精品解析：2026年安徽滁州市天长市九年级中考第一次模拟数学试题卷.

2026年中考第一次模拟考试 数学（试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳平均距离约为14960万，用科学记数法将数据14960万表示为（） A. B. C. D. 3. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解2a3b﹣8ab3＝______________． 12. 如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 13. 机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________． 14. 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． （1）内整点的个数为________个； （2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，，均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于直线对称的（，，的对称点分别为，，）； （2）将绕点旋转，得到，画出（，的对应点分别为，）； （3）连接，则________． 18. 某中学开展以“祖国在我心中”为主题的系列活动，其中一项活动为在全校范围内举行中国地理知识比赛，现从全校随机抽取部分学生的成绩进行整理后（满分100分，成绩用表示），分成五组（A：，B：，C：，D：，E：），并绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：频数分布直方图中，_______，扇形统计图中，_______； （2）已知D组的全部数据如下： 81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89． 则D组学生成绩的众数是_______分，抽取的所有学生成绩的中位数是_______分； （3）若成绩达到80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据估计全校2000名学生中该次比赛成绩优秀的学生人数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形的边为半圆的直径，，两点均在半圆上，连接，，已知，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图1是某滑雪赛道，图2是其侧面简化示意图，是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长10米．小华从处测得处的仰角为，从处测得处的仰角为，求滑雪赛道的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 21. 某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： （1）的值是_________； （2）直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； （3）若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G． （1）如图1，若是等边三角形． ①求证：； ②求的长． （2）如图2，若，，求的面积． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学（试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳平均距离约为14960万，用科学记数法将数据14960万表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为比原数的整数位数少1的整数，解题需先将“万”单位换算为普通整数，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：14960万． 3. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设交于点，连接，切线的性质，得到，圆内接四边形的性质结合等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点，连接，则：， ∵是的切线， ∴， ∵四边形为圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接． ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上可知， 正确的为． 9. 如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论时，S与t之间的函数关系式式即可求解． 【详解】解：①当时，如图所示： 可知： ②当时，如图所示： 此时， ，， 综上： 显然只有C选项符合题意 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键． 10. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；设，则，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断D． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； 如图，过点D作交于点M， 当时， ∴是的中位线， ∴， ∵，垂直， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； 当时，设，则， ∴， 过点B作交的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴点H在以为直径的圆上， 当最短时，点F为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解2a3b﹣8ab3＝______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2ab，再根据平方差公式进行二次因式分解． 【详解】， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 12. 如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 【答案】56 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵在中，， ∴． 13. 机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】对三个机器人按身高编号，列举出所有等可能的出场顺序，再找出按程序能选到最高身高机器人的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：设三个机器人按身高从小到大记为，，，其中为身高最高的机器人. 三个机器人出场的所有等可能排列为： ，，，，，，共种等可能的结果. 根据选择程序判断符合条件的结果： 当排列为，，时，机器人甲可以选到最高的号机器人，共种符合条件的结果. 根据概率公式可得，所求概率为． 14. 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． （1）内整点的个数为________个； （2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【详解】解：（1）∵经过点， ∴， ∴， 则双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点、、， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，没有整点． ∴G内整点的个数为5个． （2）如图， 当时，点， 点此时在区域W内(不包含边界)有、、共3个整点，线段上有4个整点，线段上有4个整点， ∵点重合，点在边界上， ∴当时，区域W内至少有个整点， 当时， ，， 线段上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个， 当时，区域W内部整点个数增加， 若W内部(不包括边界)不超过8个整点， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取它们的公共部分即可得到答案． 【详解】解：由①得， 解得， 由②得， 解得． 原不等式组解集为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，，均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于直线对称的（，，的对称点分别为，，）； （2）将绕点旋转，得到，画出（，的对应点分别为，）； （3）连接，则________． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求 （2） 解：如图所示，即为所求 （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质找到，，的对称点，，，顺次连接，即可求解． （2）根据旋转的性质，找到，的对应点，，顺次连接，，，即可求解． （3）连接，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 18. 某中学开展以“祖国在我心中”为主题的系列活动，其中一项活动为在全校范围内举行中国地理知识比赛，现从全校随机抽取部分学生的成绩进行整理后（满分100分，成绩用表示），分成五组（A：，B：，C：，D：，E：），并绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：频数分布直方图中，_______，扇形统计图中，_______； （2）已知D组的全部数据如下： 81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89． 则D组学生成绩的众数是_______分，抽取的所有学生成绩的中位数是_______分； （3）若成绩达到80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据估计全校2000名学生中该次比赛成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）16；20 （2）86；84.5 （3）1120人 【解析】 【分析】（1）根据组人数即百分比可求得抽取的样本人数，然后减去已知各组的人数可得a的值，利用组频数除以抽取的样本人数即可得b的值； （2）根据众数，中位数的定义求解即可； （3）用2000乘以80分以上人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：抽取的样本人数为人， 人， 组所占百分比为，则； 【小问2详解】 解：∵86出现了3次，出现的次数最多， ∴组成绩的众数是86分． ∵组人数有16人，抽取的样本人数为人， ∴抽取的样本成绩的中位数为第25，26位的平均数，即：； 【小问3详解】 解：人， 即全校2000名学生中该次比赛成绩优秀的学生人数有1120人． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形的边为半圆的直径，，两点均在半圆上，连接，，已知，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角定理，勾股定理等知识点． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，以及根据三角形外角定理，得证，得证，继而证明． （2）连接交于点，根据垂径定理得到垂直平分，进而得到和的长度，进而根据勾股定理得到以及的长度，再根据勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，． 20. 冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图1是某滑雪赛道，图2是其侧面简化示意图，是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长10米．小华从处测得处的仰角为，从处测得处的仰角为，求滑雪赛道的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】设米，米，根据勾股定理得出，求出米，米，设米，作，垂足为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】解：斜坡坡比， ， 设米，米， 根据勾股定理得：， 解得， 米，米， 设米，作，垂足为， ， 米， 米，米， 在中，，， 即， 解得， 答：滑雪赛道高度约为米． 21. 某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： （1）的值是_________； （2）直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； （3）若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 【答案】（1）11 （2）194张 （3）509 【解析】 【分析】（1）由已知数据可知，点数每增加1，小纸片的张数增加2； （2）根据已知数据找出两者间数量关系，即可求解； （3）先找出p与q的关系，设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个，根据“两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片”列一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：点的个数为8时，小纸片的张数为11，即的值是11； 【小问2详解】 解：与的关系式为， 时，， 可以剪194张小纸片． 【小问3详解】 解：p与q的关系式为， 设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个． 根据题意得，解得 答：四边形纸片上点的个数为509． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G． （1）如图1，若是等边三角形． ①求证：； ②求的长． （2）如图2，若，，求的面积． 【答案】（1） ①证明：，是等边三角形的高， ，，，分别平分和， ， ，， ； ② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可； （2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：过点作交于点， ，， ，， ，是的中点， ，， ，， ， ，等边三角形的边长为8， ， ； 【小问2详解】 解：过点作交于点， ，， ，， ∵是的中点， ∴， ， ， ． ， ， ． ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ． ∴，即． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将代入函数解析式求出，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数的图象上，得出，再将通分后求出，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 （ⅰ）解：由（1）可得， ∴该函数的解析式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $