同理b⊂τ，则a与b共面，矛盾，故D错误. 5.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，α∩β＝m，则“l∥m”是“l∥β”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　因为l∥β，l⊂α，α∩β＝m，则l∥m，所以“l∥m”是“l∥β”的必要条件；因为l∥m，l⊂α，α∩β＝m，所以l⊄β，且m⊂β，所以l∥β，所以“l∥m”是“l∥β”的充分条件.综上，则“l∥m”是“l∥β”的充要条件. 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3AD＝3，E在AB上且AE＝，将△ADE沿DE折起到△FDE，使得F∉平面BCDE，点G在线段CF上，若BG∥平面FDE，则的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：C　作BM∥DE交CD于点M，连接MG.则四边形BEDM是平行四边形，DM＝2，CM＝，由BM∥DE，BM⊄平面FDE，DE⊂平面FDE，可得BM∥平面FDE. 又BG∥平面FDE，BM∩BG＝B，BM⊂平面BGM，BG⊂平面BGM， 所以平面FDE∥平面BMG. 又平面FDE∩平面FDC＝FD，平面BMG∩平面FDC＝MG，所以MG∥FD， 因此＝＝. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的是(　　) 解析：ABD　在A，B选项中，∵M，N分别为A1C1，B1C1的中点，则MN∥A1B1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∴MN∥AB，∵MN⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，则AB∥平面MNP，故A，B选项正确；在C选项中，如图所示，取AB的中点Q，连接MQ，PQ，∵M，N分别为A1B1，B1C1的中点，则MN∥A1C1，同理可证PQ∥AC，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，∴MN∥PQ，同理可证MQ∥PN，则四边形MNPQ为平行四边形，则AB与平面MNPQ相交，C选项错误；在D选项中，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，且N，P分别为AA1，BB1的中点，∴AN∥PB且AN＝PB，则四边形ABPN为平行四边形，∴AB∥PN，∵AB⊄平面MNP，PN⊂平面MNP，∴AB∥平面MNP，D选项正确. 8.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中(　　) A.平面EFGH∥平面ABCD B.BC∥平面PAD C.AB∥平面PCD D.平面PAD∥平面PAB 解析：ABC　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，易证EH∥FG，所以E，F，G，H在同一平面.因为EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故B，C正确；平面PAD、平面PBC、平面PAB、平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PBC和△PAC的重心，则直线DE与AB的位置关系是________. 答案：平行 解析：如图，连接PD并延长交CB于点M，连接PE并延长交AC于点N，连接MN.∵D，E分别是△PBC和△PAC的重心，∴M，N分别是边CB，CA的中点，且＝＝，故DE∥MN.在△ABC中，由中位线定理知MN∥AB，∴DE∥AB. 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为____________. 答案：平行四边形 解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，则AE∥C1F， 同理，由平面ADD1A1∥平面CBB1C1可得AF∥C1E， 所以四边形AEC1F为平行四边形. 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在底面ABCD内，若直线D1P与平面A1BC1无公共点，则线段D1P的最小值为________. 答案： 解析：连接AD1，CD1，AC，如图所示. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 因为AC∥A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1， 因为AD1∥BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以AD1∥平面A1BC1， 又因为AC⊂平面AD1C，AD1⊂平面AD1C，且AC∩AD1＝A，所以平面AD1C∥平面A1BC1. 因为D1P与平面A1BC1无公共点，所以D1P∥平面A1BC1，又D1∈平面AD1C，所以D1P⊂平面AD1C， 当D1P⊥AC时，D1P取得最小值. 因为AC＝AD1＝CD1＝＝2， 所以D1P的最小值为＝. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)如图，AD∥BC，EG∥AD，设平面BCF与平面EFG的交线为l，求证：BC∥l. 证明：因为AD∥BC，EG∥AD，所以BC∥EG， 又BC⊄平面EFG，EG⊂平面EFG， 所以BC∥平面EFG，又BC⊂平面BCF，平面BCF∩平面EFG＝l， 所以BC∥l. 13.(15分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面BCHG∥平面A1EF. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. (2)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB， ∴A1G∥EB，A1G＝A1B1＝AB＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥BG， ∵A1E⊂平面A1EF，BG⊄平面A1EF，∴BG∥平面A1EF. 又E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，又GH∥BC， ∴GH∥EF. ∵EF⊂平面A1EF，GH⊄平面A1EF，∴GH∥平面A1EF. 又BG∩GH＝G，BG⊂平面BCHG，GH⊂平面BCHG， ∴平面BCHG∥平面A1EF. 14.(15分)已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，AD，CC1的中点. (1)求证：MP∥平面ABB1A1； (2)过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面(保留作图痕迹)，并计算截面的周长. (1)证明：连接MP，D1C，A1B，则由中位线定理得MP∥D1C， 又由正方体性质得A1D1∥BC且A1D1＝BC， 所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C， 所以A1B∥MP，又A1B⊂平面ABB1A1，MP⊄平面ABB1A1， 所以MP∥平面ABB1A1. (2)解：如图，延长MP得MP与DD1，DC的交点分别为S，H， 连接NS，NH，则可得到过M，N，P三点的正方体的截面NQMPG. 由图可知SD1＝D1M＝CH＝CP＝1，故QS＝QM，GH＝GP， 所以截面的周长为MP＋PG＋GN＋NQ＋QM＝MP＋NH＋NS＝＋2＝＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $