2026年重庆市中考数学自编模拟卷2

2026届重庆市中考数学模拟预测卷2 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．任取一个三角形，内角和是 C．打开电视，正在播放浙江卫视 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4．如图，△ABC与△DEF位似，点为位似中心，相似比为．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A．36 B．74 C．90 D．92 8．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 9．在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 10．设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 12．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 13．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 14．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 15．如图，为的直径，平分，的延长线交的切线于点P．若，，则_______．的面积_______． 16．对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．先化简，再求值：，其中． 20．今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表                             景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_______，_______； (2)根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 21．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 22．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 23．今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； (2)小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 25．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷2 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．任取一个三角形，内角和是 C．打开电视，正在播放浙江卫视 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是的事件，据此即可解答． 【详解】解：、经过路口，恰好遇到绿灯，属于随机事件，不符合题意； 、任取一个三角形，内角和是，属于必然事件，符合题意； 、打开电视，正在播放浙江卫视，属于随机事件，不符合题意； 、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上，属于随机事件，不符合题意． 4．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 6．估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 7．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A．36 B．74 C．90 D．92 【答案】D 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 第1个图形有1×2+2=4个小圆， 第2个图形有2×3+2=8个小圆， 第3个图形有3×4+2=14个小圆， …， 发现规律： 第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2． 所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题． 8．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 9．在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接交于点，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明，得，推导出，则，可证明，进而证明，则，，所以，则四边形是正方形，所以，于是得到结论． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 10．设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，三元一次方程组的整数解，不等式的性质；根据二次多项式得到，即可判断①错误；由且，得到，整理得到，②错误；由且，得到，，则，正整数或或，据此分情况讨论求解即可判断③正确． 【详解】解：①若表示为关于的二次多项式，则，不满足，故①错误； ②若且，则 ， ∴， 故②错误； ③∵且， ∴，， ∴， ∴正整数或或， 当时，，则或或或，一共4组正整数解， 当时，，则或，一共2组正整数解， 当时，，，一共1组正整数解， 综上，满足且的正整数解有7组， 故③正确． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 12．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 13．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，不等式，乘方，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得 ， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 故答案为：． 15．如图，为的直径，平分，的延长线交的切线于点P．若，，则_______．的面积_______． 【答案】 【分析】连接，，，作于，作于，由圆周角定理可得，由角平分线的定义结合圆周角定理可得，从而得出为等腰直角三角形，即，由勾股定理可得，解直角三角形得出，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，从而可得，证明，解直角三角形得出，求出，证明，得出，由勾股定理可得，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，作于，作于， ， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，不定方程求解，整除，理解题意，表示出是解题的关键，根据题意列式计算，，求得，进而根据化简得出，根据的范围确定最大值与最小值，进而求得两数差，即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ； ∵，其中，均为整数）是“好事成双数” ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∵除以14余4， ∴除以14余4， 又∵ ∴ ∴除以14余4，且是的倍数， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴或 ∵ 当时，取得最大值，的千位为，百位为， 当时，取得最小值，的千位为，百位为， 又∵， ∴最大值为，最小值为： ∴取得最大值时，的十位为，个位为，取得最小值时，的十位为，个位为， ∴最大值为，最小值为 ∴最大值与最小值的差： 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 18．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，乘方，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， 将代入，得原式． 20．今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表                             景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_______，_______； (2)根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 【答案】(1) (2)我认为游客对水崖洞更满意，理由见解析 (3)这些游客对景点非常满意的共有万人次 【分析】本题考查了众数、中位数、利用中位数来决策、利用样本估计总体，解题的关键是掌握各种数相应的概念，会用统计量来决策； （1）直接利用众数，中位数，扇形统计图来求相应的量； （2）利用平均数和中位数一起分析满意度的情况； （3）分别求出各自非常满意的人数，然后相加即可． 【详解】（1）解：出现最高次数为3次，所以众数， D组数据个数为：， C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88， 故中位数， B组中的数据占总体的比例为：， 故， 故答案为：； （2）解：我认为游客对水崖洞更满意，理由如下； 根据数据中平均数相等，当水崖洞的中位数大于长江汇的中位数， 故对水崖洞更满意的人数会比长江汇的人数多，结合中位数与平均数来分析，我认为游客对水崖洞更满意； （3）解：到水崖洞非常满意的游客有：万人次， 到长江汇非常满意的游客有：万人次， 所以这些游客对景点非常满意的共有万人次． 21．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 22．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵ ∴； 当，即点在上时，过点作于， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点在上时， ∴ ∴； 综上所述，； （2）解：列表格如下： x 0 2 6 y 6 0 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值； （3）如图所示， 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点 23．今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； (2)小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，取交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解： 过点作于点，取交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． （2）解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点，进而可得直线的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交于，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时，的值最大，此时，即，将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解； （3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，故， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，如图，作轴交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，此时，即， 将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，当、、在同一直线上时，的值最小，为， ∴的最小值为； （3）解：， ∵将该抛物线沿方向平移， ∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 故平移后的解析式为， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴平移后的解析式为， 联立，解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点， ， 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得, 解得：， ∴ 直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时； 作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， 设点，则，， 解得：（不符合题意，舍去）或，即， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在，中，分别求得，同理可得，则； （2）；延长到，使得，连接，证明，得出，，设，导角得出，进而证明，则，过点作，即可得证； （3）过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点，证明四边形是平行四边形，当最小时，则最小，则是等腰直角三角形，设，则，，进而求得，，根据题意得出在以为圆心，的长为半径的圆上运动，当最小时，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； （2）如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； （3）如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $