河北衡水中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题

《2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A B B C BD BCD 题号 11 答案 AC 12． 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出的值，再计算的值. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 13．8 【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可. 【详解】先安排甲、乙，有种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有种方法； 又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有种方法； 所以不同的排法共有（种）排法. 故答案为：8 14． 【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值. 【详解】由， 整理得， 化简得：， 设函数，可知函数在内单调递增， 由可得，即，代入得， 令， 令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 故当 时， 取得最小值，此时 ，最小值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得，即可得结果； （2）整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可得， 即对任意恒成立，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 所以. 16．(1)有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买AI手机与顾客的性别无关，取，， 因为，所以否定原假设，即有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）法1：可取值， 而，， ，， ， 故的分布为， 期望. 法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为， 从而，而相互独立，故. 17．(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 18．(1)和 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，化简得到，即可求解； （2）根据题意，将方程，化简得到，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解； （3）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到，分类参数转化为在上恒成立，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：当时，方程，即为， 即，可得， 解得或，可得或， 所以函数的不动点为和. （2）解：由方程，可得， 即，可得，即为， 令，当时，可得， 因为函数在区间上存在两个不动点， 可得关于的方程在上有两个不等的实数根， 令，可得在单调递减，在单调递增， 且， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：不等式，可化为， 由函数在上单调递减函数， 可得， 因为对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式，即， 可得，即为， 所以在上恒成立， 令，当时，可得， 由题意得，对任意，不等式恒成立， 函数在上为单调递增函数，所以， 函数在上为单调递减函数，所以， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 19．(1)证明见详解 (2)①；② 【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得，，结合直角三角形三角关系分析证明； （2）①根据三角知识结合基本不等式可得，利用弦长公式求得，分和两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得，可得圆柱的体积，构建函数，利用导数求最值. 【详解】（1）过作，垂足为，过作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 则， 所以. （2）因为以AB为直径的圆与准线相切于点C，可知， 则， 由（1）可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， ①因为平面，平面，则，， 即， 在中，则， 在中，由余弦定理可得， 则， 在中，则， 在中，则，可得， 由题意可知：焦点，准线，直线的斜率存在，且直线与抛物线必相交， 设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得， 当时，取到最小值2，根据对称性可知， 可得； 当时，则，且， 由基本不等式可得， 则； 综上所述：的最小值为2，当且仅当，时，等号成立， 所以，两点间的最小距离为； ②由（1）可知：当，两点间的距离最小时，则，， 可知为中点，且与重合， 因为， 设的内切圆半径为， 由等面积法可得：，解得， 设圆柱的底面半径为，高为， 则，可得， 所以圆柱的体积， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 所以圆柱体积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：对于（2）中： ①利用勾股定理结合余弦定理整理可得； ②根据锥体的结构特征分析可得，进而可求圆柱体积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三 数学学科 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（共58分） 一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分) 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知， 为虚数，则 的值可能为（    ） A． B．1 C．0 D．2 4．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知满足，且当时， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分) 9．下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 10．已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率的取值范围是 C．椭圆上存在点使得 D．已知，椭圆的离心率为，则的最大值为 11．定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:(    ) A．是的一个“完美区间” B．是的一个“完美区间” C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 第II卷（共92分） 三、填空题(每题5分，共15分) 12．已知，则______. 13．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种． 14．已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 四、解答题(共5题，满分77分) 15．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 16．AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 17．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，. (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）． (1)证明：； (2)当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $