第八章立体几何初步 专项训练：空间角的求法-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步 专项训练：空间角的求法-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　) A．∠PAD 　 B．∠PDA C．∠PDB 　 D．∠PDC 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，且PB＝2PD1，则AP与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A．1 B． C． D． 4．庑(wǔ)殿(图1)是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面所成的二面角均相等，则(　　) A．AB＝BC＋EF B．AB＝＋EF C．AB＝BC＋ D．AB＝2BC－EF 5．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．A1C⊥平面C1BD C．直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为 D．直线A1C和直线BC1是共面直线 6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D与CC1和C1D1所成的角均为60°，则下列说法正确的是(　　) A．AB＝AA1 B．AD＝AB C．AC＝BC D．AC1＝BD 7．(多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，且该八面体的各棱长均相等，则(　　) A．平面ABF∥平面CDE B．平面ADE⊥平面EBC C．直线AE与平面BDE所成角的正弦值是 D．二面角B－AE－D的余弦值为－ 8．三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为7，AB⊥AC，BC＝6，记PA与平面ABC所成角为θ，则sin θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为________． 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为________． 三、解答题 11．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABP，AD＝2AB＝2BP＝4，E为BC的中点． (1)证明：平面PED⊥平面PAD； (2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值． 12．(11分)在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． (1)求证：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求异面直线QC与AD所成角的余弦值． 13．(17分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，对角线AC，BD交于点O，PO⊥平面ABCD，平面α是过直线AB的一个平面，与棱PC，PD分别交于点E，F，且PE＝PC． (1)求证：EF∥CD； (2)若平面α交PO于点T，求的值； (3)若二面角E－AB－C的大小为45°，求PO的长． 第八章立体几何初步 专项训练：空间角的求法-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 解析：D　由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角或其补角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD1＝＝a，所以cos ∠DD1B＝＝＝．故选D． 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　) A．∠PAD 　 B．∠PDA C．∠PDB 　 D．∠PDC 解析：B　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，A为垂足，所以PD与平面ABCD所成的角为∠PDA． 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，且PB＝2PD1，则AP与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A．1 B． C． D． 解析：D　如图，连接BD，因为BD1在平面ABCD上的射影为BD，故作PQ⊥BD于点Q，则PQ⊥平面ABCD，连接AQ，则AP与平面ABCD所成的角为∠PAQ．因为PB＝2PD1，故PQ＝DD1＝，且BQ＝2DQ，故AQ＝＝．所以AP与平面ABCD所成角的正切值为tan ∠PAQ＝＝＝． 4．庑(wǔ)殿(图1)是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面所成的二面角均相等，则(　　) A．AB＝BC＋EF B．AB＝＋EF C．AB＝BC＋ D．AB＝2BC－EF 解析：A　如图所示，设点E在底面ABCD上的射影为G，作GM⊥BC，GN⊥AB，垂足分别为M，N，连接EM，EN．则∠EMG为侧面EBC与底面ABCD所成的二面角的平面角，∠ENG为侧面EBAF与底面ABCD所成的二面角的平面角，设四个侧面与底面所成二面角为θ，则在Rt△EMG和Rt△ENG中，∠EMG＝∠ENG＝θ，又GE为公共边，所以GN＝GM，即＝，整理得AB＝BC＋EF． 5．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．A1C⊥平面C1BD C．直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为 D．直线A1C和直线BC1是共面直线 解析：ABC　连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O．又A1C∩平面BDC1＝M，所以C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A项正确；由正方体的特性可知，BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，故A1C⊥BD，同理，A1C⊥BC1，BD∩BC1＝B，故A1C⊥平面C1BD，故B项正确；设正方体的边长为1，直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为θ，则A1C1＝，点A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝，故sin θ＝，θ＝，C项正确；直线A1C与直线BC1为异面直线，故D项错误． 6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D与CC1和C1D1所成的角均为60°，则下列说法正确的是(　　) A．AB＝AA1 B．AD＝AB C．AC＝BC D．AC1＝BD 解析：D　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1∥BB1，C1D1∥A1B1，则B1D与CC1和C1D1所成的角即为B1D与BB1和A1B1所成的角，即∠DB1B＝∠A1B1D＝60°．连接A1D，易得BB1⊥平面ABCD，B1A1⊥平面ADD1A1，且BD⊂平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，则△BB1D，△B1A1D为直角三角形．设DB1＝2，则BB1＝DB1＝1，A1B1＝1，故AB＝AA1＝1，故A错误；由△B1BD为直角三角形，可得BD＝＝＝，则AD＝＝，故B错误；由以上解答可知AC＝BD＝，BC＝AD＝，故AC＝BC，故C错误；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1＝DB1＝2，BD＝，故AC1＝BD，故D正确．故选D． 7．(多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，且该八面体的各棱长均相等，则(　　) A．平面ABF∥平面CDE B．平面ADE⊥平面EBC C．直线AE与平面BDE所成角的正弦值是 D．二面角B－AE－D的余弦值为－ 解析：AD　连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，由对称性可知OE＝OF，OA＝OC，所以四边形AFCE为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE，同理BF∥平面CDE，又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，A正确；取BC中点M，连接EM，FM，则EM⊥BC，FM⊥BC，所以∠EMF为二面角E－BC－F的平面角，设该八面体的棱长为a，则EM＝FM＝a，EF＝2＝a，所以cos ∠EMF＝＝－，所以二面角E－BC－F不是直二面角，则平面EBC与平面FBC不垂直，而平面ADE∥平面FBC，所以平面ADE与平面EBC也不垂直，B错误；同理，取AE的中点N，连接BN，DN，∠BND为二面角B－AE－D的平面角，由余弦定理求得cos ∠BND＝－，D正确；由AE＝AF，OE＝OF，得AO⊥EF，在正方形ABCD中，AO⊥BD，EF⊂平面BEDF，BD⊂平面BEDF，又BD∩EF＝O，所以AO⊥平面BEDF， 所以∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角，设该八面体的棱长为2，则AO＝AC＝＝，所以EO＝＝＝AO，所以∠AEO＝45°，C错误． 8．三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为7，AB⊥AC，BC＝6，记PA与平面ABC所成角为θ，则sin θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：A　设F为三棱锥P－ABC外接球的球心，E为△ABC外接圆的圆心，∵AB⊥AC，∴E为BC的中点，EF⊥平面ABC．过点P作PM⊥平面ABC，M为垂足，则∠PAM＝θ，PM＝7，作FG⊥PM，垂足为G，则四边形MEFG为矩形，∵BC＝6，BE＝3，BF＝5，∴EF＝＝4，∴MG＝4， ∴PG＝3，∴ME＝GF＝＝4， ∴EM－EA≤AM≤EM＋EA，∴1≤AM≤7， ∴PA＝＝∈[5，7]， ∴sin θ＝＝∈． 二、填空题 9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为________． 答案：90° 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的大小为90°． 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为________． 答案： 解析：设正方体棱长为a，则AC1＝＝a，由正方体性质可知，CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC即为直线AC1与平面ABCD所成的角，所以sin ∠C1AC＝＝＝． 三、解答题 11．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABP，AD＝2AB＝2BP＝4，E为BC的中点． (1)证明：平面PED⊥平面PAD； (2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值． (1)证明：如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG． ∵AD⊥平面ABP，BG⊂平面ABP，∴AD⊥BG． ∵AB＝BP，∴BG⊥AP． ∵AP，AD⊂平面PAD，AP∩AD＝A，∴BG⊥平面PAD， ∵FG∥AD，FG＝AD，BE∥AD，BE＝AD， ∴FG∥BE，FG＝BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG， ∴EF⊥平面PAD，又EF⊂平面PED，∴平面PED⊥平面PAD． (2)解　取AB的中点H，连接PH，AC． ∵BC⊥平面ABP，BP⊂平面ABP，∴BC⊥BP， ∴PE＝＝DE＝＝2， ∴EF⊥DP，易得PD＝． ∵VA－PED＝×PD×EF×＝VE－PAD＝××4AP×EF，∴AP＝2． ∵AD⊥平面ABP，AD⊂平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面ABP． 又PA＝PB，∴PH⊥AB， ∴PH⊥平面ABCD， 易得PH＝，CD＝2，PD＝2，PC＝2， ∴S△PCD＝×2×＝． 设点A到平面PCD的距离为h， ∵VP－ACD＝××2×4×＝VA－PCD＝××h，得h＝， ∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为＝． 12．(11分)在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． (1)求证：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求异面直线QC与AD所成角的余弦值． (1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO． 因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD， 而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2． 在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝， 因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC， 因为OC∩AD＝O，OC，AD⊂平面ABCD，故QO⊥平面ABCD， 因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD． (2)解　因为AD∥BC，连接BO， 则BC与QC所成的角为异面直线QC与AD所成的角， 所以∠BCQ或它的补角为所求的角， 由题意可得BO＝，QB＝＝3， 所以QC＝QB，所以cos ∠BCQ＝＝， 即异面直线QC与AD所成角的余弦值为． 13．(17分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，对角线AC，BD交于点O，PO⊥平面ABCD，平面α是过直线AB的一个平面，与棱PC，PD分别交于点E，F，且PE＝PC． (1)求证：EF∥CD； (2)若平面α交PO于点T，求的值； (3)若二面角E－AB－C的大小为45°，求PO的长． (1)证明：四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB∥CD，又AB⊂平面α，CD⊄平面α，则CD∥平面α， 而平面α∩平面PCD＝EF，CD⊂平面PCD， 所以EF∥CD． (2)解　由E，A∈平面α，E，A∈平面PAC，得平面α∩平面PAC＝AE， 而T∈PO，PO⊂平面PAC，于是T∈平面PAC，又T∈平面α， 则T∈AE，即A，T，E三点共线，由PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PO⊥AC． 如图，在△PAC中，过点E作PO的垂线，垂足为G，于是GE∥AC， 设PO＝t，由PE＝PC，得PG＝t，GO＝t，＝＝，＝＝， 从而GT＝GO＝·t＝t，所以PT＝PG＋GT＝t＋t＝t，即＝． (3)解　过点O作ON⊥AB于点N，连接TN(图略)． 由PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则TO⊥AB，而TO∩ON＝O，TO，ON⊂平面TON，则AB⊥平面TON，而TN⊂平面TON，于是TN⊥AB， 则有∠TNO为二面角E－AB－C的平面角，即∠TNO＝45°． 在菱形ABCD中，由AB＝2，∠BAD＝60°，得NO＝，则TO＝， 由(2)得TO＝PO＝，所以PO＝． 学科网（北京）股份有限公司 $