2026年甘肃省兰州市中考模拟卷（三）

**基本信息** 2026年兰州中考数学模拟卷以科技（石墨烯结构）、文化（《九章算术》）、生活（手机信号、旋转门锁）情境为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计合理，适配中考综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|实数、几何基础、函数|手机信号强度（抽象能力）、石墨烯分子结构（空间观念）| |填空题|4/12|因式分解、统计、几何计算|蓝莓产量方差（数据观念）、旋转门锁弧长（模型意识）| |解答题|11/75|函数综合、几何证明、统计应用|圭表测量（应用意识）、正方形旋转（推理能力）、同族点新定义（创新意识）|

2026年兰州市中考模拟卷（三） 数学 注意事项: 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将班级、姓名、学号等个人信息填写在答题卡的相应位置上. 3.考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上. 1、 选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A．6 B．6 C．6 D．12 3．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．石墨烯在材料学、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（      ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中有这样一个题∶“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文∶“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用秤称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重、若交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀，6只燕重量为1斤，问每只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 第10题图 第11题图 11．如图，在中，，正方形的边长为2，与在同一直线上，△ABC的顶点A从点G出发，沿方向平移．设的长度为x，△ABC在平移过程中与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（     ） A．  B．  C．  D．   二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12．在实数范围内分解因式：__________． 13．某学校劳动实践基地种植了甲、乙、丙、丁四个品种的蓝莓，收获时统计并计算这四种蓝莓平均每棵树的产量（单位：kg）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 1.51 1.44 1.32 1.51 0.65 0.81 0.94 0.72 根据表中数据，从中挑选一个产量既高又稳定的品种作为下一年种植的品种，应该选择的品种是______（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 14．如图，在菱形ABCD中，CD边的垂直平分线EF恰好经过点A，交CD于点E，连接BE，若，则AE的长为______． 第14题图 第15题图 15．某商场卫生间旋转门锁的局部图如左图所示，右图是其工作简化图．其中把手旋转支点到门边的距离．在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为．在关门过程中把手的最大旋转角为（把手底端到达处），则关门时把手底端运动的路径的长度是___________．（结果保留） 三、解答题：（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算： 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）解不等式组： 19．（7分）如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 20．（7分）圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 21．（7分）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期× 利用折叠的性质证明△ABC的内角和是我从数学课堂上学到：要证明三角形的内角和是，可用如下方法证明：如图1，需要过点C作的平行线，将三角形的三个内角通过等角转化后，组合成一个平角，即可证明三角形的内角和是． 我受此启发，在学习完轴对称后，采用了一种新方法证明：如图2，将△ABC沿折痕折叠，使点A落在边上的点F处，且折痕，就可以证明出△ABC的内角和是．证明过程如下： 证明：由折叠可知，． …… ∴． 同理可得． ∴． 任务： (1)将材料中空缺的（省略号部分）证明过程补充完整． (2)请参照图2的思路，在图3中用尺规作出的折痕，使得点E的对应点H落在边上，且．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 22．（7分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： (1)表格中的数据：______，______，______． (2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． (3)如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． (4)假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 23．（7分）如图，为的直径，E为的延长线上一点，是的切线，切点为C，过点A作，交延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 24．（8分）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明； (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； 25．（8分）已知二次函数同时经过点和． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求抛物线表达式； ②点是二次函数图像不重合的两点，且满足，若且都是正整数，是否存在满足上述条件的值，如果存在，求出和的值；如果不存在，请说明理由． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．如图P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为（﹣3，1），点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 　 　； (2)直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D， ①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围； ②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年兰州中考模拟卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C C D C C D B 题号 11 答案 A 1．A 【分析】根据题意，只需比较各选项数的绝对值大小，绝对值越小信号越强，即可得到答案. 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 的绝对值最小，根据题意得信号最强的是 2．A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接化简二次根式，进而相乘得出答案． 【详解】解：． 故选A． 3．C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，在平面直角坐标系中，位似图形是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比为k或，据此解答即可． 【详解】解：∵正与正是以原点O为位似中心，且面积比为， ∴，且相似比为． ∵点C的坐标为， ∴点E的坐标为，即． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，根据多边形的内角和公式计算即可得出正六边形的内角和度数，再除以边数即可得解，熟练掌握正多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：∵所有多边形都是正六边形， ∴的度数为， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题人多关键是根据反比例函数的图象和性质，当且时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一、三象限中，每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 9．D 【分析】根据题目给出的两个等量关系，交换一只雀和一只燕后两边重量相等，5只雀与6只燕总重量为1斤，列出二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：∵交换1只雀和1只燕后两边重量相等，交换后左侧是4只雀加1只燕，右侧是1只雀加5只燕． ∴可得第一个方程 ， 又∵5只雀和6只燕的总重量为1斤， ∴可得方程 ，移项得 ， 因此可列方程组． 10．B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 11．A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形及等腰直角三角形的性质．按照x的取值范围分为当时，当时，分段根据重合部分的图形求面积，得出y是x的二次函数，即可得出结论． 【详解】解：当时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形， 面积为：，图象是一个开口向上的抛物线的一部分； 当时，重合部分是直角梯形， 面积为：，图象是一个开口向下的抛物线的一部分． 故选：A． 12． 【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 13．甲 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．先比较平均数得到甲组和丁组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】解：且， ∴应该选择的品种是甲． 故答案为：甲． 14． 【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质可得AC=AD，可证得△ACD为等边三角形，从而得到CE=ED=1，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC， ∵EF垂直平分CD， ∴AC=AD， 在菱形ABCD中，AD=CD=AB=2， ∴AC=AD=CD=2， ∴△ACD为等边三角形， ∴CE=ED=1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 15． 【分析】本题考查勾股定理，弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先由勾定理求出所在圆的半径，再根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意知：， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， 解得： ∴的长度 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及平方差公式，乘法分配律，合并同类项等知识，正确进行运算是关键；利用平方差公式及乘法分配律展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 17． 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤是解题的关键．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 所以，原不等式组的解集是 ． 19．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，利用的面积是面积的2倍，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点和点均在反比例函数图象上， ， ，， ，的函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 的函数表达式为； （2）解：，是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：或时，； （3）解：在函数中，令，得， 直线交轴于， 设， 的面积是面积的2倍， ， 解得或， 或． 20．9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，尺规作图； （1）根据可得，，再由，等量代换得到，问题得解； （2）由折叠的性质可知，垂直平分，故先作交于H，再作的垂直平分线与交于点M，与交于点N即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知，． ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， 同理可得． ∴． （2）解：如图所示： 22．(1)5，8，80.5 (2) (3)240 (4)每人每年平均阅读13本课外书 【分析】本题主要考查用样本估计总体，求中位数，数据的统计和分析的知识，准确把握平均数、中位数和理解样本和总体的关系是解题的关键． （1）根据给出的数据直接得出a和b的值，再根据中位数的定义即可求出结果； （2）根据表格找到人数最多的对应的等级即可； （3）用总人数乘以等级为“B”的学生所占的百分比即可； （4）用总周数乘以所占的百分比即可得出答案． 【详解】（1）解：由已知数据知； ∵第10、11个数据分别为80、81， ∴中位数 (min)， 故答案为∶5，8，80.5； （2）解：∵用样本中的统计量看该校学生每周用于课外阅读时间最多的人数在B等级中， ∴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B． 故答案为：B． （3）解：估计等级为“B”的学生有： (人)， 故答案为：240； （4）解：估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为： (本)； 答：该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为13本． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，先得出，即可得出； （2）设半径为r，则，，先求出，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的切线， ， ，即， 为的直径， ，即， ， ， ， ． （2）解：设半径为r，则，， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ． 24．(1)，理由见解析 (2)．理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）如图2，把绕点A顺时针旋转得到易证可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）先证明得再证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）先说明；如图，以点D为旋转中心，将顺时针旋转得，则可得，然后证明可得，然后证明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图2，把绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴点E，点B，点C三点共线， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图：在线段上截取， 在与中， ， ∴， ∴，， 如图：连接，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴． （3）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴， 如图，以点D为旋转中心，将顺时针旋转得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 25．(1) (2)①抛物线表达式为；②不存在满足所有条件的正整数．理由见解析 【分析】（1）由对称性可得函数图像对称轴为直线，再根据二次函数的性质可得二次函数的对称轴公式为，即，进而完成解答； （2）①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，进而得到．解得或．再结合函数有最大值，即可得到，进而确定b的值，从而确定函数解析式；②先化简并结合可得，从而得到，，易得、，进而确定可能的值为4，6，12．再逐个排除即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点和， ∴函数图像对称轴为直线． ∵二次函数的对称轴公式为， ∴，解得． （2）解：①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，， ∴ ∴顶点横坐标为，代入函数得最大值． ∵二次函数的最大值为， ∴．解得或． ∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即． ∴，此时． ∴抛物线表达式为． ②不存在满足所有条件的正整数．理由如下： 当，分式无意义，即 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴，且是12的正因数， ∴可能的值为4，6，12． 当，则两点重合，不符合题意，舍去． 又∵函数最大值为4， ∴当或也不成立． 综上所述，不存在满足所有条件的正整数． 26．(1)（﹣4，0）或（4，0） (2)①﹣3≤n≤3；②m≤﹣1或m≥1 【分析】（1）因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|＝4，可得结论； （2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题； ②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，求出此时P的坐标，即可判断． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为（﹣3，1）， ∴3+1＝4， ∵点B在x轴上， ∴点B的纵坐标为0， 设B（x，0）， 则|x|＝4， ∴x＝±4， ∴B（﹣4，0）或（4，0）； 故答案为：（﹣4，0）或（4，0）； （2）①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）． 点M在线段CD上，设其坐标为（x，y）， 则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3． ∴x﹣y＝3． 点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|， 则|x|+|y|＝x﹣y＝3． ∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3． 即点N在右图中所示的正方形CDFE上． ∵点F的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上， ∴﹣3≤n≤3； ②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切， ∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°， ∴PC＝2， ∴OP＝1， 观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点， 再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件， ∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1． 【点睛】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $