21.2 平行四边形（小模块.微专题.大压轴）(十七大题型） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.2 平行四边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用平行四边形的性质求角 模块10 利用平行四边形的判定与性质证明 模块2 利用平行四边形的性质求线段长 微专题1全等三角形拼接平行四边形问题 模块3 利用平行四边形的性质求周长 微专题2平行四边形中的基本作图问题 模块4 利用平行四边形的性质求面积 微专题3求与已知三点组成平行四边形的点的个数 模块5 利用平行四边形的性质证明 压轴1 平行四边形与实际应用问题 模块6添加条件证明平行四边形 压轴2 平行四边形与新定义问题 模块7证明平行四边形 压轴3 平行四边形中的折叠问题 模块8 确定平行四边形的个数 压轴4平行四边形中的动点问题 模块9利用平行四边形的判定与性质求解 模块通关·举一反三 【模块一】利用平行四边形的性质求角 【方法点拨】平行四边形的性质为求角的度数提供了理论依据，因为平行四边形对角相等，邻角互补，所以平行四边形与等腰三角形类似，知任意一角可求其余的角。 【例1】（2024-2025青海省格尔木市八下期中）如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（    ） A．55 B．50 C．40 D．35 【变式1-3】如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【模块二】利用平行四边形的性质求线段长 【方法点拨】平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分为求线段长提供了理论依据，特别借助等腰三角形进行线段转化，利用勾股定理进行计算是常用方法。 【例2】（2025-2026 学年湘教版七上期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【变式2-1】（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，若，，则BD的长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式2-3】如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【模块三】利用平行四边形的性质求周长 【例3】（2025-2026济南市莱芜区上学期期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 【变式3-1】如图，在中P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是（    ） A．18 B．24 C．23 D．14 【变式3-2】如图，在中，对角线交于点，周长为18，过点作交于点，连接，则的周长为（　　） A．18 B．9 C．6 D．3 【变式3-3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【模块四】利用平行四边形的性质求面积 【方法点拨】平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分为求平行四边形中三角形面积提供了理论依据， 1、平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等；2、平行线之间距离处处相等往往和同（等）底同高面积相等结合。 【例4】（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【变式4-1】如图，为的对角线，E是边上一点，连接、，若的面积为12，写出一个图中面积为6的三角形，即 ． 【变式4-2】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【变式4-3】如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，．若，求的面积． 【模块五】利用平行四边形的性质证明 【例5】（2025-2026西安市九上期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 【变式5-1】如图，已知：E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证： (1)， (2)． 【变式5-2】（2025·江苏常州·三模）如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点O，求证：与互相平分． 【变式5-3】已知，点E在对角线上且，点F在边上且，连接． (1)求证：； (2)①若，，则_____度，______度； ②猜想与的数量关系并证明． 【模块六】添加条件证明平行四边形 【例6】（2024-2025云南省曲靖市八下期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是(    )    A． B． C． D． 【变式6-3】如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【模块七】证明平行四边形 【例7】如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证： （1）AE＝CF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【变式7-1】如图，在中，点E，F在对角线上，且．证明： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式7-2】如图，在四边形中，，点在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求四边形的面积． 【变式7-3】如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【模块八】确定平行四边形的个数 【例8】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【变式8-2】如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   ) A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【变式8-3】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【模块九】利用平行四边形的判定与性质求解 【方法点拨】平行四边形的判定和性质经常综合在一起考，即先判定一个四边形是平行四边，然后再利用平行四边形的性质去解剩余的问题。做题时，不要太轻率，要综合考虑用到的考点。 【例9】如图，在中，点分别在，上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，点为的中点，求四边形的面积． 【变式9-1】如图，在中，E、F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【变式9-2】如图，在四边形中，，点在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求四边形的面积． 【变式9-3】如图，在中，，M、N分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【模块十】 利用平行四边形的判定与性质证明 【例10】如图所示，平行四边形中，点、分别为边与的三等分点，试证明： (1)四边形为平行四边形； (2)． 【变式10-1】如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式10-2】如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】全等三角形拼接平行四边形问题 【例11】如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式11-1】如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 【变式11-2】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【变式11-3】如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处）．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等． (1)图甲中的格点正方形ABCD； (2)图乙中的平行四边形ABCD． 注：图甲、图乙在答题卡上，分割线画成实线． 【微专题二】平行四边形中的基本作图问题 【例12】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【变式12-1】如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【变式12-3】（2025·甘肃武威·一模）如图，是平行四边形的对角线． (1)请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为、． ②连接、，分别与交于点； (2)求证：． 【微专题三】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例13】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D的坐标是 ． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【变式13-3】已知：在平面直角坐标系中，点，点，点C在y轴正半轴上，且． （1）试确定直线的解析式； （2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 压轴突破·素养提升 【压轴一】平行四边形与实际应用问题 【例14】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【变式14-1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【变式14-2】如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【变式14-3】如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题： (1)若，，，你能判断的形状吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，，，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积． (3)若将该区域扩大，如图3，此时，，，，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值． 【压轴二】平行四边形与新定义问题 【例15】如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ） A．3 B．6 C．7 D．9 【变式15-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【变式15-2】阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 【背景】翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 【任务】 (1)如图2，如图3，已知四边形为等垂四边形，． ①在图2中，若，则的度数为_____________； ②在图3中，若，分别平分，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由； (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式15-3】在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． (1)如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； (2)如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 【压轴三】平行四边形中的折叠问题 【例16】直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【变式16-1】如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，则的长为 ． 【变式16-2】如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式16-3】问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【压轴四】平行四边形中的动点问题 【例17】如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【变式17-1】如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式17-2】如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒请问是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.2 平行四边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用平行四边形的性质求角 模块10 利用平行四边形的判定与性质证明 模块2 利用平行四边形的性质求线段长 微专题1全等三角形拼接平行四边形问题 模块3 利用平行四边形的性质求周长 微专题2平行四边形中的基本作图问题 模块4 利用平行四边形的性质求面积 微专题3求与已知三点组成平行四边形的点的个数 模块5 利用平行四边形的性质证明 压轴1 平行四边形与实际应用问题 模块6添加条件证明平行四边形 压轴2 平行四边形与新定义问题 模块7证明平行四边形 压轴3 平行四边形中的折叠问题 模块8 确定平行四边形的个数 压轴4平行四边形中的动点问题 模块9利用平行四边形的判定与性质求解 模块通关·举一反三 【模块一】利用平行四边形的性质求角 【方法点拨】平行四边形的性质为求角的度数提供了理论依据，因为平行四边形对角相等，邻角互补，所以平行四边形与等腰三角形类似，知任意一角可求其余的角。 【例1】（2024-2025青海省格尔木市八下期中）如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 【答案】/20度 【难度】0.85 【来源】青海省格尔木市第四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的基本性质．由，可以得到，又由推得，而，由此可以求出． 【详解】解：，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ． 故答案为：． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，可证得，，据此即可求解． 【详解】解：平分， ， 中，，， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 【变式1-2】四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（    ） A．55 B．50 C．40 D．35 【答案】D 【分析】根据已知条件证明四边形EBFD是平行四边形，进而得到，由可得，求出的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴， ∴， ∵BE平分∠ABC交AD于点E，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，证明四边形EBFD是平行四边形是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【答案】D 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据平行公理推论可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【模块二】利用平行四边形的性质求线段长 【方法点拨】平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分为求线段长提供了理论依据，特别借助等腰三角形进行线段转化，利用勾股定理进行计算是常用方法。 【例2】（2025-2026 学年湘教版七上期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-1】（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，若，，则BD的长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得AO=6，在Rt△ABO中，由勾股定理可求得BO的长为10，进而可求得BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形对角线的性质、勾股定理等，熟练掌握平行四边形对角线的性质是解题的关键． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 【模块三】利用平行四边形的性质求周长 【例3】（2025-2026济南市莱芜区上学期期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省济南市莱芜区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质. 根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：C． 【变式3-1】如图，在中P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是（    ） A．18 B．24 C．23 D．14 【答案】B 【分析】由平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB＋∠CBA＝180°，再证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，然后证∠APB＝90°，最后由勾股定理求出BP＝6，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝（∠DAB＋∠CBA）＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°−（∠PAB＋∠PBA）＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴， ∴C△APB＝6＋8＋10＝24，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，根据题目中的已知条件求出DP、CP的长度是解题的关键． 【变式3-2】如图，在中，对角线交于点，周长为18，过点作交于点，连接，则的周长为（　　） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到，然后根据线段垂直平分线的性质得到，由此可求得的周长，关键是利用线段垂直平分线的性质，把要求的问题转化为已知的问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， 周长为18， ， ， ， 的周长为： 故选： B． 