2026年甘肃省兰州市学业水平考试模拟试卷数学（三）

2026年兰州市学业水平考试模拟试卷 数学（三） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P．若量角器上显示∠COQ的读数为50°，则∠APQ的度数为（　　） A．50° B．110° C．120° D．130° 3．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（　　） A．360° B．900° C．1260° D．1620° 4．方程的解是（　　） A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝2 D．x＝﹣2 5．学校每周一都会举行升国旗仪式．如图，随着绳子的拉动，旗杆顶部的定滑轮不断转动（假设绳索与滑轮之间没有滑动），国旗缓缓上升．定滑轮的半径为4cm，若滑轮上一点A转动了30°，则国旗上升的高度约为（　　） A． B． C． D． 6．关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3） C．函数图象的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx﹣kb＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 8．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（　　） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶 9．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知∠B＝90°，光从M点平行于BC进入棱镜，在CD边上点G处反射，到达AE边点F处，经过再一次反射，然后沿垂直BC边方向，从点N处离开棱镜，若∠α＝70°，则∠β的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 10．已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和y2＝﹣x+3．当x＝1时，y1＝﹣2；当x＞2时，y1＞y2；当x＜2时，y1＜y2．根据以上信息，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的表达式为（　　） A．y＝﹣5x+3 B．y＝3x﹣5 C．y＝﹣3x﹣5 D．y＝﹣3x+5 11．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0），动点E，F同时从点A出发，E沿A→C运动，F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记△ABC在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图象为（　　） A．B． C．D． 二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分） 12．因式分解：x2﹣6x+9＝　． 13．如图，在数轴上以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A．根据图中数据，则点A所表示的数是　　 ． 14．如图，在▱ABCD中，，CD＝4，tan∠DAB＝2．点E是BC上一点，若∠DEA＝2∠EAB，则CE的长为　　 ． 15．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB，那么边AD的长为 　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）化简：（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣y）2． 18．（5分）解不等式组：． 19．（7分）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3），B（a，﹣1）两点，与y轴相交于点C． （1）求k和a的值； （2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积． 20．（7分）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读内容并完成相应的任务． *年*月*日星期六 三角形的重心 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，那么如何确定这个点的位置呢？ 根据相关内容的学习，我知道了这个点是三角形的重心．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的重心有什么性质呢？ 【问题探究】如图，已知△ABC中，中线AE，BF，CD交于点O，我发现AO＝2EO，BO＝2FO，CO＝2DO． 证明：延长AE至点G，使EG＝OE，连接BG，CG．∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE． ∴四边形BGCO是平行四边形（依据）．∴CD∥BG． … 【结论应用】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1（每个小正方形的顶点叫做格点），△ABC的顶点都在格点上． （1）用无刻度的直尺找到△ABC的重心O；（2）△AOB的面积为 　　 ． 任务：（1）上述日记中的“依据”是指 　　 ； （2）请将上述日记中的证明过程补充完整（只求证AO＝2EO）； （3）完成“结论应用”中的两个问题． 21．（7分）甘肃科技馆（如图①所示）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度AB的示意图，求甘肃科技馆的高度AB． 方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶B到地面的高度为AB在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内． 数据收集：α＝45°，β＝54°，CE＝10m，测角仪CD（EF）高1m． 问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度．（计算结果保留整数，参考数据：1.41，sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38） 22．（7分）综合与实践 【主题】马格努斯效应与乒乓球 【素材1】马格努斯效应是旋转物体在流体中运动时，因两侧流体速度流速差异产生侧向力的现象．如足球中的“香蕉球”，棒球中的“曲线球”．研究团队利用高速摄像机，研究乒乓球的飞行轨迹受马努格斯效应的影响． 【素材2】乒乓球在旋转时，侧向偏移距离y（单位：厘米）与旋转角速度ω（单位：弧度/秒，弧度为度量角大小的一种单位）成正比．当ω＝80时，y＝24． 【素材3】该乒乓球的飞行轨迹在水平方向的位移x（单位：厘米）与飞行时间t（单位：秒）满足x＝10t，竖直方向的高度h（单位：厘米）与飞行时间t满足h＝﹣2t2+12t． 【问题1】根据素材，求乒乓球飞行的y与ω的函数关系式； 【问题2】根据素材，计算乒乓球在竖直方向上运动的高度h超过10cm的运动时长是多少； 【问题3】乒乓球飞行到最高点时，若由马格努斯效应产生的侧向偏移距离与水平位移的比值为0.5，求此时球的旋转角速度． 23．（7分）园艺研习活动中，同学种植月季花树给学校花园做景观造型．已知红色、黄色两种颜色的月季花树分别种植了12棵，从育苗到移栽均在同等条件下进行，一段时间后，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm），数据整理如下： a．两种颜色月季花树高度的频数： 高度（cm） 131 135 136 140 144 148 149 频数 红色 0 1 1 5 2 2 1 黄色 1 0 2 2 4 2 1 b．两种颜色月季花树高度的有关统计量： 统计量（cm） 平均数 中位数 众数 红色 142 140 m 黄色 142 n 144 请根据上述信息回答下列问题： （1）填空m＝ 　　 ，n＝ 　　 ； （2）在这两组花树中，高度的整齐度更好的是 　　 （填“红色”或“黄色”）； （3）根据造型设计，现要从这两种颜色的花树中各选择10棵，使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近，且方差都尽可能小．若黄色花树去掉了高度为131cm和149cm的两棵，则红色花树应去掉高度为多少的两棵？说明理由． 24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E． （1）求证：CE⊥DE； （2）若AB＝10，tanA，求DE的长． 25．（8分）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图①，如果，则点C为线段AB的黄金分割点． （1）【问题发现】如图①，点C为线段AB的黄金分割点，请直接写出AC：AB的值为 　　 ； （2）【尺规作黄金分割点】如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，在BA上截取BD＝BC，在AC上截取AE＝AD，求的值； （3）【问题解决】如图③，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN；再次折叠正方形ABDE使EA与EN重合，点A对应点H，得折痕CE，试说明：点C是线段AB的黄金分割点． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于两点A和B，其中点A在⊙O上，给出如下定义：若线段AB的垂直平分线与⊙O相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． （1）如图1，点A（﹣1，0）． ①在点B1（﹣1，2），B2（0，3），B3（1，2）中，点B3 是点A的“d关联点”，其中d＝　　 ； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为　　 ； （2）直线y＝x+t（t＞1）与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在⊙O上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 2026年兰州市学业水平考试模拟试卷 数学（三） 1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 6. C 7. A 8. C 9. C 10. B 11. A 12．（x﹣3）2 13． 14． 15．9 16．解：原式＝4+2． 17．解：原式＝x2﹣9y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣10y2． 18．解：解不等式2x﹣1≥1得x≥1， 解不等式1得x＜3． 故不等式组的解集为1≤x＜3． 19．解：（1）将A（﹣1，3）代入y中， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数表达式为y， 将B（a，﹣1）代入反比例函数表达式中， 得﹣1， ∴a＝3； （2）∵a＝3， ∴B（3，﹣1），设直线AB表达式为：y＝mx+n， 将A（﹣1，3）和B（3，﹣1）分别代入y＝mx+n中， 得， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2， ∴C（0，2）， ∵C与D关于原点对称， ∴D（0，﹣2）， 作AE⊥y轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，F，如图， ∵A（﹣1，3），B（3，﹣1）， ∴AE＝1，BF＝3， ∵C（0，2），D（0，2），∴DC＝4， ∵S△ABD＝S△ACD+S△BCD，∴S△ABD8． 20．解：（1）上述日记中的“依据”是指：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：延长AE至点G，使EG＝OE，连接BG，CG．∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE． ∴四边形BGCO是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∴CD∥BG．∴． ∵CD是△ABC中AB边上的中线， ∴AD＝DB． ∴OA＝OG． ∵OE＝EG，∴OG＝2OE．∴OA＝2OE． ． （3）如图：点O即为所求． △ABO的面积为：2． 21．解：如图，延长DF与AB交于点G， 根据题意可知：CE＝10m，测角仪CD（EF）高1m． 在Rt△BFG中，∵β＝54°，∴FG， 在Rt△BDG中，∵α＝45°， ∴DG＝BG， ∵DG﹣FG＝DF， ∴BG10，解得，BG≈36m， ∴AB＝AG+BG≈1+36＝37（m），答：甘肃科技馆的高度约为37m． 22．解：问题1：由题意，侧向偏移距离y与旋转角速度ω成正比， 设y＝kω．代入ω＝80时y＝24，∴， ∴函数关系式为：； 问题2：由题意，∵h＝﹣2t2+12t，∴令h＝10，则﹣2t2+12t＝10， ∴（t﹣1）（t﹣5）＝0． ∴t＝1或t＝5． 又∵乒乓球在竖直方向上运动的高度h超过10cm的运动，且a＝﹣2＜0， ∴1＜t＜5， ∴运动时长为：5﹣1＝4（秒）． ∴乒乓球在竖直方向上高度超过10cm的运动时长为4秒． 问题3：由题意，∵h＝﹣2t2+12t是开口向下的二次函数， ∴顶点横坐标为：（秒）． ∴水平位移：x＝10t＝10×3＝30（厘米）． ∵， ∴侧向偏移位移：y＝0.5×30＝15（厘米）． ∴旋转角速度代入（弧度/秒）． ∴此时球的旋转角速度为50弧度/秒． 23．解：（1）140cm的数量最多，故m＝140；12棵黄色的月季花树中高度在第6和第7的为144和144 ∴中位数；故答案为：140，144； （2）红色的方差为：黄色的方差为：， ∴高度的整齐度更好的是红色； 故答案为：红色； （3）因为原来两种颜色花树高度的平均数相同，要使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近， 所以应去掉的红色花树中两棵树的高度和尽可能接近131+149＝280cm． 又因为要使方差尽可能小， 所以应去掉离平均数较远的两棵，所以应选择去掉135cm和149cm的两棵． 24．（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°， ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD， ∵CD平分∠OCB， ∴∠BCD＝∠OCD， ∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥CE， ∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE； （2）解：∵OD∥CE，∴∠ODC＝∠DCE，∵OD＝OA，OC＝OD， ∴∠A＝∠ADO，∠ODC＝∠OCD， ∵∠A＝∠DCE， ∴∠A＝∠OCD＝∠ADO＝∠CDO， ∵OA＝OC，∴△ADO≌△CDO（AAS）， ∴CD＝AD， ∵tanA，AB＝10，∴BD，AD＝3， ∴CD＝AD＝3， ∵∠A＝∠DCE，∠ADB＝∠E＝90°，∴△ADB∽△CED， ∴， ∴，∴DE＝3；故DE的长为3． 25．（1）解：∵，∴BC•AB＝AC2， ∵AB＝AC+BC， ∴CB•（AC+BC）＝AC2，解得：BCAC或BCAC（小于0，舍去）， ∴AC：AB＝AC：（AC+BC）＝AC：（ACAC）＝AC：AC； 故答案为：； （2）解：在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∴AB， ∵BD＝BC＝1，∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣BC1， ∴AE＝AD1，∴； （3）证明：设EC与MN交于点P，过P作PQ⊥EN于Q，如图： 由翻折的性质可知，AM＝EM，DN＝BN，AC＝CH，PM＝PQ，CH⊥EN， ∴PQ∥CH，MN∥AB， ∴P是EC的中点，AC＝2PM， 在Rt△DEN中，EN2， ∵sin∠ENM，PQ+PN＝MP+PN＝MN＝4， ∴PM＝PQ1， ∴AC＝2PM＝22， ∴BC＝AB﹣AC＝6﹣2， ∴，， ∴，∴C是AB的黄金分割点． 26．解：（1）①如图1， AB1的垂直平分线与⊙O相切，AB2的垂直平分线与⊙O相离，AB3的垂直平分线交⊙O于CD，CDOA，故答案为：；②如图2， 作半径OB，以OB为边作等边△BOE，则BE＝OB＝1，作AC⊥BE，且BE平分AC， 作OD⊥BE于D，则OD，以O为圆心，OD为半径作圆，则小圆O的切线截大圆的弦长是1，当BE⊥x轴时，点C横坐标最大，此时xC，故答案为：； （2）如图3， 由题意得OM＝ON＝t， 作⊙O的一条弦AB＝t，作OC⊥AB于C，以O为圆心，OC为半径作圆，则该圆的切线截取大圆O的弦长是t，则OC， 作⊙O关于这弦长是t的对称的圆，当MN在这些圆形成的圆环内时，满足条件， 不妨作弦EF＝t，且EF⊥x轴，作⊙O关EF的对称圆O′，则OO′＝2OC＝2， 当点M在⊙O′上时，1+2， ∴t1（舍去），当MN于⊙O相切时，切点与大⊙O上点点连线的垂直平分线截取的弦是直径，长是2，此时t，不符合题意，综上所述：． 学科网（北京）股份有限公司 $