精品解析：2026年北京三帆中学九年级零模数学试题

数学学科练习 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上点的位置关系、有理数的加法法则以及绝对值的几何意义，熟练掌握利用推导绝对值大小关系是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，明确在的左侧，即；再结合已知条件，对每个选项逐一进行推理判断． 【详解】解：∵由数轴可知，且， ∴无法确定，选项A错误； ∵无法确定、的符号是否相同， ∴无法确定，选项B错误； ∵， ∴，选项C错误； 当原点在数的左侧时，数轴上表示的点到原点的距离比表示的点到原点的距离小， ∴，选项D正确； 当原点在数、之间时， ∵，， ∴数轴上表示的点到原点的距离比表示的点到原点的距离小， ∴，选项D正确； 故选：D． 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 4. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率求解随机事件的概率，根据题意可得有四组插孔，又两组可插上，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是： ， 故选：A 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”． 根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 解得：， 故选：A． 6. 在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，以及有理数的乘法运算，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，“比邻星”距离太阳系约为（千米）， 故选：D． 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解． 【详解】解：如图， ∵BC⊥y轴， ∴BC∥AD， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设点，则， ①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，解得：，该方程有解， ∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确； ②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB， ∵点A的坐标是， ∴点B的横坐标为5， ∵点B是函数图象上， ∴点B的纵坐标为， ∴ ∵BC⊥y轴， ∴点C的纵坐标为， ∵点C是函数的图象的一点， ∴点C的横坐标为， ∴此时， ∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误； ③若a=1时，点，则， ∴AD=BC=7，， ∴此时四边形ABCD的周长为， 若a=2时，点，则， ∴AD=BC=4，， ∴此时四边形ABCD的周长为， ∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误； ∵，， ∴AD=，点B到x轴的距离为a， ∴四边形ABCD的面积为， ∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确； ∴正确的有①④． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为 ． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再用完全平方公式对括号内的表达式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为 11. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 2025年4月23日是第30个世界读书日，其主题是“阅读的力量：构建人类命运共同体”，为了了解本区4000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表，根据表中信息估计该区间周课外阅读时间不超过2小时的学生有______名． 每周课外阅读时间（小时） 人数 14 20 28 38 【答案】1360 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体；先求出样本中阅读时间不超过2小时的学生占比，再乘以全区学生数即可求解． 【详解】解：抽取的学生人数为：（名）， 阅读时间不超过2小时的学生占比为：， （名）； 即估计该区间周课外阅读时间不超过2小时的学生有1360名； 故答案为：1360． 13. 当________，________时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解． 【详解】解：当，时，，但，，即， 故当，时，可以说明“若，则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】的面积为，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答． 【详解】过作于，于， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键． 15. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为_________． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质，垂直的定义得到，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理即可得到． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， 被测物体表面的倾斜角为， 故答案为：． 16. 某校组织学生出行游玩，有四名学生想通过一条河．河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 A 所需时间／分钟 3 5 8 10 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为4人，则A、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为2人，则A、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表的应用、统筹安排等知识点，理解题意成为解题的关键． （1）直接根据“多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同”即可解答； （2）由只有一条船且最大载客人数为2人，则该船将驶向对岸，然后船需要返回；要使所需时间最短，A学生必须多次将船送回，据此制定方案计算即可． 【详解】解：（1）A、B、C、D四人一起乘船，由题意可得：所需时间为单人划船过河所需的最长时间相同，即10分钟． 故答案为：10． （2）先A和B一起驶向对岸，用时5分钟，A再返回用时3分钟；然后C和D一起驶向对岸，用时10分钟，之后B再返回用时5分钟；然后A和B一起驶向对岸，用时5分钟，之后A再返回用时3分钟；所以共用时：分钟． 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每小题7分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂、二次根式的化简和特殊角三角函数值，解答关键是熟练掌握相关计算方法．将原式各部分分别按照相关运算方法进行计算，再合并即可． 【详解】解：原式 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知 ， 求代数式 的值． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ． ， ． 原式． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：为 的中点，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形， （1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得即可推出四边形是矩形； （2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到的长； 灵活运用上述性质解决问题是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得到，再将点代入一次函数的解析式，求解即可； （2）先根据题意得出x的范围，再由得到m的范围即可． 【小问1详解】 一次函数的图象由函数的图象平移得到 将点代入，得 解得 这个一次函数的解析式为 【小问2详解】 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值 解得 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握知识点以及运用数形结合的思想是解题的关键． 23. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】（1） 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （2） 根据表格数据描点，连线，画图如下： （3）①0.7；②． 【解析】 【小问1详解】 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 故答案为：2.70 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，． 即． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 25. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 10件作品初始得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为， ∴，，，，，，，，，， ∴的有，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为， ∴ ， ， ∵， ∴， 第1件作品的标准化得分为：， 第2件作品的标准化得分为：， 第3件作品的标准化得分为：， 第4件作品的标准化得分为：， 第5件作品的标准化得分为：， 第6件作品的标准化得分为：， 第7件作品的标准化得分为：， 第8件作品的标准化得分为：， 第9件作品的标准化得分为：， 第10件作品的标准化得分为：， ∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） （2）若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①10；② 【解析】 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）45° （2） 结论：， 证明：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明和，可得； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线，确定的面积中底边为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当在上时，最大，其的面积最大，并求此时的面积． 【小问1详解】 解：由对称得：，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由如下：如图，过作于，则， 中，， ，即为定值， 当最大时，的面积最大， 连接，交于，当在上时，最大，此时与重合， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离____________； （2）已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离，并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标； （3）直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值． 【答案】（1）3 （2）关于轴的最佳射影距离，此时关于轴的最佳射影点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）求得直线的解析式，发现线段上任意一点都是线段关于轴的最佳射影点，进而即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，当时，（b为常数且）根据（1）的结论，设直线与相切，切点即为⊙C 关于轴的最佳射影点； （3）根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，根据勾股定理求得的长，进而根据定义结合（1）的结论可得当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值． 【小问1详解】 解：∵，， 则直线的解析式为，设线段上任一点的坐标为 则线段关于轴的最佳射影距离． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，直线与轴夹角为45度时，即时，直线上的点到轴的最佳射影距离相等， 设直线与相切于点， ， ， 设过的直线且与平行的直线为， 则， 即， ， 根据题意求最大值，则的切线在上方， 过点作轴于点，过点作，如图， 则， 为向左平移1个单位，再向上平移一个单位， 即的切线为， 由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到， 关于轴的最佳射影距离； 当时，设直线为（b为常数且），令， 解得：， 即此时直线（b为常数且）与x轴的交点坐标为， 当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为： ， ∴当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为定值， 设直线（b为常数且）与相切于点， ， ， 设过的直线且与平行的直线为， 则， 即， ， 根据题意求最大值，则的切线在上方， 过点作轴于点，过点作，如图， 则， 为向右平移1个单位，再向上平移一个单位， 即的切线为， 由向右平移1个单位，再向上平移一个单位，得到， 关于轴的最佳射影距离； 综上分析可知，关于轴的最佳射影距离，此时关于轴的最佳射影点的坐标为或； 【小问3详解】 根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上， 根据勾股定理求得， 由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义， 即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，切线的性质，90度角所对的弦是直径，勾股定理求两点坐标距离，理解新定义并从（1）得到结论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科练习 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 4. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 6. 在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 分解因式：________． 11. 分式方程的解为_______． 12. 2025年4月23日是第30个世界读书日，其主题是“阅读的力量：构建人类命运共同体”，为了了解本区4000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表，根据表中信息估计该区间周课外阅读时间不超过2小时的学生有______名． 每周课外阅读时间（小时） 人数 14 20 28 38 13. 当________，________时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 15. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为_________． 16. 某校组织学生出行游玩，有四名学生想通过一条河．河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 A 所需时间／分钟 3 5 8 10 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为4人，则A、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为2人，则A、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 三、解答题（本题共68分，第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每小题7分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知 ， 求代数式 的值． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） （2）若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离____________； （2）已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离，并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标； （3）直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $