16.1 二次根式及其性质（课件）沪科版（新教材）2025-2026学年八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 16.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 # 沪科版八年级下册 16.1 二次根式及其性质 练习题 ### 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列式子中，属于二次根式的是（） A. $\sqrt{-3}$ B. $\sqrt[3]{5}$ C. $\sqrt{x^2+1}$ D. $\sqrt{x}$（$x<0$） 2. 使$\sqrt{x-2}$有意义的$x$的取值范围是（） A. $x>2$ B. $x\geq2$ C. $x<2$ D. $x\leq2$ 3. 下列计算正确的是（） A. $(\sqrt{7})^2=-7$ B. $\sqrt{(-4)^2}=-4$ C. $\sqrt{9}=\pm3$ D. $\sqrt{16}=4$ 4. 若$\sqrt{(a-3)^2}=3-a$，则$a$的取值范围是（） A. $a\geq3$ B. $a\leq3$ C. $a>3$ D. $a<3$ 5. 下列根式中，是最简二次根式的是（） A. $\sqrt{12}$ B. $\sqrt{0.3}$ C. $\sqrt{8}$ D. $\sqrt{7}$ ### 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 当$x$________时，$\sqrt{3x+6}$有意义。 2. 计算：$(\sqrt{5})^2=$________；$\sqrt{(-6)^2}=$________。 3. 若$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}=y+4$，则$x^y=$________。 4. 化简：$\sqrt{27}=$________；$\sqrt{\frac{1}{2}}=$________。 5. 若$\sqrt{18n}$是整数，则正整数$n$的最小值为________。 ### 三、计算题（每题6分，共24分） 1. $\sqrt{49}-\sqrt{16}+\sqrt{(-3)^2}$ 2. $(\sqrt{10})^2-\sqrt{25}+\vert-3\vert$ 3. $\sqrt{8}\times\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{6}\div\sqrt{2}$ 4. $(\sqrt{3}-2)^2+(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$ ### 四、解答题（共46分） 1. （8分）已知实数$a$、$b$在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt{a^2}-\sqrt{(a+b)^2}+\vert b-a\vert$。 2. （8分）若$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+3$，求$x^y$的算术平方根。 3. （10分）观察下列各式： $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$…… （1）写出第4个等式； （2）用含$n$（$n\geq1$的整数）的式子表示你发现的规律，并证明。 4. （10分）已知$\sqrt{x-3}+\vert y+1\vert+(z-2)^2=0$，求$x+y+z$的平方根。 5. （10分）若$a$、$b$、$c$为$\triangle ABC$的三边，化简$\sqrt{(a+b-c)^2}+\sqrt{(a-b-c)^2}+\sqrt{(b-a-c)^2}$。 ### 参考答案 一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 二、1.$x\geq-2$ 2.5；6 3.1 4.$3\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 5.2 三、1.6 2.8 3.$2+\sqrt{3}$ 4.$8-4\sqrt{3}$ 四、1.$-a$ 2.3 3.（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$；（2）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（证明略） 4.$\pm2$ 5.$a+b+c$ 需要我帮你整理**二次根式性质**的核心知识点总结吗？ 2026年4月6日星期一11时54分19秒 2026年4月6日星期一11时54分20秒 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 非负数. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1) 如图的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． ① 根指数都为 2； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 1 两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数(式) a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 归纳总结 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 当 a≥0 时， ≥0. 归纳总结 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 实数 x 为何值时下列式子有意义? 解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 所以当 x≥-3 时， 有意义. (2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0， 所以当 x 为一切实数时， 有意义. 例3 若 ，求 a - b + c 的值. 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. 归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式. 1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( )² = 2. 类似地，计算： = ， 二次根式的性质 2 5 0 2. 类似地，计算： ， = ， 又如 ，再计算 . = ， 0.5 0 0.5 观察上式，你能得出什么结论呢？ 归纳总结 一般地，有 性质1 ＝a (a≥0). 性质2 a， (a≥0)， -a ，(a＜0). 0，(a≥0)， 例4 计算： ； . 解：(1) (2) 方法一： 方法二： 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4. 当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |. ∵ π＜4， ∴ 4－π＞0. ∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π. 返回 B 中考考法 16 C 返回 中考考法 17 返回 C 中考考法 18 m≥1 返回 中考考法 19 中考考法 20 中考考法 返回 中考考法 返回 B 中考考法 23 1 返回 中考考法 24 B 返回 中考考法 25 D 返回 中考考法 26 D 返回 中考考法 27 B 返回 中考考法 28 中考考法 29 返回 中考考法 30 二次根式 性质 定义 带有二次根号 被开方数为非负数 ＝a (a≥0). 性质1 a，(a≥0)， -a，(a＜0). 0，(a＝0)， 性质2 1．下列式子：，，，，，，，.其中一定是二次根式的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知是二次根式，则a的值可以是(　　) A．2 B．9 C．－2 D．30 3. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是(　　) A. B. C. D. 4.若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是________． 5．求下列式子中字母x的取值范围： (1)； 【解】要使有意义，则3－2x≥0，∴x≤. (2)； 【解】要使有意义，则x－4＞0，∴x＞4. (3). 【解】要使有意义，则－(x－2)2≥0. ∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＝0，∴x＝2. 6．[2025蚌埠期末]已知y＝－＋9，则xy的算术平方根为(　　) A．36 B．6 C．－6 D．±6 7．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为________． 8. ()2的值为(　　) A．－2 026 B．2 026 C．2 0262 D．－2 0262 9．化简()2＋|x－2|的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x 10.已知＝1－2a，那么a的取值范围是(　　) A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤ 11．[2025安徽]下列计算正确的是(　　) A.＝－a B.＝－a C．a3·(－a)2＝a4 D．(－a2)3＝a6 12．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：－|a－b|＋＋|b＋c|. 【解】根据数轴可得c＜b＜0＜a， ∴a－b＞0，c－a＜0，b＋c＜0. ∴－|a－b|＋＋|b＋c| ＝a－(a－b)－(c－a)－(b＋c) ＝a－a＋b－c＋a－b－c ＝a－2c. $