【变式3-3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB＋AE＋BF＋EF＝AB＋BF＋CF＋2OE，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴AB＋BC＝×36＝18， ∴四边形ABFE的周长为： AB＋AE＋BF＋EF＝AB＋BF＋CF＋2OE ＝AB＋BC＋2×3 ＝18＋6 ＝24 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，难度不大，属于中档题． 【模块四】利用平行四边形的性质求面积 【方法点拨】平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分为求平行四边形中三角形面积提供了理论依据， 1、平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等；2、平行线之间距离处处相等往往和同（等）底同高面积相等结合。 【例4】（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质，推出，进一步可得，，再由E是中点，可证明； （2）过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出的长，进一步可得平行四边形的面积，再结合（1）中结论推出的面积等于平行四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ，即， ，， 又E是中点， ， ． （2）如图，过点A作于点G，则， 又，， ， 平行四边形的面积， 由（1）知，， ， 的面积等于平行四边形的面积，即． 【变式4-1】如图，为的对角线，E是边上一点，连接、，若的面积为12，写出一个图中面积为6的三角形，即 ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【来源】贵州省大数据精准教学研究联盟2024-2025学年下学期质量监测（二）滨湖中学八年级数学 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形面积计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．过点E作于点F，根据的面积为12，得出，根据三角形面积公式，进行判断即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵的面积为12， ∴， ∴；； ∵中， ∴． 故答案为：（或或）． 【变式4-2】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式4-3】如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，．若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为． 【难度】0.85 【来源】 重庆市第七中学校2024--2025学年下学年八年级数学期末试卷 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据题意得出，利用勾股定理求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴的面积． 【模块五】利用平行四边形的性质证明 【例5】（2025-2026西安市九上期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市西咸新区秦汉中学2025-2026学年上学期九年级期中测试数学试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，则有和，结合中点得，即可证明，根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴． 【变式5-1】如图，已知：E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【来源】西藏自治区日喀则市昂仁县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，进而即可证明，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，进而推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（2025·江苏常州·三模）如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点O，求证：与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质得到，，， 根据得到，进而得到，即可得到结论； （2）连接、、，根据得到，，即可得到，进而证明为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接、、． 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 【变式5-3】已知，点E在对角线上且，点F在边上且，连接． (1)求证：； (2)①若，，则_____度，______度； ②猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①54，117；② 【难度】0.4 【来源】江西省九江市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，，结合已知，证明即可； （2）①根据三角形全等的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，角的和计算解答即可； ②根据①证明解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：54，117． ②解：猜想：，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质，商量下全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【模块六】添加条件证明平行四边形 【例6】（2024-2025云南省曲靖市八下期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】云南省曲靖市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，据此结合题意逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； C、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； 故选：A． 【变式6-1】控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【来源】 福建省厦门市音乐学校2024-2025学年八年级下学期数学期中考卷（4月） 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形等等，结合平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由，得，证出，即可得出结论． 【详解】解：一定能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出． 【变式6-3】如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】 根据平行四边形的5种判定方法分别进行分析即可． 【详解】 解：A、一组对边平行另一组对边相等不能判定判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意 B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别平行的四边形，是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形，是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【模块七】证明平行四边形 【例7】如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证： （1）AE＝CF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明即可得到答案； （2）证明，结合 可得结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△ADE和△CBF中， ， ∴（AAS）， ∴AE＝CF． （2）∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， 由（1）得AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，点E，F在对角线上，且．证明： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形． 【变式7-2】如图，在四边形中，，点在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证四边形是平行四边形． （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，则，由，可得，由平分，可得，则，由勾股定理，得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 平分， ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式7-3】如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【难度】0.65 【来源】四川省成都市郫都区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用平行四边形性质和判定证明、等边三角形的判定和性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【模块八】确定平行四边形的个数 【例8】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第五章 平行四边形（单元测试�提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册 【知识点】数图形中平行四边形的个数、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式8-1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【来源】18.1 平行四边形-2022-2023学年八年级数学下册《考点�题型�技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版） 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【变式8-2】如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   ) A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【答案】D 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解． 【详解】解：平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，准确识别复杂图形是解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序，这样方能做到不重不漏． 【变式8-3】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 【模块九】利用平行四边形的判定与性质求解 【方法点拨】平行四边形的判定和性质经常综合在一起考，即先判定一个四边形是平行四边，然后再利用平行四边形的性质去解剩余的问题。做题时，不要太轻率，要综合考虑用到的考点。 【例9】如图，在中，点分别在，上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，点为的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，进而由可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （）过作于，由可得，进而得到，由勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解； 本题考查了平行四边形的性质和判定，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的面积，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）可知四边形是平行四边形， 如图，过作于，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴四边形的面积． 【变式9-1】如图，在中，E、F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先利用内错角相等，得到，再利用平行四边形的性质，证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理，求得，然后根据三角形面积公式，得到，再利用勾股定理求得，最后利用全等三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【变式9-2】如图，在四边形中，，点在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证四边形是平行四边形． （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，则，由，可得，由平分，可得，则，由勾股定理，得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 平分， ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式9-3】如图，在中，，M、N分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得、，根据M、N分别是AD、BC的中点可得，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接ND，先说明是等边三角形的判定与性质，可得、，再根据三角形外角的性质，可得，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴，． ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图：连接ND， ∵是平行四边形， ∴． ∵N是BC的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解题的关键． 【模块十】 利用平行四边形的判定与性质证明 【例10】如图所示，平行四边形中，点、分别为边与的三等分点，试证明： (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】甘肃省酒泉市玉门油田第二中学2024-2025学年下学期八年级4月份月考数学试卷 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】直接利用平行四边形的对边平行且相等，进而得出，，即可得出答案； 利用平行四边形的性质得出，，，进而结合全等三角形的判定方法得出答案． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确应用平行四边形的性质是解题关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点、分别为边与的三等分点， ，， ，， 四边形为平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ，，， 点、分别为边与的三等分点， ，， ， 在和中 ， ． 【变式10-1】如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】广东省揭阳市揭阳真理中学2024-2025学年下学期八年级数学期末模拟卷01 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再利用证明即可得证； （2）由，得出，再结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式10-2】如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉一初学苑学校2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试卷 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，由此得到结论； （2）由平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】全等三角形拼接平行四边形问题 【例11】如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 【变式11-1】如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 【答案】3 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼接即可得． 【详解】解：如图，可拼成如下的三种平行四边形： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键 【变式11-2】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【来源】专题6.5 平行四边形的判定（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版） 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 【变式11-3】如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处）．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等． (1)图甲中的格点正方形ABCD； (2)图乙中的平行四边形ABCD． 注：图甲、图乙在答题卡上，分割线画成实线． 【来源】22.2.2 平行四边形的判定-2022-2023学年八年级数学下册《考点�题型�技巧》精讲与精练高分突破系列（沪教版） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可； （2）利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可． 【详解】（1）如图甲所示： （2）如图乙所示： 【点睛】本题考查了作图－应用与设计作图，应用与设计作图把简单作图放入实际问题中，解决此类题目的一般思路是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 【微专题二】平行四边形中的基本作图问题 【例12】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理．根据尺规作图找一点P使得四边形是平行四边形，结合各选项所涉及的判定定理进行分析． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式12-1】如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式12-2】小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市 临海市东塍镇中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题 【知识点】证明四边形是平行四边形、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②； （2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断； 选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断． 【详解】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确． 故答案为：正确；正确． （2）解：选择①： 由作图知，， ∴四边形为平行四边形． 故小吴的作法正确； 选择②： 由作图知，，垂直平分， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故小李的作法正确． 【变式12-3】（2025·甘肃武威·一模）如图，是平行四边形的对角线． (1)请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为、． ②连接、，分别与交于点； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作垂直平分线、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题干要求，进行作图即可； （2）先根据作图过程得是线段的垂直平分线，则，结合平行四边形的性质得，即，证明，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ． 在与中， ， ， ∴． 【微专题三】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例13】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题． 【详解】解： A、B、C三点的坐标分别为、、， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式13-1】在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 【变式13-2】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【变式13-3】已知：在平面直角坐标系中，点，点，点C在y轴正半轴上，且． （1）试确定直线的解析式； （2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）．（2） ． 【分析】（1）易求．把它们的坐标分别代入直线的解析式，列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值； （2）需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵，C在y轴正半轴上， ∴． 设直线的解析式为． ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）如图，①当为对角线时， ∴； ②当为对角线时，，且．所以； ③当为对角线时，，且． 则，，所以． 综上所述，符合条件的点M的坐标是 ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，平移的性质，灵活的运用以上的知识是解本题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】平行四边形与实际应用问题 【例14】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【来源】沪教版（上海）八年级数学下册 第二十二章四边形 单元A卷 【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【变式14-1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式14-2】如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【来源】13.4 课题学习 最短路径问题. 【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【变式14-3】如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题： (1)若，，，你能判断的形状吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，，，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积． (3)若将该区域扩大，如图3，此时，，，，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见详解 (2) (3)36万元 【难度】0.4 【来源】江苏省苏州市高新区第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，，进而可得，，则是等腰三角形； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）过点M作，过点A作交于P点，则四边形是平行四边形，，．同理可得，求出，进而推出当C、M、P三点共线时，最小，即最小，最小值为,由勾股定理得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：连接、，如图： 在中, ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 过B点作于E点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴种植马鞭草区域的面积为． （3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P点，则四边形是平行四边形． ∴， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、M、P三点共线时，最小，即最小，最小值为, 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴修建这三条绿道投入资金的最小值为（万元）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键． 【压轴二】平行四边形与新定义问题 【例15】如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【详解】解：如图所示： ∵矩形AD4C1B，平行四边形ACDB，平行四边形AC1D1B，上下完全一样的各有3个，还有正方形ACBC3，还有两个以AB为对角线的平行四边形AD4BD2，平行四边形C2AC1B． ∴一共有9个面积为2的阵点平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定． 【变式15-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式15-2】阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 【背景】翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 【任务】 (1)如图2，如图3，已知四边形为等垂四边形，． ①在图2中，若，则的度数为_____________； ②在图3中，若，分别平分，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由； (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①；②是，理由见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区 南宁市天桃实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】多边形内角和问题、两直线平行内错角相等、尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了新定义“等垂四边形”的理解与应用、三角形内角和定理、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义及基本作图，解题的关键是紧扣等垂四边形“一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形一边垂直”的定义，结合已知条件推导角的数量关系或完成符合定义的图形构造． （1）①：由得，结合求出；根据等垂四边形“一组对角相等”得；再利用四边形内角和为，代入已知角的度数求出； ②：由得内错角，结合角平分线定义得；通过“等量减等量，差相等”推得，进而得出（一组对角相等）；又因（满足顶点连线与四边形一边垂直），故判断四边形为等垂四边形； （2）根据等垂四边形定义，先作（满足顶点连线与一边垂直），再作（满足一组对角相等），连接相关线段得到等垂四边形． 【详解】（1）解：①∵， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴在四边形中，． 故答案为：。 ②四边形是等垂四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， 即① ∵， ∴②（等量减等量，差相等） ①②得，， 又， ∴四边形是等垂四边形． （2）如图，四边形即为所作的等垂四边形． (作法说明：作，．) 【变式15-3】在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． (1)如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； (2)如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 【答案】(1)①、；②图见解析；1； (2)图见解析 【难度】0.15 【来源】北京燕山地区2024一2025学年下学期八年级期中练习 数学试卷 【知识点】利用平行四边形的性质求解、判断能否构成平行四边形 【分析】（1）①根据的“平行连接点”的定义，利用网格的特点画出相应图形即可判断；②找到一个合适的点，写出其对角线交点的纵坐标即可，延长交轴于点，延长交轴于点，则，，当时，且，满足题意；当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件；当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件，从而得到的范围； （2）根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点直线于点，当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，此时四边形为平行四边形；当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于， 四边形为平行四边形，那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，为所求． 【详解】（1）解：①将点，，，在图中画出 由图可知，，，，能组成平行四边形；，，，能组成平行四边形， 和是的“平行连接点”， 故答案为：、； ②根据题意，如下图即为所求（答案不唯一）， 由图像可知为该平行四边形的对角线，且点在上， ，， 这个平行四边形对角线交点的纵坐标为1， 延长交轴于点，延长交轴于点，如图所示： 则，， 当时，且，满足题意； 当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件； 当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件； 的取值范围为：， 故答案为：1，； （2）解： 根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点作直线于点，如下图所示， 当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ，， 四边形为平行四边形 当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ， ， 四边形为平行四边形． 那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形， 故如图所示即为所求： 【点睛】本题考查了“平行连接点”，平行四边形的判定与性质，网格作图，熟练掌握以上知识点，读懂题意，数形结合是解题的关键． 【压轴三】平行四边形中的折叠问题 【例16】直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【来源】第五章 平行四边形（单元测试�基础卷）数学鲁教版五四制八年级上册 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 【变式16-1】如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】重庆市巴渝学校2025-2026学年九年级上学期开学验收考试数学试题 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 作于M，先证明，，得到在中，根据勾股定理可得， 设，则，，得到， 代入求出x的值，即可解答． 【详解】解：作于M，如图所示 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理可得， 设，则，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式16-2】如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【来源】云南煤炭第一中学2024-2025学年上学期期末学业水平考试八年级数学试卷 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】先作，交的延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接， 四边形是平行四边形，， ，． ，点是线段的中点， ，． 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点，，共线时，最小， ，， ， ． ，， ， ． ， 最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式16-3】问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【难度】0.65 【来源】山西省 太原市第三十七中学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【压轴四】平行四边形中的动点问题 【例17】如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【难度】0.65 【来源】 新疆乌鲁木齐六十八中2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份） 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、判断能否构成平行四边形、利用平行四边形的性质求解、列代数式 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 【变式17-1】如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或，理由见解析 【难度】0.65 【来源】 广东省 惠州市知行学校2024-2025学年下学期八年级期中模拟考试数学试卷 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，综合运用分类讨论，方程思想，数形结合等方法，掌握相关性质，判定等知识是解题的关键． （1）①根据动点运动的规律，线段的和、差关系即可求解；②如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，，点以每秒的速度运动，点以每秒的速度运动，设点的运动时间为秒， ①由运动可知，， ∵在线段上取点，使得， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 【变式17-2】如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒请问是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，的值为或． 【难度】0.85 【来源】甘肃省陇南市西和县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、分类讨论数学思想及一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示的长及的长是解题的关键． 由，，求得，因为四边形是平行四边形，，所以，因为，所以当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，再分两种情况讨论，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得． 【详解】解：存在， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 点在线段上，点在射线上， ， 当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当点与点重合时，则， ； 当点与点重合时，则， 当时，如图，四边形是平行四边形， ， ， 解得； 当时，如图，四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【变式17-3】如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3) 【难度】0.65 【来源】陕西省安康市紫阳县紫阳中学初中部2024-2025学年下学期八年级第三次月考数学试题 【知识点】添一个条件成为平行四边形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）由是边上的高，可得双勾股模型，由此列方程即可求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【详解】（1）∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）∵是边上的高， ∴，， ∵，， ∴， 解得． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当在线段上时，如图，此时，    根据题意，得， 解得．    当在线段上时，如图，此时， 根据题意，得， 解得，不合题意舍去． 故当时，以E、、、G为顶点的四边形是平行四边形． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $