精品解析：宁夏回族自治区银川市湖畔中学2025-2026学年第二学期第一阶段学习反馈 九年级数学 试卷

银川市湖畔中学2025-2026学年第二学期第一阶段学习反馈 九年级数学试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 解不等式组得_____________． 11. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 12. 如图， 内接于，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是______． 13. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 14. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，，结果精确到，则该楼的高度是________　　　　 15. 如图，反比例函数与直线交于点，点在的图像上，直线与轴交于点，连接，若，则的长为_________． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 三、解答题（每小题6分，共计36分） 17. 计算： 18. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 19. 如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 20. 如图1，在中，，D是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 21. 2025年是故宫博物院建院100周年，故宫博物院组织游客参与历史文化知识学习，并随机抽取部分游客进行故宫知识竞赛，将竞赛成绩进行整理（成绩用表示且均为不小于60的正整数），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）_____，_____，并将频数分布直方图补充完整； （2）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是_____，众数是_____； （3）本次的知识竞赛超过95分的游客中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人获得故宫纪念模型，请用列表或树状图的方法，求恰好抽中2名女生的概率． 22. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 四、解答题（第23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，共计36分） 23. 如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长及的半径． 24. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． （1）求的值； （2）现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 26. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市湖畔中学2025-2026学年第二学期第一阶段学习反馈 九年级数学试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，正确确定a与n的值是关键． 【详解】解：150亿用科学记数法表示为； 故选：C． 3. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 在下列的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则逐一判断各选项． 【详解】解：选项A： 根据完全平方公式，=，，故A错误； 对选项B： 与不是同类项，不能合并，故B错误； 对选项C： 根据积的乘方法则，，，故C错误； 对选项D： 根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，得，计算结果符合等式，故D正确． 5. 如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确掌握相似三角形的性质是解题的关键．先证，，再证得，相似比为，运用“相似三角形面积之比等于相似比的平方”可得，最后计算得出． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 6. 《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 解不等式组得_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则，得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 解不等式： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 则原不等式组的解集为． 11. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范围内的最大整数即可． 【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0， 解得：a≤且a≠1， 所以整数a的最大值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 12. 如图， 内接于，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的作法和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，根据题意可知是线段的垂直平分线，可得，进而得，根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∴， 故答案为：． 13. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有个，可得，解之即可． 【详解】解：设盒子中白球大约有个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计盒子中白球大约有15个， 故答案为：15． 【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 14. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，，结果精确到，则该楼的高度是________　　　　 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先在中得到，再根据在中得到，通过换算即可得到答案； 【详解】解：由题意可知∶，，，， ∴， 设为米， 在中，，即， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故该楼的高度是， 故答案为：． 15. 如图，反比例函数与直线交于点，点在的图像上，直线与轴交于点，连接，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，先求出点A的坐标，得到的长，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 联立，解得或（舍去）， ∵反比例函数与直线交于点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 三、解答题（每小题6分，共计36分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先进行根式化简、负次幂计算，特殊三角函数计算，零次幂计算，后进行实数的混合计算即可得出结果． 【详解】解： ． 18. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二： 【解析】 【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案； 任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． 第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号． 故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号． 任务二： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． 19. 如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 【答案】（1） （2）雷莹不能碰到篮球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解； （2）当时，得，求解可得． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，把代入解析式得， 解得． ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：雷莹不能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴雷莹不能碰到篮球． 20. 如图1，在中，，D是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形斜中半定理，证得，结合已知条件，证得，最后根据“四边相等的四边形是菱形”证得四边形为菱形； （2）运用尺规作图的方法，作，运用“内错角相等，两直线平行”得到． 【小问1详解】 证明：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：作图如下： 21. 2025年是故宫博物院建院100周年，故宫博物院组织游客参与历史文化知识学习，并随机抽取部分游客进行故宫知识竞赛，将竞赛成绩进行整理（成绩用表示且均为不小于60的正整数），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）_____，_____，并将频数分布直方图补充完整； （2）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是_____，众数是_____； （3）本次的知识竞赛超过95分的游客中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人获得故宫纪念模型，请用列表或树状图的方法，求恰好抽中2名女生的概率． 【答案】（1），；图见解析 （2）95，94 （3）图见解析， 【解析】 【分析】此题考查了直方图和扇形统计图信息关联，众数，中位数，树状图或列表法求概率等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）先根据“较差”的人数和百分比求出随机抽取部分游客的总数，再用总数减去已知部分人数即可得到“一般”的人数，再用“一般”的人数除以总数即可得到x的值，再用“优秀”的人数除以总数即可得到y的值，根据得到“一般”的人数将直方图补充完整即可； （2）将这组的具体成绩按照从小到大排列后，取中间两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数； （3）画出树状图，用被抽取的2人恰好是女生的结果数除以总结果数即可． 【小问1详解】 解：随机抽取部分游客的总数为（人）， “一般”的人数为：（人）， ，； 故答案为：， 将直方图补充完整如下： 【小问2详解】 解：这组的具体成绩按照从小到大排列为：91，93，94，94，96，98，99，100， ∴中位数是，众数是94， 故答案为：95，94； 【小问3详解】 解：依题意，画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， 所以恰好抽中2名女生的概率为， 即恰好抽中2名女生的概率为． 22. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 四、解答题（第23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，共计36分） 23. 如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长及的半径． 【答案】（1）见解析 （2）；的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证； （2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴即 ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 解得： 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为 24. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． （1）求的值； （2）现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）精加工数量应为个，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【小问2详解】 解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）存在，，的最小值为 【解析】 【分析】（1）将对称轴，点分别代入对称轴公式和解析式，可得关于、的方程组，解方程组即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称，与轴交于， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点， ∴设，， ∵旋转， ∴，， 当点在轴上方时， ∵，关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作⊥对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 把点代入，得 ， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在， 在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，则， ∵抛物线中，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，，的最小值为． 【点睛】这道二次函数综合题，核心考查抛物线对称轴性质、旋转构造全等三角形、胡不归最值的线段转化，解题关键是几何性质代数化，以分类讨论和垂线段最短破局． 26. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $