精品解析：浙江嘉兴市桐乡市桐乡市启新学校2025-2026学年八年级下学期数学第一次素养评价 试题卷

八年级（下）数学第一次素养评价试题卷 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（ ） A. B. 1 C. D. 4 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 7. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示的是某大坝的横断面，，迎水坡AB的坡比，背水坡CD的坡比．若坡面CD的长度为，则坡面AB的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简：_____． 12. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 13. 若是方程的根，则代数式的值为______． 14. 若x，y为实数，且，则_____． 15. 如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m． 16. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是______． （2）若满足，则m的值为______． 三、解答题（本题有8小题，第17-22题每题6分，第23,24题每题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 20. 如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）该矩形绿地周长是多少（结果化为最简二次根式）？ （2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 21. 已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 22. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 23. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t的代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，最大值是多少？ 24. 定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． （1）方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）数学第一次素养评价试题卷 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x+3≥0，即x≥-3． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式是解答本题的关键． 2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式根式的判定，掌握最简二次根式的两个条件是否同时满足（①被开方数不含有分母，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式）成为接听人的关键． 根据最简二次根式根式的条件逐项判断即可． 【详解】解：A． 被开方数含有分母，故A不符合题意； B． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．被开方数还能再开方，故C不符合题意； D． 被开方数是小数，故D不符合题意； 故选B． 3. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误； B、不是同类二次根式不能合并，选项错误； C、，选项正确； D、，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 6. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，把代入一元二次方程得，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】解：把代入一元二次方程得， 解得， 而， 所以． 故选：A． 7. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 故选：B． 8. 如图所示的是某大坝的横断面，，迎水坡AB的坡比，背水坡CD的坡比．若坡面CD的长度为，则坡面AB的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解三角形及勾股定理的应用. 根据背水坡的坡比和长度求出大坝的高度，再利用斜坡的坡比和大坝高度求出斜坡的水平距离，最后通过勾股定理求出斜坡的长度. 【详解】过点B作于点E，过点C作于点F，如图， 由题意可知，四边形BEFC是矩形，． 背水坡CD的坡比， ，， ， ． 又迎水坡AB的坡比， ， ． 故选：C. 9. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根， ∴x12﹣2x1﹣1=0， x1+x2=2，x1•x2=﹣1， ∴x12﹣x1+x2 =x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2 =1+x1+x2 =1+2 =3 故选D 10. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简：_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 12. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3． 13. 若是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． 14. 若x，y为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 15. 如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过平移将不规则种植区转化为规则长方形，根据面积列方程并检验解的合理性是解题的关键． 将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解． 【详解】解：设所修道路的宽为．根据题意，得， 整理，得，解得（不合题意，舍去），， 即所修道路的宽为． 故答案为：1． 16. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是______． （2）若满足，则m的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键； （1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：； （2），是方程两个实数根， ，． ， ，解得，（舍弃）． ， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17-22题每题6分，第23,24题每题8分，共52分） 17 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加法运算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题， （1）根据勾股定理画出，，的格点三角形； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，，， 【小问2详解】 ∵，即 ∴是直角三角形，且斜边为， ∴边上的高为 20. 如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ （2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长  ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意得，矩形绿地的周长 ； 【小问2详解】 解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 21. 已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 22. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 23. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 ∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 【小问3详解】 由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 24. 定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． （1）方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； 【小问2详解】 解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $