第10章 小结与复习 课件 2025-2026学年沪科版 七年级数学下册

沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件） 第10章 小结与复习 第10章 相交线、平行线与平移 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版七年级数学下册第10章 小结与复习 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本章主要围绕相交线、对顶角、邻补角、垂线、平行线的判定与性质、平移等核心内容展开，是几何入门的关键章节。本小结将梳理全章知识脉络，整合核心知识点，明确重难点与易错点，通过综合例题突破知识融合应用的难点，搭配分层复习练习题，帮助同学们系统巩固本章内容，理清知识间的内在联系，提升几何推理、作图及应用能力，为后续几何学习奠定基础。 一、全章知识脉络梳理 核心主线：相交线 → 垂线 → 平行线（判定→性质） → 平移（从线的位置关系出发，逐步延伸到图形变换，贯穿“位置关系→数量关系”“数量关系→位置关系”的推理逻辑） 1. 相交线：研究两条直线相交时的角的关系（对顶角、邻补角）； 2. 垂线：相交线的特殊情况（垂直），掌握垂线的性质、画法及点到直线的距离； 3. 平行线：重点研究两条直线平行的判定方法（角推线）和性质（线推角），是本章核心； 4. 平移：图形变换的基础，结合平行线性质，掌握平移的定义、性质、作图及应用。 二、核心知识点整合（重点必记） （一）相交线与垂线 1. 相交线的基本概念： ① 对顶角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角（如∠1与∠3），对顶角相等； ② 邻补角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（如∠1与∠2），邻补角互补（和为180°）。 2. 垂线的定义与性质： ① 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足； ② 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③ 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简记：垂线段最短）； ④ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3. 垂线的画法： ① 过直线上一点画已知直线的垂线：用直角三角板，一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过该点，沿这条直角边画直线即可； ② 过直线外一点画已知直线的垂线：同上，确保直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过直线外的点。 （二）平行线的判定与性质（核心难点） 类别 平行线的判定（角推线） 平行线的性质（线推角） 核心逻辑 角的数量关系 → 直线的位置关系 直线的位置关系 → 角的数量关系 核心内容 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行； 4. 补充：平行于同一直线的两直线平行；同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补； 4. 补充：平移前后，对应线段、对应点连线平行（或共线）且相等。 关键提醒 先判断角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角），再结合数量关系判定平行。 先明确两直线平行，再找准对应角，推导角的数量关系。 （三）平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移（两个核心要素：方向和距离）。 2. 核心性质： ① 平移前后，图形的形状、大小不变，只改变位置； ② 平移前后，对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等； ③ 平移前后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 3. 平移作图步骤：定方向、定距离→找对应点→连新图形→标说明。 4. 应用：将不规则图形转化为规则图形，计算周长、面积；图案设计、实际物体的平移运动等。 三、全章重难点突破 （一）重点突破 1. 对顶角、邻补角的辨析与计算：牢记“对顶角相等、邻补角互补”，结合平角、直角的定义，解决角的计算问题； 2. 垂线的性质与点到直线的距离：掌握“垂线段最短”的应用，能准确画出垂线，区分“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度，不是线段）； 3. 平行线的判定与性质的应用：能熟练区分判定与性质，结合“三线八角”基本图形，规范书写推理过程（注明已知、依据、结论）； 4. 平移作图与性质应用：掌握平移作图的规范步骤，能利用平移性质解决图形变换、面积计算问题。 （二）难点突破 1. 平行线的判定与性质的混淆：记住核心区别——“判定是角推线，性质是线推角”，推理时先明确已知条件（是角的关系还是线的平行），再选择对应方法； 2. 复杂图形中角的识别：遇到多条直线相交或平行的复杂图形，先分离出“三线八角”基本图形，再找同位角、内错角、同旁内角； 3. 平移作图中对应点的确定：确保所有顶点的平移方向和距离完全一致，借助直尺画平行线，保证对应点所连线段平行且相等； 4. 综合推理题的书写：规范推理格式，每一步推理都要注明依据（如“对顶角相等”“同位角相等，两直线平行”），做到逻辑连贯、条理清晰。 四、全章易错点归纳（重中之重） 1. 混淆对顶角与邻补角：误将邻补角当作对顶角，忽略对顶角“两边互为反向延长线”的特点，或忘记邻补角“互补”的性质； 2. 垂线相关易错：① 忽略“同一平面内”前提，认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直；② 混淆“垂线段”与“点到直线的距离”，将垂线段当作距离； 3. 平行线相关易错：① 混淆判定与性质，推理逻辑颠倒（如用“两直线平行，同位角相等”判定两直线平行）；② 只看角的数量关系，忽略角的位置关系，盲目判定平行；③ 应用“垂直于同一直线的两直线平行”时，忽略“同一平面内”前提； 4. 平移相关易错：① 混淆平移与旋转，将旋转现象（如风车转动）当作平移；② 平移作图时，各顶点平移方向或距离不一致；③ 忽略平移的两个要素（方向、距离），导致平移不唯一； 5. 推理书写易错：① 缺少推理依据；② 已知条件书写不全；③ 符号语言不规范，未按“已知→依据→结论”的顺序书写。 五、综合例题解析（贴合考点，融合全章知识） 例题1：相交线与垂线的综合应用（基础） 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠BOD = 35°，求∠COE的度数。 解析：结合对顶角相等、垂线的定义（∠AOE = 90°），逐步推导。 解：∵ 直线AB与CD相交于点O（已知） ∴ ∠AOC = ∠BOD = 35°（对顶角相等） ∵ OE⊥AB（已知） ∴ ∠AOE = 90°（垂线的定义） ∵ ∠COE = ∠AOE + ∠AOC（角的和差关系） ∴ ∠COE = 90° + 35° = 125° 例题2：平行线的判定与性质的综合应用（中档） 如图，已知AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠AEF，∠1 = 50°，求证：∠2 = 50°。 解析：先利用平行线的性质得出∠AEF与∠1的关系，再结合角平分线的定义，推导∠2的度数。 证明：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等） ∵ EG平分∠AEF（已知） ∴ ∠AEG = ∠GEF = ½∠AEF = 25°（角平分线的定义） 又∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠2 = ∠AEG = 25°？（修正：重新推导，确保正确） 修正解析：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠AEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补），∠1 = ∠CFE = 50°，∴ ∠AEF = 130°，EG平分∠AEF，∴ ∠GEF = 65°，在△EFG中，∠2 = 180° - ∠1 - ∠GEF = 65°（结合三角形内角和，贴合考点）。 正确证明：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠CFE = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等） ∠AEF + ∠CFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠AEF = 180° - 50° = 130° ∵ EG平分∠AEF（已知） ∴ ∠GEF = ½∠AEF = 65°（角平分线的定义） ∵ ∠1 + ∠GEF + ∠2 = 180°（平角的定义） ∴ ∠2 = 180° - 50° - 65° = 65° 例题3：平移与平行线、面积的综合应用（中档） 如图，将长方形ABCD沿水平向右方向平移6cm，得到长方形A'B'C'D'，已知AB = 4cm，BC = 8cm，求： （1）长方形A'B'C'D'的周长和面积； （2）对应点A与A'、C与C'所连线段的长度和位置关系； （3）线段AD与A'D'的位置关系和长度。 解析：结合平移的性质、长方形的周长和面积公式，逐一求解。 解：（1）∵ 长方形ABCD平移得到长方形A'B'C'D'（已知） ∴ 长方形A'B'C'D' ≌ 长方形ABCD（平移前后，形状、大小不变） ∴ A'B' = AB = 4cm，B'C' = BC = 8cm 周长 = 2×(A'B' + B'C') = 2×(4 + 8) = 24cm 面积 = A'B'×B'C' = 4×8 = 32cm²； （2）∵ 平移方向为水平向右，距离为6cm（已知） ∴ AA'∥CC'，AA' = CC' = 6cm（平移前后，对应点所连线段平行且相等）； （3）∵ 平移前后，对应线段平行且相等（平移的性质） ∴ AD∥A'D'，AD = A'D' = BC = 8cm。 例题4：全章综合推理题（提高） 如图，已知∠1 = ∠2，∠3 + ∠4 = 180°，求证：AB∥CD∥EF。 解析：先利用∠1 = ∠2判定AB∥EF，再利用∠3 + ∠4 = 180°判定CD∥EF，最后结合平行传递性，证明AB∥CD∥EF。 证明：∵ ∠1 = ∠2（已知） ∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠3 + ∠4 = 180°（已知），∠3 = ∠5（对顶角相等） ∴ ∠5 + ∠4 = 180°（等量代换） ∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴ AB∥CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 六、复习练习题（分层巩固，查漏补缺） （一）基础题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对顶角互补 B. 邻补角相等 C. 垂线段最短 D. 同位角相等 2. 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线（ ） A. 互相平行 B. 互相垂直 C. 相交 D. 无法确定 3. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 钟表指针转动 B. 风车转动 C. 电梯上下运动 D. 荡秋千 4. 已知AB∥CD，∠1 = 60°（∠1与∠2是内错角），则∠2 =（ ） A. 60° B. 120° C. 180° D. 无法确定 5. 过直线外一点，有且只有______条直线与已知直线垂直。 6. 平移的两个要素是______和______。 7. 两直线平行，______相等，______互补。 8. 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 40°，则∠BOD = ______°，∠AOD = ______°。 9. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的______的长度。 10. 平行于同一条直线的两条直线______。 （二）中档题（每题6分，共30分） 1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，∠AOD = 130°，求∠BOE的度数。 2. 如图，已知∠1 = ∠3，∠2 = 120°，求证：AB∥CD，并求∠4的度数。 3. 将三角形ABC沿竖直向上方向平移5cm，作出平移后的三角形A'B'C'，并简要说明作图步骤。 4. 如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF = 110°，求∠DFE的度数，并说明理由。 5. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）两直线平行，同旁内角相等； （2）平移前后，图形的形状和大小不变，位置也不变； （3）同一平面内，不平行的两条直线一定垂直。 （三）提高题（每题10分，共40分） 1. 如图，已知AB∥CD，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，求证：EG∥FH。 2. 如图，将梯形ABCD沿AD方向平移4cm，得到梯形A'B'C'D'，已知AD∥BC，AD = 6cm，BC = 9cm，高为5cm，求平移后梯形的面积和A'D'的长度。 3. 如图，∠1 = ∠2，∠B = ∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC。 4. 如图，在长方形网格中，将三角形ABC沿网格线平移，使点A平移到点A'的位置，作出平移后的三角形A'B'C'，标注平移方向和距离，并说明平移后对应线段、对应角的关系。 七、参考答案与解析 （一）基础题 1.C 2.B 3.C 4.A 5.一 6.方向，距离 7.同位角（或内错角），同旁内角 8.40，140 9.垂线段 10.互相平行 （二）中档题 107. 解：∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOD = 130°（已知） ∴ ∠BOC = ∠AOD = 130°（对顶角相等），∠AOC = 180° - 130° = 50°（邻补角互补） ∵ OE⊥CD（已知） ∴ ∠EOC = 90°（垂线的定义） ∴ ∠BOE = ∠BOC - ∠EOC = 130° - 90° = 40° 108. 证明：∵ ∠1 = ∠3（已知），∠1 = ∠2（对顶角相等） ∴ ∠2 = ∠3（等量代换） ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵ AB∥CD（已证） ∴ ∠2 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠2 = 120°（已知） ∴ ∠4 = 60° 109. 解：作图步骤： ① 确定平移方向：竖直向上，平移距离：5cm； ② 过点A、B、C，分别作竖直向上的线段，长度均为5cm，得到对应点A'、B'、C'； ③ 依次连接A'、B'、C'，得到平移后的三角形A'B'C'。 110. 解：∠DFE = 70°； 理由：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF + ∠DFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠AEF = 110°（已知） ∴ ∠DFE = 180° - 110° = 70° 111. （1）不正确，理由：两直线平行，同旁内角互补，而非相等； （2）不正确，理由：平移前后，图形的位置改变，形状和大小不变； （3）不正确，理由：同一平面内，不平行的两条直线相交，但不一定垂直。 （三）提高题 114. 证明：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF = ∠DFE（两直线平行，内错角相等） ∵ EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（已知） ∴ ∠GEF = ½∠AEF，∠HFE = ½∠DFE（角平分线的定义） ∴ ∠GEF = ∠HFE（等量代换） ∴ EG∥FH（内错角相等，两直线平行） 115. 解：① 平移后梯形A'B'C'D'的面积 = 原梯形ABCD的面积（平移前后，面积不变） 原梯形面积 = （AD + BC）× 高 ÷ 2 = （6 + 9）× 5 ÷ 2 = 37.5cm² ∴ 平移后梯形面积 = 37.5cm²； ② ∵ 沿AD方向平移4cm（已知） ∴ A'D' = AD = 6cm（平移前后，对应线段相等）。 116. 证明：∵ ∠1 = ∠2（已知） ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∴ ∠B + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠B = ∠D（已知） ∴ ∠D + ∠BCD = 180°（等量代换） ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） 117. 解：作图步骤： ① 确定平移方向：观察点A到A'的方向（如向右3格、向下2格），平移距离为对应格数； ② 过点B、C，分别沿相同方向平移相同格数，得到对应点B'、C'； ③ 依次连接A'、B'、C'，标注平移方向（如“向右3格，向下2格”）； 平移后关系：对应线段平行且相等（AB∥A'B'，AB = A'B'等），对应角相等（∠A = ∠A'等）。 2026年4月6日星期一11时33分5秒 2026年4月6日星期一11时33分9秒 一、对顶角 两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫做对顶角. 对顶角的性质：____________. A O C B D 1 3 2 4 公共顶点 反向延长线 对顶角相等 二、垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫______. 1. 垂线的定义 2. 平面内过一点，_________一条直线垂直于已知直线. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的_____，叫做点到 直线的距离. 3. 在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中， _______最短. 有且只有 垂线段 长度 直角 垂线 垂足 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 同位角 “F”型 内错角 “Z”型 同旁内角 “U”型 三、同位角、内错角、同旁内角 三线八角 四、平行线 1. 在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线. 3. 平行于同一条直线的两条直线______. 2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行. 4. 平行线的判定与性质： 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 不相交 有且只有 平行 五、平移 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2. 平移的性质： (1) 平移前后的图形的形状和大小完全相同； (2) 对应线段平行(或在同一条直线上)且相等. 整合1 相交线 1.下列选项中，和 是对顶角的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 7 2.如图，直线，交于点，于点 .若 ，则 的度数为_____. 中考考法 8 3.如图是由小正方形组成的网格.(12分) (1)利用网格画图：过点画 的垂线， 垂足为 ； 解：如图所示. 中考考法 9 (2)线段的长度是点 到直线____的距 离； (3)若连接，，则在线段， ， 中，线段____最短. 中考考法 10 整合2 三线八角 4.如图，，与交于点，， 与交于点，那么下列说法中： 和 是同位角；和 是同位角； 和是内错角；和 是 同旁内角；和是内错角；和 是同 旁内角.正确的是_________.(填序号) 中考考法 11 整合3 平行线的性质与判定 5.如图，下列说法中，不正确的是( ) A (第5题) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 中考考法 12 (第6题) 6.[合肥模拟] 如图， ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 中考考法 13 7.真实情境 小明一家到哈尔滨观赏冰雕，小明从某个角度发 现一座冰雕(图①)中隐藏着数学问题，建立模型如图②所示， 直线，点在直线上，点在直线上， 平分 ，交于点，若 ，则 的度数为 _____. 中考考法 14 8.如图，有下列三个条件： ； ； .从中任选两个作为条 件，另一个作为结论，共可编出几道数学题？ 并试说明其中的一道数学题.(8分) 中考考法 15 解：共可编出3道数学题.分别如下： ①已知， ， 试说明： . ②已知， ，试说明： . ③已知，，试说明： . 中考考法 16 选择①，因为，所以 . 因为，所以 ，所以 ， 所以 ［说明的题目不唯一，选择 ②③也可］ 中考考法 整合4 平移 9.将三角形平移得到三角形，连接， ， ，下列结论中，不一定成立的是( ) D A.或与 在同一条直线上 B.或与 在同一条直线上 C. D. 中考考法 18 10.如图，将三角形沿 方向平移 得到三角形.连接 ，若 ，，则 的长 为( ) C A. B. C. D. 中考考法 19 11.如图，有一块长为、宽为 的长方形草坪，其中有三条直道将草坪 分为六块，则分成的六块草坪的总面积 是_____ . 880 中考考法 20 整合5 数学思想 12.转化思想 如图，在五边形中， ， ， ，则 的度数是______. 中考考法 21 13.分类讨论思想 平面内 ，的一边与 的一边 平行，另一边与的另一边垂直，则 ____________. 或 中考考法 22 14.归纳思想 如图，已知，BE、的交点为 ，现 进行如下操作：第一次操作，分别作和 的平分 线，交点为，第二次操作，分别作和 的平 分线，交点为，第三次操作，分别作和 的 平分线，交点为， ，第 次操作，分别作 和的平分线，交点为 .#1 中考考法 23 (1)若 ，则 _____； (2)若 ，则 _ __. 中考考法 24 整合6 易错题 15.已知与是同旁内角，若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. 或 D.不能确定 本题易因误用平行线的性质而出错. 中考考法 25 整合7 聚焦安徽中考 16.[安徽中考] 两个直角三角尺如图摆放， 其中 ， ， ，与交于点.若 ， 则 的大小为( ) C A. B. C. D. 中考考法 26 17.[六安三模节选] 如图，在由边长为1个单位的小正方形组 成的网格中，给出了格点三角形 (顶点是网格线的交点). 将三角形 先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得 到三角形，请画出三角形 .(8分) 中考考法 27 解：如图，三角形 即为 所求. 中考考法 28 $