精品解析：山东济南市历城第六中学2025-2026学年下学期八年级4月阶段训练数学试题

八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在代数式中，分式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若4x-3y=0，则的值为（ ） A. 31 B. C. D. 不能确定 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 8. 若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ） A. 2026 B. C. 2025 D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 12. 分式的最简公分母是_____． 13. 把多项式分解因式，得，则________，________． 14. 若关于x的方程无解，则m的值是_____． 15. 如图,∠C=90°,将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A/B/C/,已知BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为______cm². 16. 如图，在中，，，是边上一动点，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为_____． 三、解答题 17. 解下列不等式组．并在数轴上表示不等式组的解集． 18. 因式分解 （1）； （2） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；（请用黑色水笔描黑） （2）平移，若A的对应点的坐标为，则平移距离为______，画出平移后对应的；（请用黑色水笔描黑） （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 23. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． （2）补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 24. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 25. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 26. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 27. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 在代数式中，分式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】根据分式定义：若是整式，且式子的分母中含有字母，则该式子是分式. 逐个判断给出的代数式： ∵ ，的分母均为常数，中是常数，分母不含字母，这三个都是整式，不是分式； ∵ ，，这三个的分母都含有字母，符合分式定义，都是分式. ∴ 分式共有3个，故选B. 3. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑系数8和16的最大公因数是8，再考虑相同字母a、b的最低次幂分别是a2，b2，则其积是多项式的公因式． 【详解】． 故选：． 【点睛】本题考查了多项式因式分解中的提公因式法，公因式是各项系数的最大公因数、相同字母的最低次幂的积，当首项是负时，一般连负号也一并提出来． 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．根据提公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A、，原分解错误，故此选项不符合题意； B、不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原因式分解错误，故此选项不符合题意； D、，原因式分解正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 若4x-3y=0，则的值为（ ） A. 31 B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由4x－3y＝0得4x＝3y，代入所求的式子化简即可． 【详解】由4x－3y＝0，得4x＝3y， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是用到了整体代入的思想，注意：利用分式的性质变形时，所乘的（或所除的）整式不为零． 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：． 8. 若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【详解】解：, 是负整数，且， 则， ， 则， ， 则在第③段． 9. 某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（工程问题），解题的关键是明确工作效率、工作时间与工作量的关系，根据总工作量为1列方程． 先确定甲、乙的工作效率，再计算甲、乙合作5天的工作量与甲单独做3天的工作量，根据总工作量为1列方程，逐一验证选项． 【详解】解：由题意，甲单独做天完成，故甲的工作效率为； 乙单独做比甲慢3天，故乙的工作时间为天，工作效率为． 甲、乙合作5天的工作量为，甲单独做3天的工作量为，总工作量为1，因此方程为． 故A、C、D选项错误，B选项正确． 10. 在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ） A. 2026 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律的探究，分式的求值．对于每个整数（），和的分式值之和为0；时分式值为0，且出现两次；时分式值为．因此总和为． 【详解】解：∵当且时，， 当时，， ∴． 对于从2到2025，共有2024对，每对和为0； 又∵时，，且出现两次，和为0； 时，， ∴总和为； 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分式的最简公分母是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法，即取各分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积． 分别分析三个分母、、的系数与字母部分，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，组合得到最简公分母． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 系数的最小公倍数为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 故最简公分母为． 故答案为：． 13. 把多项式分解因式，得，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先利用乘法法则计算，再根据因式分解的意义得a、b的值． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：，． 14. 若关于x的方程无解，则m的值是_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：x﹣5＝m+2x﹣6， 解得：x＝1﹣m， 由分式方程无解，得到x＝3，即1﹣m＝3， 解得：m＝﹣2， 故答案为﹣2 【点睛】此题考查分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 15. 如图,∠C=90°,将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A/B/C/,已知BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为______cm². 【答案】14 【解析】 【分析】根据平移的性质可知=5 cm，；由题意得=5-3=2 cm，再由梯形面积公式可得答案. 【详解】根据平移的性质可知=5 cm，，由题意得=5-3=2 cm，又由题意可知三角形ABC是∠C=90°的直角三角形，AC=4cm，即AC为阴影部分的高，则阴影部分的面积为：（cm²）. 【点睛】本题考查了图形平移的性质和梯形面积的求法，解题的关键是熟练掌握图形平移的性质. 16. 如图，在中，，，是边上一动点，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质、等腰三角形的性质，利用可证明，得， 进而得，即点E在射线上运动；作点C关于射线的对称点G，连接，则，，当点E在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点A作于H，由勾股定理可求得，由等腰三角形的性质得，，利用勾股定理可求得，从而求得最小值． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转得到， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即点E在射线上运动； 如图，作点C关于射线的对称点G，连接， ∴， ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 过点A作于H， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质等知识，证明两个三角形全等并得到点E的运动路径是解题的关键． 三、解答题 17. 解下列不等式组．并在数轴上表示不等式组的解集． 【答案】， 数轴上表示不等式组的解集如下： 【解析】 【分析】先解不等式组，再在数轴上画出解集即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为：． 18. 因式分解 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合因式分解，解题的关键是先提取公因式，再利用完全平方公式分解，注意符号处理． （1）提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 整理得， 经检验，是原方程的解． 21. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，-4 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再选取数轴代入计算即可． 【详解】解： = = = 当取和2时，分式无意义，故选； 把代入，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算，代入数值后正确求值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；（请用黑色水笔描黑） （2）平移，若A的对应点的坐标为，则平移距离为______，画出平移后对应的；（请用黑色水笔描黑） （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）平移距离为， 如图所示，即为所求： （3）图中点为旋转中心，其坐标为 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点绕点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，根据两点之间距离公式即可得出平移距离； （3）连接，与的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，平移，若A的对应点的坐标为，则平移过程是：三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位，从而得到平移距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 连接，与的交点即为所求，如图所示： 点为旋转中心，其坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． 23. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． （2）补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 【答案】（1） 在中，； （2） 作图如下： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 等边对等角； 直角三角形两锐角互余； ； ． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作出线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（直角三角形两锐角互余） ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的关键． 24. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 【答案】（1）A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元 （2）购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元 【解析】 【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可； （2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元． 【小问2详解】 设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元， 由得 根据题意得：， ∵， ∴当时，， ∴． 答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式或函数关系式是解本题的关键． 25. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或或0或2． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或0或2． 26. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1） （2） （3），9 【解析】 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 27. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $