精品解析：湖北襄阳市第五中学2025-2026学年高一下学期4月月考测试数学试卷

襄阳五中2028届高一年级下学期4月月考测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则求解. 【详解】. 故选：A 2. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. 故选：A. 3. 已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，且，应用向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，又，且，，三点共线， 所以，则. 故选：D 4. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，可求得与的合力，由三个力处于平衡状态，即可得答案. 【详解】因为，，与的夹角为120°， 根据余弦定理，可得与的合力为， 因为三个力处于平衡状态，合力为0， 所以大小为. 故选：B 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A. 6. 在中，角的对边分别为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为 ， 所以， 因为，所以，或舍去，可得， 因为，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，可得， ，所以. 故选：D. 7. 已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 8. 已知中，，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，则角最大， 由余弦定理可得， 即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 10. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 若，，则的外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用数量积的运算律及数量积的性质计算判断ABD；利用正弦定理求出外接圆半径判断C. 【详解】非零向量满足，设，则， 对于A，由，得，解得， ，而，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由选项A知，，则外接圆半径，C正确； 对于D，显然，由， 得，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值是，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 13. 在平行四边形中，，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得，然后利用向量夹角公式求得正确答案. 【详解】依题意， 所以， 所以. 故答案为： 14. 在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件化简三角形面积的平方的表达式，结合基本不等式、二次函数的性质求得的最大值，从而求得的最大值. 【详解】由三角形面积公式可得， 可得， ∵，∴， ∴ ， 当且仅当时等号成立， 结合二次函数的性质可知：当时， 取得最大值，所以S的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若//，且，求的坐标； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行以及其模长，列出方程组，求解即可； （2）求得与的坐标，结合其数量积为正数，且不共线，进而求得的范围. 【小问1详解】 设，，，，即； 又，，解得或， 或． 【小问2详解】 由题可知，，， 与的夹角是锐角，，解得， 又与不共线，，即， 实数的取值范围是． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角平方关系即可求解； （2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解； （3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为，所以.又，所以， 所以. 而，所以， 所以. 【小问2详解】 由且，得， 所以 . 又，所以. 【小问3详解】 由（2）知，所以， 所以. 又，所以， 所以. 17. 在中，分别为角的对边，向量，，且. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案； （2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长. 【小问1详解】 因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. 小问2详解】 在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 18. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. （1）求角A的大小； （2）若，求的值； （3）若，且点G是的重心，求线段的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理化简得到，求出，可得； （2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案； （3）由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 则，可得， 又因为，则， 则，所以； 【小问2详解】 由题意可得：，， 由D、M、C三点共线得， 由B、M、E三点共线可得， 则，解得， 可得，可得， 所以； 【小问3详解】 由重心定义得，则， 又因为，可得， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 即，所以线段GM的最小值为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳五中2028届高一年级下学期4月月考测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简得（ ） A. B. C. D. 2. 已知内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 3. 已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 4. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 10. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 若，，则的外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 11. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 13. 平行四边形中，，则_______. 14. 在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若//，且，求的坐标； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求值； （3）求角的大小． 17. 在中，分别为角的对边，向量，，且. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，，，求的周长． 18. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. （1）求角A大小； （2）若，求值； （3）若，且点G是的重心，求线段的最小值. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $