精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

高三数学 班级___________姓名___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为落实“五育并举”育人理念，某校随机对10名学生的劳动教育素养进行测评，10名学生的得分情况如下（满分10分）：4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 已知半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切．现从该圆柱中挖去球，得到一个空心几何体，用平行于圆柱下底面的平面去截，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数线性相关，则的一组值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，若点是线段的中点，则的长度可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. C. 可能是等腰三角形 D. 的最小值为4 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的图象关于点对称 B. 当时，函数在上单调递增 C. 若为的极小值点，则m的取值范围为 D. 存在唯一的m，使得过点有两条直线与曲线相切 11. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，记前次所抛的骰子正面向上的点数之和为是满足的前次抛掷的情况总数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则___________． 13. 已知函数，则___________；函数的所有零点的乘积为___________． 14. 正方体的棱长为2，上底面的中心为，现将上底面绕旋转角度后得到一个十面体（如图），则在旋转过程中，该十面体体积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． （1）记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； （2）从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 16. 已知向量，且为锐角． （1）求角的大小； （2）设函数 ，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 在四棱锥中，，，，，，分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段中点，在线段上且为靠近点的三等分点，证明：，，，四点共面． 18. 已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）设函数，讨论函数在其定义域内的极值点个数； （3）已知数列的通项公式为，证明：数列为单调递减数列． 19. 已知两定点，满足的动点的轨迹是曲线．过点且不与两坐标轴平行的直线与曲线交于两点（点在上方），记弦的中点为，为坐标原点． （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且交轴于点，，且与的斜率之积小于0． （i）证明：； （ii）若直线 交轴于点，直线交直线于点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 班级___________姓名___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 2. 为落实“五育并举”育人理念，某校随机对10名学生的劳动教育素养进行测评，10名学生的得分情况如下（满分10分）：4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，结合条件，即可得答案. 【详解】下四分位数为第百分位数，且， 所以这组数据的下四分位数为数据的第三位数，是5. 3. 已知半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切．现从该圆柱中挖去球，得到一个空心几何体，用平行于圆柱下底面的平面去截，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的内切球可得圆柱的底面半径，高，再结合球的性质求截面圆半径，即可得结果. 【详解】因为半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切， 则圆柱的底面半径，高， 当与圆柱下底面的距离为1时，则球到截面的距离，可得截面圆的半径， 所以截面面积为. 4. 已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义，联立求解，即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得，，即，所以， 因为为的平分线， 所以由角平分线定理得，则 ，即， 由椭圆定义得，联立解得. 5. 已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】以A为圆心，3为半径的圆的标准方程为， 以B为圆心，4为半径的圆的标准方程为， 又 ， 由题意可知直线是两圆的公切线， 因为 ，所以两圆相交， 即两圆的公切线有2条，则符合条件的直线的条数为2条. 6. 对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数线性相关，则的一组值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的线性相关定义，依次将各选项代入检验即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A不合题意； 对于B，当时，，故B不合题意； 对于C，当时，，符合题意； 对于D，当时，，故D不合题意. 7. 已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 8. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，若点是线段的中点，则的长度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出，再应用向量的数量关系得出，最后应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出边长范围. 【详解】因为， 由正弦定理可得： ，即得， 化简得出 因为在，，， 所以，因为在，，所以， 因为为的中点， 所以， 即， 设， 因为且由正弦定理可知：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为， 又因为，单调递增，所以，所以， 所以长度的取值范围是，所以的长度可以为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. C. 可能是等腰三角形 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义判断B、D，写出坐标，根据关系即可判断C. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A正确， 过点作轴的垂线交轴于点，交准线于点，依据抛物线的定义得： ， ，B选项错误； 当时，，是等腰三角形，C选项正确； 因为 ，所以 ， 当且仅当时取最小值3，D选项错误； 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的图象关于点对称 B. 当时，函数在上单调递增 C. 若为的极小值点，则m的取值范围为 D. 存在唯一的m，使得过点有两条直线与曲线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算即可判断A选项；求导分析即可判断B选项；根据极小值的定义即可得C选项；设切点，利用导数写出切线方程，代入使其有且只有两个解，转化为三次函数有且只有两个零点，即有两个极值点，其中一个极值为0，代入求解即可得D. 【详解】A选项，当时，，，函数的图象关于点对称，故A选项正确； B选项，，令，或， 当时，当时，，在单调递减，故B选项错误； C选项，若为的极小值点，则由二次函数性质可得，则m的取值范围为， 故C选项正确； D选项，设切点则切线斜率为， 切线方程：，即 代入可得，设， 则，令，则或， 由于，则由三次函数性质，要使有且仅有两个解，则且， 有唯一解，故D选项正确； 故选：ACD. 11. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，记前次所抛的骰子正面向上的点数之和为是满足的前次抛掷的情况总数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可以通过列举可能的情况来判断A；通过分别讨论的可能取值来判断B，通过 表示第次抛掷的点数大于等于来判断C；最后根据隔板法来判断D. 【详解】对于A，表示前次抛掷点数之和 的所有情况总数， 列举得共种情况，即，故A正确； 对于B，前次抛掷的总可能情况数为，表示前次抛掷点数之和， 要满足 ，则的可能取值为， 当时，组合为，只有种情况； 当时，组合为的排列，即，共种情况； 当时，组合为的排列和的排列，共种情况； 当时，组合为的排列、的排列以及， 共 种情况； 即满足 的情况数共有种，则，故B正确； 对于C，表示前次抛掷点数之和，表示前次抛掷点数之和， 则表示第次抛掷的点数，设第次抛掷的点数为，则有， 则的可能取值为， 的情况包括，共种，总情况数为， 因此，即，故C错误； 对于D，设分别表示第次抛掷的点数，其中， 是满足 的所有抛掷情况总数， 即求 的正整数解的个数，其中 ， 令 ，则且 ，则不等式变为 ， 即 ， 不考虑 的限制，计算 的非负整数解的个数 等价于 的非负整数解的个数，其中是剩余量， 根据隔板法，解的个数为 ， 接下来排除违反 的限制的情况，这意味着存在 ，由于总和是， 因此只存在一个 ，其余，这种情况有种， 因此，满足条件的情况总数为 ，即 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系求出可知数列是周期为3的周期数列，从而得解. 【详解】因为数列满足， 所以，，，……， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以， 13. 已知函数，则___________；函数的所有零点的乘积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】代入计算，结合函数单调性判断零点个数，分析零点的关系即可. 【详解】当时， ； 所以是的一个零点， 求其他零点，解方程，即， 即 ， 令 ， ， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 因为是的一个零点，且， 计算 ， ， ， ， 所以有三个零点， 设， 设，是零点，即， 令，代入方程， 则， 所以， 所以， 所以也是方程的根，即零点互为倒数，即 所以所有零点的乘积为 . 14. 正方体的棱长为2，上底面的中心为，现将上底面绕旋转角度后得到一个十面体（如图），则在旋转过程中，该十面体体积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把十面体看成以原正方体中心为公共顶点、以十面体各个面为底面的若干个小棱锥的组合．可求上下两个四棱锥的体积；八个侧面三角形对应的棱锥可按对称性配对，只需求出四个距离，最后得到体积关于的表达式并求最大值． 【详解】设原正方体的中心为．连接与十面体的各个顶点， 则十面体可分成以为公共顶点、以十面体各个面为底面的若干个小棱锥．辅助图如下． 上下两个四边形面均为边长为的正方形，且到这两个面的距离均为，所以这两部分体积和为 下面计算侧面部分体积．以侧面三角形为例，取为的中点，则，且 所以 设点到平面的距离为，则 由于十面体关于中心成对称，侧面八个三棱锥可以两两配对，因此侧面部分的体积可写成 于是 下面求．以为原点建立空间直角坐标系，使原上底面所在平面为平面， 原正方体中心为．可取， 上底面绕旋转后，有 ，， ，， 以为例，平面的一个法向量可取 由点到平面的距离公式得 . 同理可得 所以 代入体积表达式，得 即 因为且， 所以， 因此的最大值为，从而 故 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． （1）记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； （2）从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 【答案】（1） （2）(2)分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）利用条件概率的公式即可； （2）列出的取值，并根据题意及超几何分布得到各值的概率求出期望即可. 【小问1详解】 记“生产的1件产品为不合格产品”为事件A，“产品为严重不合格产品”为事件B， 则，， 由条件概率公式得， 所以在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率. 【小问2详解】 由题意可得可以取0，1，2，3 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 所以 . 16. 已知向量，且为锐角． （1）求角的大小； （2）设函数 ，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件即可求解； （2）先化简函数以及不等式，再通过三角函数得出函数的值域即可求解 【小问1详解】 已知向量，，由于，则 ， 因为是锐角，，所以有，故. 【小问2详解】 由（1）得，所以，代入函数中，得， 又因为不等式 在上恒成立，等价于 ，即 在上恒成立， 要使该不等式恒成立，则需要满足 且 ， 当时，，， 因此，即，， 因此需要满足，解得，即实数的取值范围为. 17. 在四棱锥中，，，，，，分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段中点，在线段上且为靠近点的三等分点，证明：，，，四点共面． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明为正方形从而得到，再证明从而证明，即可得证； （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量法即可求解； （3）以为基底表示，从而得到，根据共面定理即可证明. 【小问1详解】 连接， 因为为中点，所以， 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形， 又，， 所以四边形为正方形， 所以，， 又因为，， 所以，所以， 又因为分别为线段和的中点，所以， 所以， 又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 所以，所以， 由（1）知， 又，平面， 所以平面， 又，，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 由（1）知平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值. 【小问3详解】 因为分别为线段和的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 在线段上且为靠近点的三等分点， 所以， 所以， ， ， 所以， 故，，，四点共面. 18. 已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）设函数，讨论函数在其定义域内的极值点个数； （3）已知数列的通项公式为，证明：数列为单调递减数列． 【答案】（1）证明见解析 （2）时，函数在其定义域内的极值点个数为0；时，函数在其定义域内的极值点个数为1；当且时，函数在其定义域内的极值点个数为2； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构建 ，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明； （2）求导可得，分、和三种情况，结合导数分析单调性得出函数极值点； （3）根据（1）（2）分析可得，进而可得，分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：等价于，其中． 构建 ， 则当时， ， 可知在上单调递减，则时，， 所以时，． 【小问2详解】 由题意可知： ， 则 若，则，， 由单调递减，单调递增， 可知在取得极小值点，函数在其定义域内的极值点个数为1； 若，则 ，由单调递增， 单调递减， 单调递增， 可知在取得极大值点，在取得极小值点，函数在其定义域内的极值点个数为2； 若，则 ， 可知在上为增函数，没有极值点，函数在其定义域内的极值点个数为0； 若，则，由单调递增， 由单调递减， 由单调递增， 可知在取得极大值点，在取得极小值点，函数在其定义域内的极值点个数为2； 综上所述：时，函数在其定义域内的极值点个数为0； 时，函数在其定义域内的极值点个数为1； 当且时，函数在其定义域内的极值点个数为2； 【小问3详解】 由（2）知：在上单调递增， 所以时， ，即， 由（1）知：时，， 则， 所以时，， 令得：， 即， 因为， 所以 ， 所以，数列为单调递减数列． 19. 已知两定点，满足的动点的轨迹是曲线．过点且不与两坐标轴平行的直线与曲线交于两点（点在上方），记弦的中点为，为坐标原点． （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且交轴于点，，且与的斜率之积小于0． （i）证明：； （ii）若直线交轴于点，直线交直线于点，证明：． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义结合即可计算求解； （2）（i）联立与的方程得到中点坐标以及，进而得到以及点坐标，利用斜率公式求出斜率，验证是否满足垂直条件；（ii）先求出点坐标，再根据 为与直线的夹角，为与直线的夹角分别求出 和 ，验证两者相等即可. 【小问1详解】 根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 由可得，由可得， 所以 ，故曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）依题意可设直线 ，与的方程联立 整理得 ，过双曲线的右焦点且不与轴平行， 则必与双曲线有两个交点，且分别在轴上下方，设， 则由韦达定理可得 ， 中点坐标满足 ，代入得， 且有， 由得，设，则， 解得，此时的斜率， 而的斜率为，所以 ，不符合条件， 或，此时的斜率 ， 而的斜率为，满足，所以. （ii）直线交直线于点，由（i）得 ， 令得点的纵坐标，依题意 即为与直线的夹角，而垂直于轴，所以， 即为与直线的夹角，的斜率为， ， 于是有， 将 代入得 ， 即 ，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $