2026届重庆市中考数学自编模拟卷3

2026届重庆市中考数学模拟预测卷3 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C．π D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类，算术平方根和立方根．实数分为有理数和无理数，有理数即可用有限小数和无限循环小数表示的数，无理数即无限不循环小数． 根据有理数和无理数定义求解即可． 【详解】解：A、是有理数，故本选项符合题意； B、是无理数，故本选项不符合题意； C、π是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 6．下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 7．下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图案找出变化规律是解题的关键． 根据每种图案情况得出第种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），据此找出规律求解即可． 【详解】解：第种图案有三角形（个）， 第种图案有三角形（个）， 第种图案有三角形（个）， 第种图案有三角形（个）， ， 第种图案有三角形（个）， 故选：． 8．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在正方形中，为边上一点，连接交对角线于点，过点作交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，“”证明，得出，根据，在中，根据四边形内角和定理得出，证明，，等角对等边得出，过点F作交于点，交于点，则四边形是矩形，得出，“”证明，得出，根据，设，则，勾股定理求出，证明，得出，即可得，证明，得出，从而得，，求出，，即可求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴在中，， 又， ， ， ， ， 过点F作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴设，则， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10．已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义判断即可． 【详解】解：①当时，， ， 为自然数， 满足条件的的值有个， ∴， 故①正确； ②当，时， ， ，， ， 当时，，当时，， 为非正数， 或， 或， 且为自然数， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 为非正数， 符合条件的非正数有5个，故②正确； ③，，，，，…，为自然数，且， 当时，，此时； 当时，，即， 则或或， 此时或或； 当时，，即， 则，，， 此时， 当时，，即， 当时，，此时不合题意； 满足条件的整式的和为， 故③正确， 综上所述，正确的个数是3个， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：500万． 12．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 13．3月14日是国际数学节．某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是________． 【答案】 【分析】列出表格得出所有等可能的结果数，再找到两人选择相同游戏的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将“解密风云”“连数成画”“函数追击”三个挑战游戏分别记为， 列表如下： 小明小红 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小明和小红选择相同游戏的结果有种． ∴他们选择相同游戏的概率是． 14．设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】9 【分析】由题意得，，，代入即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，，， ∴， ∴． 15．如图，直径，为圆上一点，于（），．点在弧上，连接交于，若，则__________．    【答案】 【分析】连接，，根据勾股定理在中，求得，从而得到，根据得到，因此在中，，，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．一个四位自然数（其中，，，为整数，且），若满足，则称这个四位数为“双十二数”，令，，例如：四位数，因为，所以是“双十二数”，并且，，若为“双十二数”，则的最小值是______；一个“双十二数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 【分析】结合“双十二数”的定义可知，，结合，，，的特征可得到，的取值范围，进而表示出，结合，的取值范围确定最小值；根据“双十二数”的定义表示出，求出，结合，化简，再由整数的特征即可确定的最大值即可． 【详解】解：为“双十二数”， ， ，， ，，，为整数，且， ，， ，， ，， ，， ， 要使最小，需使最小， 的最小值为，的最大值为， 的最小值为， 的最小值为； ，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数， ， ， ，， ， ， ， 与均为整数， 与均为整数， 即为的倍数，且为的倍数， 与无公因数， 为的倍数， ， 当时，不存在使得为的倍数且为的倍数， 当时，为的倍数， ，此时，是的倍数； ，， 最大值为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：解不等式， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 18．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，直角三角形的性质，角的和差关系进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ； 平分， ； ， ， ， ，， ， ， 平分． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】由整式混合运算法则、分式混合运算法则化简，再计算的值代入化简结果计算即可求解． 【详解】解： ， ， 原式． 20．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 【答案】(1)151，176，20 (2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析 (3)245人 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，求出B组所占的百分比，根据百分数之和为1，求出的值； （2）根据平均数和中位数进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是151，故； 八年级A组的人数为，第10个和第11个数据分别为172和180， 故； ，故； （2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由如下： 七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好； （3）解：（人）； 答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有245人. 21．马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的震撼表演在全国乃至全球掀起了一场“惊叹风暴”．为了提高生产力，某车企决定引入宇树智能机器人对甲、乙两个车间进行优化，提升生产效率． (1)优化前的一个月，该车企甲、乙两个车间分别生产了6000辆汽车，已知甲车间平均每天的生产速度是乙车间平均每天的生产速度的两倍，两个车间共生产30天．求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)优化后的一个月，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果用天共生产了30000辆汽车，求m的值． 【答案】(1)甲车间平均每天生产600辆，乙车间平均每天生产300辆； (2)m的值为． 【分析】（1）设乙车间平均每天生产x辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车，根据“甲、乙两车间分别生产6000辆，且两个车间生产天数之和为30天”列分式方程，求解即可； （2）优化后，甲车间每天生产辆，乙车间每天生产辆，根据“两车间用天共生产了30000辆”，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产x辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲车间平均每天生产600辆，乙车间平均每天生产300辆； （2）解：优化后，甲车间每天生产辆，乙车间每天生产辆， 根据题意得， 整理得， 解得（舍去）或， 答：m的值为． 22．如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)作图见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】连接，证明，，求解关于x的函数表达式；根据菱形和三角形面积公式得出，，即可求解关于x的函数表达式； 描点连线即可作图函数图象，再分析增减性即可写出一条性质； 先求出，再判断时的取值范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ∴ ， ， ， ， ， 当时，， 当时， ， ∴ ， ， ，， ， ， ， 当时，， ∴； 的面积， ； （2）解： 函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：当时， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 当时，或． 23．如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米； (2)194.6米． 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案； （2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； （2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为 【分析】（1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值，利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴右边时和当点在轴左边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时，， 如图，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）∵， ∴，， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得， 当点Q在y轴左边时，不存在，符合题意的点； 综上所述，点的横坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在，中，分别求得，同理可得，则； （2）；延长到，使得，连接，证明，得出，，设，导角得出，进而证明，则，过点作，即可得证； （3）过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点，证明四边形是平行四边形，当最小时，则最小，则是等腰直角三角形，设，则，，进而求得，，根据题意得出在以为圆心，的长为半径的圆上运动，当最小时，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； （2）如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； （3）如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷3 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C．π D． 2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 7．下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，... ，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，为边上一点，连接交对角线于点，过点作交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 12．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 13．3月14日是国际数学节．某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是________． 14．设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 15．如图，直径，为圆上一点，于（），．点在弧上，连接交于，若，则__________．    16．一个四位自然数（其中，，，为整数，且），若满足，则称这个四位数为“双十二数”，令，，例如：四位数，因为，所以是“双十二数”，并且，，若为“双十二数”，则的最小值是______；一个“双十二数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．先化简，再求值：，其中． 20．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 21．马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的震撼表演在全国乃至全球掀起了一场“惊叹风暴”．为了提高生产力，某车企决定引入宇树智能机器人对甲、乙两个车间进行优化，提升生产效率． (1)优化前的一个月，该车企甲、乙两个车间分别生产了6000辆汽车，已知甲车间平均每天的生产速度是乙车间平均每天的生产速度的两倍，两个车间共生产30天．求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)优化后的一个月，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果用天共生产了30000辆汽车，求m的值． 22．如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23．如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 25．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $