上海市松江一中2025-2026学年度第二学期阶段测试高二数学试卷

松江一中2025学年度第二学期阶段测试试卷 高二数学 2026.4 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上. 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）. 1. 计算___________． 2. 已知，，则_________． 3. 曲线在处的切线方程为__________. 4. 如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____． 5. 一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 6. 函数的单调增区间为______. 7. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为____． 8. 的展开式中的系数为20，求正整数的值________． 9. 函数值域是____________． 10. 如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是 _________． 11. 若对于任意，函数都有，则的最小值为____________. 12. 已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是__________. 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（ ） A. 3个驻点 B. 4个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点 15. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 16. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在二项式的展开式中 （1）求各二项式系数的和； （2）求含的项的系数. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、.求的取值范围. 19. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 20. 已知函数 （1）若函数在处的切线斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 松江一中2025学年度第二学期阶段测试试卷 高二数学 2026.4 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上. 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）. 【1题答案】 【答案】4 【2题答案】 【答案】##0.125 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】1 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】##0.2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）32 （2）40 【18题答案】 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） 具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2） （3） 因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $