精品解析：江苏扬州市邗江区第一中学2025-2026学年高一下学期数学阶段学情检测试题

高一下学期数学阶段学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是平面内两单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与都是单位向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量、单位向量的定义和平面向量数量积的定义依次判断选项即可. 【详解】A：由相等向量的定义知，与要相等，需方向相同，模相等， 而，方向无法判断，故A错误； B：设与的夹角为，则， 只有当时，，故B错误； C：由，得，故C正确； D：， ， 而与不一定等于1，故D错误. 故选：C. 2. 已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对两边平方，可得，再利用余弦的二倍角公式计算，可得答案. 【详解】由两边平方得：，所以． 所以. 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数三姐妹的关系，考查余弦二倍角公式，考查学生的转化能力和公式运用能力，属于基础题. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 5. 已知α为钝角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【详解】，则， ， . 故选：D. 6. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的性质先求，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为是相互垂直的单位向量， 所以，. 又，，所以， 所以， 又， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 7. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴， ∴. 故选：C． 8. 辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中，，）．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与的图象一定有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，，计算出 、可判断A；由三角函数对称性质可判断B；整体代换法和值可判断C；由可判断D. 【详解】因为（其中，）， 因为，， 所以，解得，不妨取， 所以， 即，解得， 所以， 则， ， 所以，故 A错误； 因为，所以关于点对称，故B错误； 当时，，因为在上单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 因为是，且的周期函数， 又， 故过点即过点的直线与的图象一定有公共点，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是对辅助角公式的应用，结合函数的最值得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算即可判断；对于B，根据模长公式计算即可得解；对于C，根据向量夹角余弦公式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量是，故D正确. 故选：ABD. 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确． 对于C，，C错误； 对于D，，D错误； 故选：AB． 11. 美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（    ） A. -10 B. -8 C. 10 D. 24 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，用向量，，表示向量=______. 【答案】 【解析】 【分析】运用平面向量的减法与平行四边形法则对所求向量进行表示即可求解 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又，所以. 13. __________． 【答案】. 【解析】 【详解】分析：先切化弦，再由两角公式化一，最终得到结果. 详解： 故答案为. 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三. 14. 向量满足，且，则 ________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案. 【详解】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用数量积的定义及运算律，将给定恒成立的不等式化为一元二次不等式恒成立求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量在同一平面上，且. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标； （2）求出向量、的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 因为，设，其中， 则，解得， 因此，或. 【小问2详解】 因为，则， ， 因为，则， 解得. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦公式逆用化简函数表达式，结合三角函数单调性解三角方程即可得解； （2）由诱导公式以及二倍角公式直接求解即可. 【小问1详解】 所以，故， 因为，所以， 所以，故. 【小问2详解】 ，所以， 所以， 又，所以， 因为，所以， 所以. 17. 在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）． （1）求的值； （2）若点P满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】（1） （2），此时 【解析】 【分析】（1）将和分别用，线性表示，再进行数量积运算即可； （2）建立如图所示的坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数，进而求结果. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 如图建立直角坐标系，则，， 令 所以， ∴ ∴当时，， 此时 18. 已知向量，，，其中. （1）求满足的所有的取值构成的集合； （2）设函数，当时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系结合向量的坐标运算可得，结合余弦函数分析求解； （2）根据向量的坐标运算结合三角恒等变换整理得，由题意分析可得与只有一个交点，以为整体结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， ， 因为，则， 即，则， 所以所求的取值集合为. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以 ， 由，可得， 因为，则， 可知在上单调递增，在单调递减，且， 若关于的方程有唯一解，即与只有一个交点， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期数学阶段学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是平面内两单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与都是单位向量 2. 已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知α为钝角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 7. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中，，）．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与的图象一定有公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（    ） A. -10 B. -8 C. 10 D. 24 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，用向量，，表示向量=______. 13. __________． 14. 向量满足，且，则 ________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量在同一平面上，且. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求实数的值. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 17. 在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）． （1）求的值； （2）若点P满足，求的最小值，并求此时的． 18. 已知向量，，，其中. （1）求满足的所有的取值构成的集合； （2）设函数，当时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $