第8章 实数 专项训练 平方根、算术平方根的巧用2025-2026学年人教版数学七年级下册

第8章 实数 专项训练 平方根、算术平方根的巧用 【模块1】巧用正数的两个平方根求值 1．已知一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，求a的值和这个正数． 2．已知正实数x的两个平方根为a和a＋b． (1)当b＝6时，x的值为________； (2)若a2x＋(a＋b)2x＝8，求x的值. 3．已知a＋3和2a－15是某数m的两个平方根，5b＋2的立方根是3，c是的整数部分， (1)求m的值； (2)求a＋2b－c的平方根. 【模块2】巧用算术平方根的非负性求值 4．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为____． 5．若m，n满足＋|n＋15|＝0，则的平方根是____． 6．已知a，b，c满足＋|b－4|＋(c＋3)2＝0，则a＋b－c的算术平方根是_____. 7．已知x，y为有理数，且满足＝(y－1)，则x2 025－y2 025＝_____． 8．已知a为有理数，则＋＋的值为_____． 9．已知y＝－＋4，求x2＋y2的算术平方根． 10．已知x，y是整数，且满足(y－2)2与互为相反数，求x2＋y3的平方根． 11．已知x，y满足＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的平方根． 12．已知|99－a|＋＝a.求a－992的值． 13．已知|7－3m|＋(5－n)2＝3m－7－，求(m－n)2027的值． 【模块3】巧用算术平方根的最小值求值 14．已知y＝－9＋，当y最小时，x＝____，y＝____． 15．已知y＝＋，当y最小时，ba的算术平方根为____． 16．学习了算术平方根后，我们知道： (1)(a≥0)是非负数，那么有最小值吗？如果有，此时a为多少？最小值又是多少？ (2)当x为何值时，＋8有最小值，最小值为多少？ (3)小王认为：当x＝m时，3－有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？ 【模块4】巧用算术平方根解决实际问题 17．有一张面积为 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长与宽之比为，面积为(如图)，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断. 18．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315 m2的长方形场地，且其长、宽的比为5∶3. (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由. 19．【回顾旧知】学习算术平方根时，我们通过剪拼两个面积为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示. 【类比迁移】 (1)如图2，有五个面积为1的小正方形组成的图形纸，可以把它剪拼成一个大正方形，如图3.图3中的大正方形的面积是______，边长是_______. 【猜想验证】 (2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.如图4并排放置的两个正方形，其边长分别为, ，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度(用,表示)，画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号(类似图2)，在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图(类似图3). 参考答案 【模块1】巧用正数的两个平方根求值 1．已知一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，求a的值和这个正数． 解：∵一个正数的两个平方根分别是3a－2和5a＋6，∴3a－2＋5a＋6＝0，∴a＝－，∴3a－2＝3×(－)－2＝－，∴这个正数是(－)2＝，∴a的值和这个正数分别是－， 2．已知正实数x的两个平方根为a和a＋b． (1)当b＝6时，x的值为________； 【答案】9 【解析】∵正实数x的两个平方根是a和a＋b，∴a＋ a＋b＝0.又∵b＝6，∴2a＋6＝0.∴a＝－3.∴x＝9. (2)若a2x＋(a＋b)2x＝8，求x的值. 解：∵正实数x的两个平方根是a和a＋b， ∴(a＋b)2＝a2＝x. ∵a2x＋(a＋b)2x＝8，∴x2＋x2＝8. ∴x2＝4.∴x＝±2.又∵x＞0，∴x＝2. 3．已知a＋3和2a－15是某数m的两个平方根，5b＋2的立方根是3，c是的整数部分， (1)求m的值； 解：由题意，得a＋3＋2a－15＝0， ∴a＝4.∴a＋3＝7.∴m＝72＝49. (2)求a＋2b－c的平方根. 解：由题意，得5b＋2＝33＝27，∴b＝5. ∵<<，∴6<<7.∴c＝6. ∴a＋2b－c＝4＋2×5－6＝8. ∴a＋2b－c的平方根为±. 【模块2】巧用算术平方根的非负性求值 4．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为____． 【答案】1 5．若m，n满足＋|n＋15|＝0，则的平方根是____． 【答案】±2 6．已知a，b，c满足＋|b－4|＋(c＋3)2＝0，则a＋b－c的算术平方根是_____. 【答案】 7．已知x，y为有理数，且满足＝(y－1)，则x2 025－y2 025＝_____． 【答案】－2 8．已知a为有理数，则＋＋的值为_____． 【答案】5 9．已知y＝－＋4，求x2＋y2的算术平方根． 解：∵x－3≥0且3－x≥0， ∴x－3＝0，即x＝3. ∴y＝4，∴＝＝＝5. 10．已知x，y是整数，且满足(y－2)2与互为相反数，求x2＋y3的平方根． 解：由题意，得(y－2)2＋＝0，∴y－2＝0，2x＋2＝0，∴x＝－1，y＝2，∴x2＋y3＝(－1)2＋23＝9，∴±＝±＝±3，即x2＋y3的平方根是±3 11．已知x，y满足＋|y－3x－1|＝0，求y2－5x的平方根． 解：由题意可知，x＋1＝0，y－3x－1＝0. ∴x＝－1，y＝3x＋1＝－3＋1＝－2. ∴y2－5x＝4＋5＝9. 9的平方根是±3. 即y2－5x的平方根是±3. 12．已知|99－a|＋＝a.求a－992的值． 解：由题意知，a－100≥0，∴a≥100. ∴原式变形为a－99＋＝a. 整理，得＝99， 两边平方，得 a－100＝992，即a－992＝100. 13．已知|7－3m|＋(5－n)2＝3m－7－，求(m－n)2027的值． 解：原式整理，得|7－3m|＋(5－n)2＋＝3m－7. 根据非负数的性质，得3m－7≥0， ∴7－3m≤0. ∴3m－7＋(5－n)2＋＝3m－7. ∴(5－n)2＋＝0. ∴5－n＝0，m－4＝0. ∴m＝4，n＝5. ∴(m－n)2027＝(4－5)2027＝－1. 【模块3】巧用算术平方根的最小值求值 14．已知y＝－9＋，当y最小时，x＝____，y＝____． 【答案】13 －9 15．已知y＝＋，当y最小时，ba的算术平方根为____． 【答案】1 16．学习了算术平方根后，我们知道： (1)(a≥0)是非负数，那么有最小值吗？如果有，此时a为多少？最小值又是多少？ 解：有最小值，当a＝0时，最小值是0. (2)当x为何值时，＋8有最小值，最小值为多少？ 解：当＝0，即x＝－3时，＋8有最小值，最小值为8 (3)小王认为：当x＝m时，3－有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？ 解：当1－x＝0，即x＝1时，3－有最大值，且最大值为3，∴m＝1，n＝3. 【模块4】巧用算术平方根解决实际问题 17．有一张面积为 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长与宽之比为，面积为(如图)，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断. 解：不能.由题意可设长方形信封的长为，宽为 ， ， （负值已舍去）. 长方形信封的宽为 . 正方形贺卡的面积为 ， 正方形贺卡的边长为 . ，， . 不能将这张贺卡不折叠地放入此信封. 18．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315 m2的长方形场地，且其长、宽的比为5∶3. (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由. 解：(1)＝20(m)，4×20＝80(m)，答：原来正方形场地的周长为80 m　 (2)这些铁栅栏够用．理由如下：设这个长方形场地的宽为3a m，则长为5a m．由题意得3a×5a＝315.解得a＝±.∵3a表示长度，∴a＞0，∴a＝，∴这个长方形场地的周长为2(3a＋5a)＝16a＝16(m).∵80＝16×5＝16×＞16，∴这些铁栅栏够用 19．【回顾旧知】学习算术平方根时，我们通过剪拼两个面积为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示. 【类比迁移】 (1)如图2，有五个面积为1的小正方形组成的图形纸，可以把它剪拼成一个大正方形，如图3.图3中的大正方形的面积是______，边长是_______. 【答案】5 【解析】题图3是由题图2中的图形剪拼成的一个大正方形，题图3中大正方形的面积等于题图2中图形的面积，题图3中大正方形的面积为5， 其边长为. 【猜想验证】 (2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.如图4并排放置的两个正方形，其边长分别为, ，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度(用,表示)，画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号(类似图2)，在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图(类似图3). 解：如图所示. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $