10.2 事件的相互独立性 第2课时 相互独立事件概率的应用 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性 第2课时 相互独立事件概率的应用 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 （ ） A． B． C． D． 2．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，且互不影响，则他最终通过面试的概率为 （ ） A．0.7 B．0.91 C．0.973 D．0.981 3．甲、乙、丙三位同学参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p，，，三人达标与否互不影响．若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p＝ （ ） A． B． C． D． 4．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B＝“n次中至多有一次正面朝上”，则下列说法不正确的是 （ ） A．当n＝2时，P(A)＝ B．当n＝2时，P(B)＝ C．当n＝3时，P(A)＝ D．当n＝4时，P(A)＝ 5．某校组织《最强大脑》竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 6．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A＝“x1＝3”，事件B＝“x2＝6”，事件C＝“x1＋x2＝9”，则 （ ） A.AB⊆C B．AC⊆B C．B，C互斥 D．B，C独立 7．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则下列结论正确的是 （ ） A．该选手闯过第一关的概率为 B．该选手单独闯过第二关的概率为 C．该选手能进入第三关的概率为 D．该选手能进入第三关的概率为 三、填空题 8．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________． 9．某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． 四、解答题 10．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的两个元件T2，T3并联后再和第三个元件T1串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率． 11．某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是.假设他们是否回答正确互不影响． （1）分别求乙、丙回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率． 能力提升练 12．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至13∶11的概率为 （ ） A． B． C． D． 13．甲、乙、丙三名航天员分别进行同一试验，已知甲、乙、丙试验成功的概率分别为x，y，(0<x<1，0<y<1)，若三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有两人试验成功的概率为，则三人中只有甲、乙两人试验成功的概率的最大值为________． 14．某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年所得总学分不低于10分时该年度考核为合格．该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A，B，C，D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立． 测试项目 A B C D 获得学分 4分 5分 6分 8分 通过该测试的概率 （1）若员工甲参加A，B，C三项测试，求他本年度考核合格的概率． （2）员工甲欲从A，B，C，D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案． 10.2 事件的相互独立性 第2课时 相互独立事件概率的应用 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：若三人均未击中目标，则概率为××＝，∴目标被击中的概率P＝1－＝.故选D. 答案：D 2．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，且互不影响，则他最终通过面试的概率为 （ ） A．0.7 B．0.91 C．0.973 D．0.981 解析：由题意知，小王最终通过面试的概率P＝0.7＋0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973.故选C. 答案：C 3．甲、乙、丙三位同学参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p，，，三人达标与否互不影响．若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p＝ （ ） A． B． C． D． 解析：事件“3人中有人达标但没有全部达标”的对立事件为“3人都达标或全部没有达标”，则×p＋(1－)×(1－)×(1－p)＝1－，解得p＝.故选C. 答案：C 4．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B＝“n次中至多有一次正面朝上”，则下列说法不正确的是 （ ） A．当n＝2时，P(A)＝ B．当n＝2时，P(B)＝ C．当n＝3时，P(A)＝ D．当n＝4时，P(A)＝ 解析：当n＝2时，事件A表示两次抛掷的硬币一正一反，故P(A)＝2××＝，故A正确；当n＝2时，事件表示两次抛掷的硬币均为正面朝上，此时P(B)＝1－P()＝1－×＝，故B正确；当n＝3时，事件A表示三次抛掷的硬币既有正面朝上又有反面朝上，故P(A)＝1－P()＝1－2×××＝，故C正确；当n＝4时，事件A表示四次抛掷的硬币既有正面朝上又有反面朝上，故P(A)＝1－P()＝1－2××××＝，故D错误．故选D. 答案：D 5．某校组织《最强大脑》竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜．所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝()3＋××＋××＝.故选C. 答案：C 二、多项选择题 6．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A＝“x1＝3”，事件B＝“x2＝6”，事件C＝“x1＋x2＝9”，则 （ ） A.AB⊆C B．AC⊆B C．B，C互斥 D．B，C独立 解析：根据题意，事件A＝“x1＝3”，事件B＝“x2＝6”，事件C＝“x1＋x2＝9”，依次分析选项：对于A，事件AB＝“x1＝3且x2＝6”，事件C的基本事件有x1＝1，x2＝8；x1＝2，x2＝7；x1＝3，x2＝6；x1＝4，x2＝5；x1＝5，x2＝4；x1＝6，x2＝3；x1＝7，x2＝2；x1＝8，x2＝1共8个，所以AB⊆C，故正确；对于B，事件AC＝“x1＝3且x1＋x2＝9”＝“x1＝3且x2＝6”，所以AC⊆B，故正确；对于C，当x1＝3且x2＝6时，事件B，C同时发生，所以B，C不互斥，故错误；对于D，P(B)＝，P(C)＝＝，而BC＝“x1＝3且x2＝6”，则P(BC)＝，所以P(BC)＝P(B)P(C)，所以B，C独立，故正确．故选ABD. 答案：ABD 7．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则下列结论正确的是 （ ） A．该选手闯过第一关的概率为 B．该选手单独闯过第二关的概率为 C．该选手能进入第三关的概率为 D．该选手能进入第三关的概率为 解析：该选手闯过第一关的概率P1＝＋×＝，故A正确；该选手单独闯过第二关的概率P2＝＋×＝，故B正确；该选手能进入第三关的概率P＝×＝，故C错误，D正确．故选ABD. 答案：ABD 三、填空题 8．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________． 解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.26 9．某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． 解析：设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，设事件C表示“该软件至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝. 答案： 四、解答题 10．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的两个元件T2，T3并联后再和第三个元件T1串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率． 解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， 所以不发生故障的概率为 P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1) ＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)＝(1－×)×＝. 11．某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是.假设他们是否回答正确互不影响． （1）分别求乙、丙回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率． 解：（1）设“甲回答正确”为事件A，“乙回答正确”为事件B，“丙回答正确”为事件C，则P(A)＝， 依题意， 即 解得P(B)＝，P(C)＝， 所以乙、丙回答正确的概率分别为，. （2）设“甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确”为事件M， 则M＝AB＋AC＋BC＋ABC， 显然事件AB，AC，BC，ABC两两互斥， 则P(M)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝，所以甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率是. 能力提升练 12．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至13∶11的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲， 概率P1＝×××＝； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲， 概率P2＝×××＝； 乙以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为乙甲乙乙， 概率P3＝×××＝； ②后四球胜方依次为甲乙乙乙， 概率P4＝×××＝. 所以所求事件概率为P1＋P2＋P3＋P4＝＋＋＋＝. 答案：A 13．甲、乙、丙三名航天员分别进行同一试验，已知甲、乙、丙试验成功的概率分别为x，y，(0<x<1，0<y<1)，若三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有两人试验成功的概率为，则三人中只有甲、乙两人试验成功的概率的最大值为________． 解析：记事件A＝“三人中只有甲、乙两人试验成功”，则P(A)＝xy.记事件B＝“三人中恰有两人试验成功”，则P(B)＝xy＋x(1－y)＋y(1－x)＝x＋y－xy＝，所以2x＋2y－3xy＝1，所以1＋3xy＝2x＋2y≥4(当且仅当x＝y＝时取“＝”)，即3xy－4＋1≥0，解得≤或≥1，即xy≤或xy≥1，又0<x<1，0<y<1，所以0<xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号，所以P(A)＝xy≤×＝，即P(A)的最大值为. 答案： 14．某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年所得总学分不低于10分时该年度考核为合格．该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A，B，C，D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立． 测试项目 A B C D 获得学分 4分 5分 6分 8分 通过该测试的概率 （1）若员工甲参加A，B，C三项测试，求他本年度考核合格的概率． （2）员工甲欲从A，B，C，D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案． 解：（1）设事件M＝“员工甲本年度考核合格”．由题意，知员工甲本年度考核合格必须通过C测试，且A，B测试中至少有一项通过，故P(M)＝×(1－×)＝. （2）①若选择A，B，D三项测试，则必须通过D测试，且A，B测试中至少有一项通过，故P(M)＝×(1－×)＝<； ②若选择B，C，D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故P(M)＝××＋××＋××＋××＝>； ③若选择A，C，D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故P(M)＝××＋××＋××＋××＝>. 结合（1）中<，所以满足条件的方案为选择A，C，D三项和选择B，C，D三项． 学科网（北京）股份有限公司 $