专题09 数列求和解法技巧汇总8大题型（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题09 数列求和解法技巧汇总8大题型 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、数列求和是近3年的高考命题热点，常以解答题为主，但也会考察选择填空题，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是考察裂项相消法，错位相减法求和． 预测2026年：数列求和考一道中档试题，第一问求数列的通项，第二问考察数列求和的常用方法。 热点题型： 题型01 通项中含或求和问题 题型02 倒序相加法求和 题型03 一次型裂项相消求和问题 题型04 指数型裂项相消求和 题型05 根式型裂项相消求和 题型06 裂和型裂项相消求和 题型07 与三角函数有关裂项相消求和 题型08 数列中的错位相减法求和 题型01 通项中含或求和问题 解｜题｜策｜略 通项中含或求和问题，我们通常采用分组求和或者讨论奇偶项求和 【精选例题】 【例1】若，则 . . 【例2】已知，设，求数列的前项和． 【例3】已知等差数列中，公差，前项和，求数列的前项和． 【例4】已知递增的等差数列前项和为，若 ，. （1）求数列的通项公式. （2）若，且数列前项和为，求. 【专题训练】 1.已知等差数列中，，前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为 ． 题型02 倒序相加法求和 解｜题｜策｜略 倒序相加法实际上是利用了对称性进行求和，前后两项的和是一个定值 【精选例题】 【例1】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【例3】已知等差数列满足（，），则 ． 【专题训练】 1.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 2.在数列中，，则…的值是 . 题型03 一次型裂项相消求和问题 解｜题｜策｜略 ①，；②； ③； ④； 【精选例题】 【例1】已知的通项公式为恒成立，则实数的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例2】已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 【例3】数列的前60项和是 ． 【例4】已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【例5】设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【专题训练】 1．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则 ． 2．已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 3.已知为正项数列的前n项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 4．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 5．在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 题型04 指数型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①，②； ③ ；④； 【精选例题】 【例1】已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ． 【例2】已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为 . 【例3】已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【例4】若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【例5】已知是正项等差数列的前项和，满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【例6】已知各项均为正数的数列为等差数列，各项均为正数的数列为等比数列，成等比数列.成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，求证：. 【专题训练】 1.已知数列的通项公式为，则数列的前项和 . 2.已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小. 3.已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 4.已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5.已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 6.汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． (1)求，，； (2)写出与的关系，并求出． (3)求证： 题型05 根式型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ， 【精选例题】 【例1】定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【例2】已知数列的前n项和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 【例4】已知各项均为正数的数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【例5】数列中，为前项和，且. （1）求证：是等差数列； （2）若，是的前项和，求. 【专题训练】 1.已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 2.设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 3．设数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，求； (3)证明：． 4.已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式及； (2)设______，求数列的前n项和． 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型06 裂和型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①，， ，， ②； 【精选例题】 【例1】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【例2】已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 【例3】已知数列的前项积． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【专题训练】 1.已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 2.已知为正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前10项和． 3.已知数列中，为的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型07 与三角函数有关裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①； ②． 【精选例题】 【例1】在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项. (1)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式； (2)已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和. 【例2】记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； 【专题训练】 1.数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 2.已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 题型08 数列中的错位相减法求和 解｜题｜策｜略 1.错位相减法解题步骤细化 （1）表达前项和，得 ① （2）①式乘公比，可得② （书写时，尾首加零，并将“＋”号对齐，①与②自动对齐，避免出错） （3）两式相减，①②得 （4）代入等比数列求和公式 ①中间项一定是等比数列；②求和公式用，避免项数出错． （5）化简：有负号给括号，能约分的约分 2.万能公式法 （1）若差比数列的通项公式为，则数列的前项和， 其中，． （1） 若差比数列的通项公式为，则数列的前项和， 其中，． 【精选例题】 【例1】已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【例2】在抛物线上有一系列点，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到的焦点的距离为. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【例3】已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【例4】已知函数的图象在点处的切线经过点. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求证：. 【例5】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【专题训练】 1．设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 2．设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 3.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 4．已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 5.设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 6．记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·江苏无锡第三高级中学·)已知数列满足，则数列前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 2．(25-26高三上·福建福州第三中学·)已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（   ） A．0 B． C． D．2 3．数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·山东潍坊部分学校·期中)已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A． B． C． D．506 6．已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 7．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 9．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知数列满足，且，数列的前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C． D． 12．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（   ） A．是一个等差数列 B．是一个等比数列 C．对，． D．数列的前项和为，则 13．(25-26高三上·安徽鼎尖名校·月考)已知数列的前项和为，若数列满足，则下面说法正确的是（   ） A． B． C． D．若数列的前项和为，则 14．(25-26高三上·河南郑州外国语学校·期中)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高三下·四川成都石室中学·适考)已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 16．(24-25高三下·黑龙江大庆·)过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．已知数列的前项和为，且满足，则 . 18．(25-26高三上·江西南昌第二中学·)在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为．则 ． 19．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)已知为数列的前项和，，，，则当，时， (用表示)． 20．(25-26高三上·湖北随州曾都区第一高级中学·)已知数列满足，则 ． 21．(25-26高三上·吉林实验中学·月考)等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为 ． 四、解答题 22．已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 23．设为数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 24．(25-26高三上·四川成都石室中学·模拟)已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 25．(24-25高三上·福建厦门海沧中学·期中)已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 26．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 27．(25-26高三上·江苏南通如皋·调研)已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 28．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 29．(25-26高三上·湖北楚天协作体·月考)已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)定义向量，且，求． 30．(25-26高三上·重庆西南大学附属中学校·)平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列求和解法技巧汇总8大题型 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、数列求和是近3年的高考命题热点，常以解答题为主，但也会考察选择填空题，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是考察裂项相消法，错位相减法求和． 预测2026年：数列求和考一道中档试题，第一问求数列的通项，第二问考察数列求和的常用方法。 热点题型： 题型01 通项中含或求和问题 题型02 倒序相加法求和 题型03 一次型裂项相消求和问题 题型04 指数型裂项相消求和 题型05 根式型裂项相消求和 题型06 裂和型裂项相消求和 题型07 与三角函数有关裂项相消求和 题型08 数列中的错位相减法求和 题型01 通项中含或求和问题 解｜题｜策｜略 通项中含或求和问题，我们通常采用分组求和或者讨论奇偶项求和 【精选例题】 【例1】若，则 . . 【答案】 【详解】 当为偶数时，（个） 当为奇数时，，所以 【例2】已知，设，求数列的前项和． 【答案】 【详解】，所以当为偶数时， ，当为奇数时，，所以 【例3】已知等差数列中，公差，前项和，求数列的前项和． 【答案】． 【详解】试题解析：由，得，解得，同理，则，解得或（舍去），则，，∴． （1）当为偶数时， ． （2）当为奇数时，，故． 【例4】已知递增的等差数列前项和为，若 ，. （1）求数列的通项公式. （2）若，且数列前项和为，求. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，且解得，∴公差，∴数列的通项公式为． （2）由（1）得，∴．当为偶数时，；当为奇数时，．综上可得． 【专题训练】 1.已知等差数列中，，前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ；(2) . 【详解】(1)略， (2)由(1)可得，∴ 2.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为 ． 【答案】【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为 题型02 倒序相加法求和 解｜题｜策｜略 倒序相加法实际上是利用了对称性进行求和，前后两项的和是一个定值 【精选例题】 【例1】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，所以，令，所以，故A正确；对于B，因为所以因为，所以即，故B正确；对于C，由题可知，当时，，当时，，取时，，满足此式，故的通项公式为.所以，而，所以.故C错误；对于D，因为，所以，所以，因为，所以，即，故D正确.故选：C. 【例2】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【答案】1009 【详解】由函数，得，令，则，两式相加得，解得，所以所求值为1009.故答案为：1009 【例3】已知等差数列满足（，），则 ． 【答案】【详解】因为数列是等差数列，故，解得；令，则，故解得.故答案为：. 【专题训练】 1.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 【答案】 【详解】 ，，因为①，所以②，两式相加得，所以.故答案为： 2.在数列中，，则…的值是 . 【答案】1005【详解】由得，所以，所以,相加可得，所以，故答案为：1005 题型03 一次型裂项相消求和问题 解｜题｜策｜略 ①，；②； ③； ④； 【精选例题】 【精选例题】 【例1】已知的通项公式为恒成立，则实数的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D【详解】，故，所以，即的最小值为.故选：D 【例2】已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 【答案】【详解】数列中，由，得，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即，于是，所以.故答案为： 【例3】数列的前60项和是 ． 【答案】【详解】由题意可得：，所以数列的前60项和是.故答案为：. 【例4】已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，有，①又由，有，②，①②得，整理为，解得或，由，可得，可得数列的通项公式为；（2）由，有，所以． 【例5】设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，解得：，当且时，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，∴. （2），. 【专题训练】 1．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，若，则；若，则，可得，即；可知也满足，所以.可得，所以．故答案为：. 2．已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 【答案】 【详解】当时，；当时，因为，所以，两式相减得，所以，则，所以，所以，所以数列的前20项之和为.故答案为： 3.已知为正项数列的前n项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）正项数列的前n项和为，，当时，，两式相减得，显然，则，当时，，即，又，则，而，解得，即，从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则，因此 ，，，，即，又数列单调递增，，所以. 4．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，当时，所以；当时，所以，所以，经检验当时也成立，所以. （2）由（1）可得，所以，当时，，且，所以单调递增，所以． 5．在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，即，解得，所以，所以数列的通项公式为； （2）∵，∴，（方法一），∴，化简得：，∴. （方法二） ，∴. 题型04 指数型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①，②； ③ ；④； 【精选例题】 【例1】已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ． 【答案】【详解】因为，所以，故时，两式相减得，即，因为，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，    故答案为:. 【例2】已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为 . 【答案】7【详解】当时，故即，又当时，，则，故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为故，则，故当时，即，即又可得的最小值为.故答案为： 【例3】已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）由，得，而，则，又，因此，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则，令数列的前项和为，则，，两式相减得，则，所以. （3）由（2）知，，而，所以. 【例4】若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）设，由题意得数列是等比数列，，，则，即，由累乘法得：，于是，故. （2）由（1）得，令，则，∴ . 【例5】已知是正项等差数列的前项和，满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为．因为．所以令，得．因为，所以．令，得，即，所以，所以公差，则．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以． （2）由（1）可得，所以． 【例6】已知各项均为正数的数列为等差数列，各项均为正数的数列为等比数列，成等比数列.成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，求证：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，为等差数列，设的公差为为等比数列，设的公比为，由成等比数列，所以，化简得，解得（舍），所以.又因为成等差数列，所以，即，解得（舍），所以. （2）由于，所以 【专题训练】 1.已知数列的通项公式为，则数列的前项和 . 【答案】【详解】由题意得：，故.故答案为： 2.已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵数列的前项和为，且，∴当时，，当时，，故，又数列为等比数列，设公比为，则，所以，所以.（2），∴，故，而，故，由于当时，，故，所以. 3.已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设数列的公比为，由成等差数列可得，故，解得，由可得，解得，故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得，故，又因为为递增数列，则，又当时，，所以，故. 4.已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，．依题意，①，当时，②．①－②得，所以．因时，该式也成立，故的通项公式为． （2）由（1）知，由可得，则． 5.已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，，取值见解析. 【详解】（1）由①，当时，，当时，②，①-②得，即，所以，所以，当时，，上式也成立，所以数列为常数列，，所以. （2）由，，则， 所以的前项和为. （3）由（1）知.要使成等差数列，则，即，整理得， 因为，为正整数，所以只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数，使得成等差数列. 6.汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． (1)求，，； (2)写出与的关系，并求出． (3)求证： 【答案】(1)；；；(2)（，），；(3)证明见解析 【详解】（1）；；；（2）（，），（，）即（，），由于，所以（，），所以（，）．即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即； （3）记，因为，所以，所以，所以． 题型05 根式型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ， 【精选例题】 【例1】定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，由，故，即（负值舍去），故，故，则，故.故选：A. 【例2】已知数列的前n项和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由于，则时，，则，也适合该式，故，故，则，故选：B 【例3】已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)2024． 【详解】（1）当时，，当时，，所以，所以（常数），故数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知，，得，所以，当时，即，所以n的最小值为2024． 【例4】已知各项均为正数的数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，，即，解得或（舍）.当时，，，两式相减得，又数列的各项为正数，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以. （2） .所以. 【例5】数列中，为前项和，且. （1）求证：是等差数列； （2）若，是的前项和，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以，所以，整理得，即，所以是等差数列. （2）解：由，得，即，由，得，所以所以，所以 【专题训练】 1.已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 【答案】15【详解】因为，所以，因为，所以，整理得，所以，所以，令，解得.所以正整数的最小值为15.故答案为：15 2.设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，，成等比数列，则，即，将代入上式，解得或（舍去）．； （2）由（1）得，又，所以，所以，则． 3．设数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，求； (3)证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）因为①，当时，②，所以①②得到，即，又，满足，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以，即. 4.已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式及； (2)设______，求数列的前n项和． 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意知等差数列的前n项和为，，，设公差为d，则，解得，故，； （2）若选①，则，故；若选②，则，故；若选③，则，故 题型06 裂和型裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①，， ，， ②； 【精选例题】 【例1】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）当时，，即，，所以，同理．当时，，化简得：，因为，所以，即，故，又，所以．同理，或，因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知，所以当为奇数时，，，同理当为偶数时，．所以. 【例2】已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）当时，因为，所以，即．又，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以． （2）由（1）知，，，而所以 ． 【例3】已知数列的前项积． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）当时，．当时，， 当时不满足上式，所以． （2）解法一：当时，．当时，，故． 【专题训练】 1.已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．因为，所以，化简得，所以所以数列的通项公式为； （2），整理得，所以，整理得 2.已知为正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前10项和． 【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意知：，即，当时，，两式相减，可得，因为，可得．又因为，当时，，即，解得或（舍去），所以（符合），从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列的通项公式为． （2）由题意得，所以 ，所以. 3.已知数列中，为的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：由数列中，为的前项和，，当时，，两式相减得，可得，当时，，则，所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以，所以数列的通项公式为. （2）解：方法一：由（1）知，可得 ，所以.方法二：由， 当为奇数时， 当为偶数时， 所以数列的前项和. 题型07 与三角函数有关裂项相消求和 解｜题｜策｜略 ①； ②． 【精选例题】 【例1】在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项. (1)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式； (2)已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）易知斐波那契数列对应的特征方程为，解得两个实根分别为，令，代入可得，解得，所以斐波那契数列的通项公式为 （2）易知数列对应的特征方程为，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差为1的等差数列，，所以，所以 【例2】记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，相减得，即，各项均为正数，所以，故是以首项为1，公差以1的等差数列，所以； （2），故，，． 【专题训练】 1.数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，所以，又当时，，解得或(舍)，所以对任意正整数n，均有，故是以首项为1，公差以1的等差数列，所以． （2）由于，故，由（1）得，记前n项和为，则，所以. 2.已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）数列中，，为前n项和，当时，，，当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，递推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，所以； （2）由（1）可知，，所以： ，所以 ；所以数列的前n项和. 题型08 数列中的错位相减法求和 解｜题｜策｜略 1.错位相减法解题步骤细化 （1）表达前项和，得 ① （2）①式乘公比，可得② （书写时，尾首加零，并将“＋”号对齐，①与②自动对齐，避免出错） （3）两式相减，①②得 （4）代入等比数列求和公式 ①中间项一定是等比数列；②求和公式用，避免项数出错． （5）化简：有负号给括号，能约分的约分 2.万能公式法 （1）若差比数列的通项公式为，则数列的前项和， 其中，． （1） 若差比数列的通项公式为，则数列的前项和， 其中，． 【精选例题】 【例1】已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为，所以， 又，得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，故，则，设等差数列的公差为，则，解得，所以． （2）由（1）知，，，所以， 所以，，两式相减，得 ，故． 【例2】在抛物线上有一系列点，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到的焦点的距离为. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1），设抛物线的焦点为，根据题意可知，解得. （2）因为圆与圆彼此外切，所以则.因为，所以，即.因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即.故. （3），两式相减得.令，则.两式相减得 ，所以.所以.，即. 【例3】已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)3 【详解】（1）方程有两个相等的实数根，则，即，当时，，当时，，符合，（2）由（1）知，，①，②，①②得，，整理得：.对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故，又单调递增，单调递增， 单调递增，故，当且仅当时取到最小值.所以实数的最大值为. 【例4】已知函数的图象在点处的切线经过点. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，则，所以，则切线方程为，即，令，解得，所以； （2）由（1）可得，.方法一：所以，则， 两式相减得，故，所以由可得，故； 方法二：，所以..所以由可得，故. 【例5】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得，故，由此可得为常数列，又，则，即． （2）由（1）知，由等差数列求和公式，知，记，记，则，两式相减得，故，所以的前项和. 【专题训练】 1．设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）当时，，解得，当时，由，得，作差得.所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以，故 （2）令所以，，两式作差得，所以 2．设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，当时，由，解得；当时，则，两方程相减得，即；可知数列是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）可知：，则，，两式相减得，可得，即.因为，可知是单调递增数列，且，可得，因为对任意的恒成立，可得，解得，所以的取值范围为. 3.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）当时，，即，解得．因为（），所以（），又（，），，所以（），又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，所以，所以，所以，所以，由于，所以 4．已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）当时，， ，又，，故是以2为首项，3为公差的等差数列，，； （2），， 令，①，则，②，①②得：，，， 5.设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为是与的等差中项，可得，当时，可得，解得，当时，由，可得，两式相减可得，即为，可得数列是首项和公比均为的等比数列，所以； （2）若是以为首项，为公差的等差数列，则，可得，数列的前项和，，两式相减可得 ，化简可得． 6．记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）因为，又，所以，整理得．由题意得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即． （2）由（1）可得．当时，，当时，，所以，，两式相减，得即 ，即，综上， （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·江苏无锡第三高级中学·)已知数列满足，则数列前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】由已知可得，根据分组求和即可求解. 【详解】依题意， ， 其中后1012对（）的和均为， 故这1012对的和为， 由得. 故选：D 2．(25-26高三上·福建福州第三中学·)已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据条件研究，进而可得. 【详解】因为， ， 所以. 所以. 故选：D 3．数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 4．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求解数列的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即，又也适合，所以， 所以， 所以. 故选：C 5．(25-26高三上·山东潍坊部分学校·期中)已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A． B． C． D．506 【答案】A 【分析】先由等差数列的定义求出数列的通项，然后利用积化和差对数列的通项化简，再结合余弦函数的周期性计算可得. 【详解】因为数列满足， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， ， 所以， 又的最小正周期，一个周期内的和为， ， 所以. 故选：A. 6．已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 【答案】A 【分析】首先求数列的通项公式，再结合题意，可知是满足的正整数的个数，再利用列举的方法，即可求解，再求和. 【详解】设数列的首项为，， 由可知，，，所以， 所以， 由，得，且，所以是满足的正整数的个数， 当时，不存在，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 所以数列的前100项的和为. 故选：A 7．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【详解】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故选：D 8．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 因为， 所以，则. 故选：D 9．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，， 所以这个数列的前63项之和. 故选：C 10．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的关系可求，继而得到，利用裂项相消可求得，整理不等式得，根据恒成立转化为求最值即可. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①－②得，，，经检验，，满足． 数列满足， 可得， 由于恒成立，即，整理得，， 因为在上单调递减， 故当时，，所以， 故选：C． 二、多选题 11．已知数列满足，且，数列的前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推式求得判断A；根据单调性的定义判断B；利用累加法求和判断C；利用递推增长性分析D. 【详解】数列满足，且， 可得，，，故A错误； 由， 可得，即，即数列单调递增，故B正确； 由，可得， 即，可得，故C正确； 由，可得，，，…，，即有，故D正确. 故选：BCD． 12．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（   ） A．是一个等差数列 B．是一个等比数列 C．对，． D．数列的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，由已知数列的递推式推得，由等差数列的定义判断即可；对于B选项，C选项，由等差数列的通项公式可得，即可求得，即可判断；对于D选项，由数列的裂项相消求和，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，可以得到，所以由数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确； 对于B选项，，可得， 所以当时，， 当时，， 又，故，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，，即，故C正确； 对于D选项，数列，当时，首项为， 当时，， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 13．(25-26高三上·安徽鼎尖名校·月考)已知数列的前项和为，若数列满足，则下面说法正确的是（   ） A． B． C． D．若数列的前项和为，则 【答案】BCD 【分析】先根据数列前项和与的关系求出的通项公式，再据此分析的通项、前项和，逐一判断选项. 【详解】根据题意，①，当时，②， 由①-②得， 又，故， 所以 ，，满足上式， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，故B正确； ，令，解得，故A错误； ，，， 当时，，当时，，则， ∴数列的最大值为，，故C正确； ， 即③ 由③得：④， 由③-④可得，， ，故D正确． 故选：BCD. 14．(25-26高三上·河南郑州外国语学校·期中)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用数列放缩的知识对每一个选项的上界和下界进行逐一证明即可. 【详解】对于A：证明下界：当时，有， 故 ，下界得证； 当时，有， 同理可得，，上界得证. 故A正确； 对于B：，下界得证； 当时，有 ，即. 故，上界得证. 故B正确； 对于C：，，， ，， ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD. 15．(24-25高三下·四川成都石室中学·适考)已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D. 【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD 16．(24-25高三下·黑龙江大庆·)过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意设出直线方程，与曲线方程联立，由求出，可直接判断B；利用裂项相消法求和可判断A；利用放缩法证明不等式可判断C；利用导数分析函数单调性证明不等式，可判断D. 【详解】由题意，设直线， 联立方程可得， 则，解得（负值舍去）， 所以，故B错误； 所以，故A正确； 因为， 又因为，则，即，所以， 则，故C正确； 因为，所以，且， 设函数，则，所以函数在上单调递增， 则，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 17．已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】350或357 【分析】讨论的奇偶性，结合递推关系求项判断数列的周期性，进而求. 【详解】当为奇数时，，则， 数列的项依次为， 数列是周期为3的数列，所以； 当为偶数时，，则， 数列的项依次为， 数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列， 所以. 故答案为：350或357 18．(25-26高三上·江西南昌第二中学·)在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为．则 ． 【答案】 【分析】利用有序数组来计算的“顺序数”和“逆序数”，即可求得，然后利用裂项相消法来求和即可. 【详解】对于一组互不相同的有序数组，不妨设， 则可知道的“顺序数”是个，的“逆序数”是0个，所以的“顺序数”与“逆序数”的和为， 则， 所以，， 即． 故答案为： 19．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)已知为数列的前项和，，，，则当，时， (用表示)． 【答案】 【分析】根据题干定义分析得到数列各项取值的特征，然后利用分组求和可得结果. 【详解】由题意，可得时，， 当时，， 当时，，…… 当时，， 当，时， . 故答案为：. 20．(25-26高三上·湖北随州曾都区第一高级中学·)已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式可得答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 21．(25-26高三上·吉林实验中学·月考)等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】由求得，由等差数列项之间的关系求得公差和首项，即可得到数列通项.然后化简数列的通项公式，即可求得其前项和. 【详解】∵，∴，则，∴ ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则. 故答案为：. 四、解答题 22．已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列定义进行证明； （2）由等比数列通项公式求解； （3）利用分组求和法求解. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列； ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可知，①，② 由①②得：，所以， 由①-②得：，所以； （3）因为， 所以 . 23．设为数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据化简后，利用递推关系即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，， 所以， 化简得：，当时，， 即， 当时都满足上式，所以． （2）因为， 所以， ， 两式相减得， 所以，． 24．(25-26高三上·四川成都石室中学·模拟)已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 25．(24-25高三上·福建厦门海沧中学·期中)已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与的关系结合题设求证即可； （2）由（1）可得，进而得到，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，即， 所以， 设数列的前项和为， 所以 . 26．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 27．(25-26高三上·江苏南通如皋·调研)已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 28．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式． （2）由（1）先求出，利用错位相减法，先写出的表达式，再乘以公比得到，两式相减后，将等比数列求和公式化简即可. （3）将的前项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别对（裂项相消）、（等比数列求和）进行计算，最后合并结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． 29．(25-26高三上·湖北楚天协作体·月考)已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)定义向量，且，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题设可得，进而得到数列是等差数列，公差为2，进而求解即可； （2）由（1）结合平面向量的数量积的坐标表示可得，进而根据分组求和及裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：由，得， 则数列是等差数列，公差为2， 又，，即. （2）由（1）得，， 则， ， . 30．(25-26高三上·重庆西南大学附属中学校·)平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设出动点的坐标，得出以线段为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到轴的距离等于半径，建立方程化简即可； （2）（i）通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出，再结合题干，来证明等比数列即可； （ii）同（i）推导得出为等比数列以及它们的通项，化简得出的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明. 【详解】（1）设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. （2）（i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $