精品解析：山西吕梁市临县部分学校2026年九年级考前训练数学试卷

九年级考前训练 数学 中考全部内容 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中，就首次引入了负数的概念．下列各数中，是负数的是（　　） A. 5 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查负数的定义，根据“小于0的数是负数”，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】负数的定义是小于0的数，各个选项中只有是负数， 故选：B 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意； B．，即选项B错误，不符合题意； C． ，即选项C错误，不符合题意； D． ，即选项D正确，符合题意． 4. 如图，为测量池塘两端距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 5. 方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 6. 如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A. 24 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再证明得到四边形是矩形，最后根据四边形的面积是求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 7. 如图，为的直径，C是上的一点，连接与相切于点C，过点B作．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由直径可得，再求出，由切线求出，得到，最后根据求的度数． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 物理课上，同学们在电压一定的情况下，进行了“探究电流与电阻的关系”的实验，得到如下实验数据： 电阻 5 10 15 20 25 电流 则电流I与电阻R之间的函数关系式为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格数据进行求解即可． 【详解】解：根据表格数据：， ∴电流I与电阻R之间的函数关系式为． 9. 某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A. 甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B. 乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C. 丙店平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D. 甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 10. 在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解.．综合运用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴正半轴上，，则点C的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的坐标为． 13. 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：改造后种植区的长为，宽为， 根据改造后种植区的面积为，可列方程． 14. 6月25日是“全国低碳日”，某城市在“全国低碳日”来临之际推出“绿色出行集章抽盲盒”活动：市民乘坐公交、地铁或骑行共享单车均可集章，累计3枚章可参与一次盲盒抽奖．盲盒内共有3张除内容外其余均相同的奖券，奖品包含“低碳出行纪念徽章”“智能家电优惠券”“低空物流快递券”，若小聪累计集章后参与了两次抽奖（每次抽奖后奖券放回盲盒），他两次都抽到“低空物流快递券”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设“低碳出行纪念徽章”“智能家电优惠券”“低空物流快递券”三个事件分别为A、B、C，然后根据题意列表确定所有结果数和两次都抽到“低空物流快递券”的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设“低碳出行纪念徽章”“智能家电优惠券”“低空物流快递券”三个事件分别为A、B、C， 根据题意列表如下： 第二次 第一次 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 则小聪累计集章后参与了两次抽奖共有9次结果，其中C，C只有一次，即他两次都抽到“低空物流快递券”的结果只有1种，故概率为． 15. 如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点F，延长，交于点H，由，结合平分，根据角的关系可得到是等腰三角形，同理可得是等腰直角三角形，再由勾股定理及角对应的直角边和斜边的关系，求出各边，由，，得到，从而得到线段比例关系，代入数值即可解出． 【详解】解：如图1所示，延长，交于点F，延长，交于点H， ， ， 平分， ， ， ∴， 是等腰三角形， ，，， ∴是的角平分线，， ∴同理可得是等腰三角形，， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ，，，，． ，， ， ， ∴, ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． （1）求n的值，以及直线对应的函数表达式． （2）若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）先将点代入反比例函数，求出的值，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）设，求出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得， 设直线的函数表达式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴点M的横坐标为． 18. 随着人工智能的发展，“AI智能护眼”专项行动走进校园，某中学为有效落实政策，对八年级30名学生的每日课后护眼情况开展抽样调查，收集数据并整理得到以下信息： 信息一：抽样调查的护眼时长数据（单位：分钟）． 15，20，20，15，30，25，20，30，15，25，20，30，25，15，20， 25，30，20，15，25，40，20，25，15，20，30，25，20，35，20． 信息二：护眼活动类型与时长分组分布． 1．活动类型：这30名学生参与的护眼活动分为三类： A．AI视力检测（含数据同步）；B．远像光屏学习；C．光波护眼按摩． 各类活动参与人数扇形统计图如下（不完整），已知参与B类活动的学生有12人，且每名学生均参与且仅参与一类活动． 2．时长分组：将护眼时长划分为四组： ①不低于15分钟（基础达标）；②不低于20分钟（标准达标）；③不低于25分钟（优质达标）； ④不低于35分钟（高阶达标）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为___________，C类的占比是___________． （2）若该校八年级共有300名学生，估计每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（分钟）的学生人数． （3）该校开展“护眼标兵”评选，规定：护眼时长能超过全校八年级一半学生的同学可入围．八年级学生小王的每日课后护眼时长为21分钟，请结合抽样调查数据，判断小王是否能入围“护眼标兵”，并说明理由． 【答案】（1），30 （2）140 （3）小王能入围，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据这30名学生中参与B类活动的学生有12人求解即可； （2）根据信息一得到30名学生中每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（ 分钟）有人，再求解即可； （3）求出抽样调查30名学生护眼时长的中位数，再判断即可． 【小问1详解】 解：∵这30名学生中参与B类活动的学生有12人， ∴扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为，C类的占比是， 故答案为：，30； 【小问2详解】 解：由信息一可知，“优质达标及以上”的学生人数为14， ∴（名）． 答：每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（ 分钟）学生人数约为140． 【小问3详解】 小王能入围． 理由：抽样调查30名学生护眼时长排序后，第15，16个数据均为20分钟，这意味着抽样中至少有一半学生的护眼时长分钟．小王的21分钟分钟，说明他的护眼时长超过了抽样数据中的中间水平，对应到全校八年级学生，其时长也能超过一半同学，因此符合入围要求． 19. 山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设．某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务．问原计划每天安装光伏板多少组？ 【答案】40组 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天安装光伏板x组，根据“每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务”列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天安装光伏板x组． 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 答：原计划每天安装光伏板40组． 20. 项目学习 项目背景：平遥古城是中国保存最完整的古代县城之一，被誉为“中国古建筑宝库”．标志性建筑是古城南大街的市楼．某数学研学小组在平遥古城开展“数学与古建筑测量”实践活动，利用测量工具得到了相关数据． 数据采集：如图，研学小组在水平青石板路面点M处放置测角仪，测得市楼顶端A的仰角为，然后沿南大街朝市楼方向前进到达点N，测得点A的仰角为．已知测角仪的高度为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求市楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形，得到，．根据是等腰直角三角形，设，则．在中，由列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形， ，． ， 是等腰直角三角形， ． 设， 则． 在中，，， ∴， 解得， ． 答：市楼的高度约为． 21. 阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： （1）在图1中，若，，则的度数为___________． （2）完成【性质探索】中的证明过程． （3）如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形为“等垂四边形”，得到，且，再求出，最后根据四边形内角和求即可； （2）由四边形为“等垂四边形”， 得到，且，根据代入角度关系证明即可． （3）先作，再作，交点即为． 【小问1详解】 解：∵四边形为“等垂四边形”， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 证明：四边形为“等垂四边形”， ，且， ∴． 在中，， ∴． 【小问3详解】 如图，“等垂四边形”即所求． 22. 综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． （2）若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 【答案】（1）①，②不能精准射中点P，理由见解析 （2）米 【解析】 【分析】（1）①由题意可得抛物线的顶点坐标为，设函数的表达式为，再将原点代入求得a的值即可确定函数解析式；②将代入函数解析式求得y的值，然后与比较即可解答． （2）设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为，由题意可得，再将点代入解析式求得n的值即可解答． 【小问1详解】 解：①由题意得：，抛物线的顶点坐标为 设函数的表达式为， 将原点代入上式，得，解得， 首次喷水的抛物线表达式为， ②首次喷出的水流不能精准射中点P． 理由：将代入中，得 ， 首次喷出的水流不能精准射中点P． 【小问2详解】 解：设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为， 由题意可得Q的坐标为，即， 将代入可得： ，解得：， 所以喷头向上平移的距离米． 23. 综合与探究 问题情境：图1是两个全等的等腰直角三角板和，将两者完全重合，且．以的中点O为中心，将顺时针旋转（如图2），设旋转角为(． （1）如图2，在绕点O顺时针旋转的过程中，连接，判断四边形的形状，并证明． 探索发现： （2）如图3，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）在绕点O顺时针旋转的过程中，当A，E，F三点共线时，若，请你直接写出的值． 【答案】（1）四边形是矩形，证明见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由全等得，由O是的中点，先证四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形； （2）连接．由旋转的性质得，，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况，当点F在点A，E之间时，作于点H，证明，根据对应边成比例列式求解；同理，当点F在点A，E之间时，作于延长线于点H，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 证明：由全等的性质得． O是的中点， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：． 理由如下： 如图1，连接． 在中，，O是的中点， ． 在中，根据勾股定理可得， 由旋转的性质得，，， ， ， ∴， 即． 【小问3详解】 解：的值为或． 当点E在点A，F之间时，如图2所示，作于点H， 在中，，，O是的中点， ， 由旋转得， ． ， ， 又， ， ，即， 解得，， ， ； 当点F在点A，E之间时，如图3所示，作于的延长线于点H， 同理可得， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级考前训练 数学 中考全部内容 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中，就首次引入了负数的概念．下列各数中，是负数的是（　　） A 5 B. C. 0 D. 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 5. 方程组解是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A. 24 B. 30 C. 48 D. 60 7. 如图，为的直径，C是上的一点，连接与相切于点C，过点B作．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 物理课上，同学们在电压一定的情况下，进行了“探究电流与电阻的关系”的实验，得到如下实验数据： 电阻 5 10 15 20 25 电流 则电流I与电阻R之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 9. 某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A. 甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B. 乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C. 丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D. 甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 10. 在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴正半轴上，，则点C的坐标为___________ 13. 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 14. 6月25日是“全国低碳日”，某城市在“全国低碳日”来临之际推出“绿色出行集章抽盲盒”活动：市民乘坐公交、地铁或骑行共享单车均可集章，累计3枚章可参与一次盲盒抽奖．盲盒内共有3张除内容外其余均相同的奖券，奖品包含“低碳出行纪念徽章”“智能家电优惠券”“低空物流快递券”，若小聪累计集章后参与了两次抽奖（每次抽奖后奖券放回盲盒），他两次都抽到“低空物流快递券”的概率是___________． 15. 如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和解不等式组： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． （1）求n的值，以及直线对应的函数表达式． （2）若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 18. 随着人工智能的发展，“AI智能护眼”专项行动走进校园，某中学为有效落实政策，对八年级30名学生的每日课后护眼情况开展抽样调查，收集数据并整理得到以下信息： 信息一：抽样调查的护眼时长数据（单位：分钟）． 15，20，20，15，30，25，20，30，15，25，20，30，25，15，20， 25，30，20，15，25，40，20，25，15，20，30，25，20，35，20． 信息二：护眼活动类型与时长分组分布． 1．活动类型：这30名学生参与的护眼活动分为三类： A．AI视力检测（含数据同步）；B．远像光屏学习；C．光波护眼按摩． 各类活动参与人数扇形统计图如下（不完整），已知参与B类活动的学生有12人，且每名学生均参与且仅参与一类活动． 2．时长分组：将护眼时长划分为四组： ①不低于15分钟（基础达标）；②不低于20分钟（标准达标）；③不低于25分钟（优质达标）； ④不低于35分钟（高阶达标）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为___________，C类的占比是___________． （2）若该校八年级共有300名学生，估计每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（分钟）的学生人数． （3）该校开展“护眼标兵”评选，规定：护眼时长能超过全校八年级一半学生同学可入围．八年级学生小王的每日课后护眼时长为21分钟，请结合抽样调查数据，判断小王是否能入围“护眼标兵”，并说明理由． 19. 山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设．某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务．问原计划每天安装光伏板多少组？ 20. 项目学习 项目背景：平遥古城是中国保存最完整的古代县城之一，被誉为“中国古建筑宝库”．标志性建筑是古城南大街的市楼．某数学研学小组在平遥古城开展“数学与古建筑测量”实践活动，利用测量工具得到了相关数据． 数据采集：如图，研学小组在水平青石板路面点M处放置测角仪，测得市楼顶端A的仰角为，然后沿南大街朝市楼方向前进到达点N，测得点A的仰角为．已知测角仪的高度为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求市楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 21. 阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： （1）在图1中，若，，则的度数为___________． （2）完成【性质探索】中的证明过程． （3）如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． （2）若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 23. 综合与探究 问题情境：图1是两个全等等腰直角三角板和，将两者完全重合，且．以的中点O为中心，将顺时针旋转（如图2），设旋转角为(． （1）如图2，在绕点O顺时针旋转的过程中，连接，判断四边形的形状，并证明． 探索发现： （2）如图3，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）在绕点O顺时针旋转的过程中，当A，E，F三点共线时，若，请你直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $