8.6.1直线与直线垂直 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 4．设a，b，c是直线，则(　　) A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线 5．(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC C．MN∥AC D．MN⊥PB 6．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(　　) A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60° C．EF与MN是异面直线 D．MN∥CD 7．如图，在圆柱O′O中，AB，A′B′分别为圆O，圆O′的直径，C为上靠近A的三等分点，C′为上靠近A′的三等分点，且AO＝AA′＝OO′＝2，则异面直线AC′与OC夹角的正切值为(　　) A． B．2 C． D． 8．如图，在三棱锥P－ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　　) A． B．2 C．或 D．2或 9．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________． 11．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________． 12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则 (1)直线AE与BC所成角的大小为________； (2)直线A1B与AC1所成角的余弦值为________． 三、解答题 13．(7分)正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值． 14．(8分)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF． 15．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a． (1)求a的值； (2)求三棱锥B1－A1BC的体积． 8.6.1直线与直线垂直 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：90分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 解析：B　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c． 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：B　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1． 3．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：A　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°． 4．设a，b，c是直线，则(　　) A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线 解析：C　对于A，B，若a⊥b，c⊥b，则a与c可平行、可垂直，所以A，B错误；对于C，若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行、可异面、可相交，所以D错误． 5．(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC C．MN∥AC D．MN⊥PB 解析：ABD　如图，MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，又HC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC，B正确；由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确． 6．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(　　) A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60° C．EF与MN是异面直线 D．MN∥CD 解析：AC　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A，C正确． 7．如图，在圆柱O′O中，AB，A′B′分别为圆O，圆O′的直径，C为上靠近A的三等分点，C′为上靠近A′的三等分点，且AO＝AA′＝OO′＝2，则异面直线AC′与OC夹角的正切值为(　　) A． B．2 C． D． 解析：D　如图，连接CC′，AO′，C′O′，AC． 因为C′O′∥CO，C′C⊥AC，△AOC为等边三角形， 所以异面直线AC′与OC的夹角为∠AC′O′或其补角． 因为AC′＝＝2，AO′＝＝2，O′C′＝2， 所以异面直线AC′与OC夹角的正切值为tan ∠AC′O′＝＝． 8．如图，在三棱锥P－ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　　) A． B．2 C．或 D．2或 解析：C　设G是AB的中点，连接FG，EG， 由于E，F分别为棱PA，BC的中点， 所以FG∥AC，FG＝AC＝1，EG∥PB，EG＝PB＝2， 所以∠EGF是异面直线AC与PB所成的角或其补角， 当∠EGF＝60°时，在三角形EFG中， 由余弦定理得EF＝＝． 当∠EGF＝120°时，在三角形EFG中， 由余弦定理得EF＝＝． 所以EF为或． 9．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：C　设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP(图略)，由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos ∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos ∠AD1P＝∈，又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈，故选C． 二、填空题 10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________． 答案：AB，A1B1 解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1． 11．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________． 答案：60° 解析：如图所示，连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1．∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°．即异面直线AC和MN所成的角为60°． 12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则 (1)直线AE与BC所成角的大小为________； (2)直线A1B与AC1所成角的余弦值为________． 答案：(1)90°　(2) 解析：(1)连接AB1(图略)，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1．又∵E是B1C1的中点，∴AE⊥B1C1．又BC∥B1C1，∴AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为90°． (2)把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a．又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a，∴A1D1＝a，∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，∴在Rt△BA1D1中，cos ∠A1BD1＝＝＝． 三、解答题 13．(7分)正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值． 解　连接AC，BD相交于点O，连接OE， 则O为AC的中点，因为E是PC的中点， 所以OE是△PAC的中位线， 则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角． 设四棱锥的棱长为1， 则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝， 则cos ∠OEB＝＝＝． 14．(8分)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF． 证明：如图，取CD1的中点G， 连接EG，DG， ∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC． ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，所以CD1⊥EF． 15．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a． (1)求a的值； (2)求三棱锥B1－A1BC的体积． 解　(1)如图所示，连接A1C，B1C，因为B1C1∥BC，所以∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角， 所以∠A1BC＝60°，又因为在直角三角形A1AC中，A1C＝＝， 在直角三角形A1AB中，A1B＝＝， 在等腰直角三角形ACB中，BC＝＝， 所以三角形A1CB为正三角形，所以A1C＝CB， 所以＝，所以a2＝1，因为a>0，所以a＝1． (2)依题意有VB1－A1BC＝VC－A1B1B＝AC·S△A1B1B＝×1××1×1＝． 所以三棱锥B1－A1BC的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $