精品解析：2026年广东省茂名市高州市一模数学试题

高州市2026届中考模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 2. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 查询DeepSeek，2026年元旦当天整个珠三角铁路发送旅客量达到2492000人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将2492000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则a的值是（ ） A. 7 B. C. D. 5. 用代数式表示“a与b的平方差”，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢种植的人数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 或6 D. 或5 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（ ） A. 3 B. 6 C. 18 D. 81 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把多项式因式分解的结果是______． 12. 方程的解为___________． 13. 如图所示的五角形图案绕点至少旋转________度才能与自身重合． 14. 已知，是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 15. 在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 已知：如图，在中，． （1）用直尺和圆规作边的垂直平分线交于点于点； （2）连接，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． （1）若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； （2）若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 20. 五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． （1）若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； （2）请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； （3）学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 21. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： （1）列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． （2）描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 23. 如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点． （1）如果，求证：四边形为平行四边形； （2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长； （3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2026届中考模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 2. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的取值范围，即可判断最接近的整数． 【详解】解：∵，， ∴． ∴更接近4． 3. 查询DeepSeek，2026年元旦当天整个珠三角铁路发送旅客量达到2492000人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将2492000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 若，则a的值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绝对值的定义确定a的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键，正数或0的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 5. 用代数式表示“a与b的平方差”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据代数式的意义列出即可． 【详解】解：根据题意列得：a2-b2． 故选：A． 【点睛】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键． 6. 某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢种植的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．用乘以样本中喜欢“种植”的人数占比即可得到答案． 【详解】解：（人）， ∴估计喜欢“种植”的人数为人， 故选：B． 7. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴将，代入函数解析式，得， ， 解得． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 或6 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即m的值为或5． 故选：D． 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 10. 定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（ ） A. 3 B. 6 C. 18 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法进行因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 12. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将无理方程两边平方，转化为一元一次方程求解，求解后检验根是否满足原方程． 【详解】解：将方程两边同时平方，得 ， 整理得 ， 移项得 ， 检验：当时，原方程左边=右边，因此是原方程的解． 13. 如图所示的五角形图案绕点至少旋转________度才能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】顺次连接A、B、C、D、E五个点，得正五边形，根据正五边形的性质即可得到结论． 【详解】如图，顺次连接A、B、C、D、E五个点，得正五边形， ∵正五边形的中心角是， ∴五角形图案绕点至少旋转度才能与自身重合． 故答案为： 【点睛】此题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的中心角是解题的关键． 14. 已知，是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得． 15. 在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，设，则，由菱形的性质得到，证明，利用勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解；∵关于直线的对称点为， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】11 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及乘方运算法则，分别化简每一项，再合并计算得到结果． 【详解】解： ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 18. 已知：如图，在中，． （1）用直尺和圆规作边的垂直平分线交于点于点； （2）连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，证明，可得，求出即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． （1）若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； （2）若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后用概率公式求解，再与（1）中比较大小即可． 【小问1详解】 解：根据题意列表如下： 3 8 3 8 共有6种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有2种， 两球上的数字乘积为正数的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 3 4 8 3 9 8 16 共有9种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有5种， 两球上的数字乘积为正数的概率为， ∵，， ∴． 20. 五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． （1）若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； （2）请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； （3）学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 【答案】（1）B种花卉的单价 （2）A种花卉单价24元，B种花卉单价30元 （3）共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【解析】 【分析】（1）根据所给方程及题目条件可得答案； （2）设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，根据每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元列出分式方程求解； （3）设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝，根据学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买）列出二元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价； 【小问2详解】 解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元， 所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元； 【小问3详解】 解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝． 21. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】（1）； （2）水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【解析】 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【小问1详解】 解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： （1）列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． （2）描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【解析】 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【小问1详解】 解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． 【小问2详解】 解：描点，连线如图： 【小问3详解】 解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 23. 如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点． （1）如果，求证：四边形为平行四边形； （2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长； （3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； 【小问3详解】 解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P， ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $