10.2 事件的相互独立性 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是 （ ） A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 2．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 （ ） A．0.48 B．0.4 C．0.32 D．0.24 3．下列各对事件中，是相互独立事件的为 （ ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 4．甲、乙两名同学将参加高考，近一年来的各种数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考130分以上的概率分别为和，甲、乙两人能否考130分以上相互独立，则预估这两人在高考中恰有一人数学考130分以上的概率为 （ ） A． B． C． D． 5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为 （ ） A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 二、多项选择题 6．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“第一次取出的球是白球”，事件C＝“第二次取出的球是白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，则 （ ） A．P(C)＝ B．A与B相互独立 C．A与C相互独立 D．P(A)＋P(D)＝1 7．下列选项中正确的是 （ ） A．某人上班路上要经过3个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么他在第3个路口才首次遇到红灯的概率为 B．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为 C．一个袋子中有3个红球，4个蓝球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 D．丢两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 三、填空题 8．设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________． 9．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医 用外科口罩 购买B种医 用外科口罩 购买C种医 用外科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为______． 四、解答题 10．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： （1）两人都能破译的概率； （2）恰有一人能破译的概率； （3）至多有一人能破译的概率． 11．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为. （1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． 能力提升练 12．（多选）已知某数据库有视频a个、图片b张(a，b∈N*，a>b>1)，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是 （ ） A．P(A)＝P(B)＋P(C) B．P(A)＝P(B)·P(C) C．P()>P(C)＋P(B) D．P(C)<P(B) 13．投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行．投壶时，第一箭入壶(即投中)称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”，假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为.若甲投壶3次，则甲“有初”“贯耳”均投得的概率为________． 14．某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 10.2 事件的相互独立性 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是 （ ） A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 解析：由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件． 答案：A 2．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 （ ） A．0.48 B．0.4 C．0.32 D．0.24 解析：由题意可知，该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知，P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24，故选D. 答案：D 3．下列各对事件中，是相互独立事件的为 （ ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 解析：在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)P(B)，故事件A，B不相互独立． 答案：B 4．甲、乙两名同学将参加高考，近一年来的各种数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考130分以上的概率分别为和，甲、乙两人能否考130分以上相互独立，则预估这两人在高考中恰有一人数学考130分以上的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：由独立事件的概率公式可知，所求概率为(1－)×＋×(1－)＝. 答案：C 5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为 （ ） A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析：根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 答案：B 二、多项选择题 6．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“第一次取出的球是白球”，事件C＝“第二次取出的球是白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，则 （ ） A．P(C)＝ B．A与B相互独立 C．A与C相互独立 D．P(A)＋P(D)＝1 解析：设2个白球为a1，a2，2个黑球为b1，b2，则样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)}，共12个样本点．事件A＝{(a1，a2)，(a2，a1)，(b1，b2)，(b2，b1)}，共4个样本点；事件B＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)}，共6个样本点；事件C＝{(a1，a2)，(a2，a1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)}，共6个样本点；事件D＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)}，共8个样本点．对于A，P(C)＝＝，故错误；对于B，因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，则P(AB)＝P(A)·P(B)，所以事件A与B相互独立，故正确；对于C，因为P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以事件A与C相互独立，故正确；对于D，因为A∩D＝∅，A∪D＝Ω，所以事件A与D对立，即P(A)＋P(D)＝1，故正确．故选BCD. 答案：BCD 7．下列选项中正确的是 （ ） A．某人上班路上要经过3个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么他在第3个路口才首次遇到红灯的概率为 B．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为 C．一个袋子中有3个红球，4个蓝球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 D．丢两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 解析：对于A，在第3个路口才首次遇到红灯的概率为(1－)×(1－)×＝，所以正确；对于B，因为此密码没被破译的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以此密码被破译的概率为1－＝，故不正确；对于C，两次取到的球颜色相同的概率为×＋×＝，所以正确；对于D，丢两枚硬币的样本空间为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以恰好一正一反的概率为＝，故不正确．故选AC. 答案：AC 三、填空题 8．设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________． 解析：P(AB)＝P(A)×P(B)＝0.7×0.8＝0.56.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94. 答案：0.56　0.94 9．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医 用外科口罩 购买B种医 用外科口罩 购买C种医 用外科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为______． 解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28. 答案：0.28 四、解答题 10．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： （1）两人都能破译的概率； （2）恰有一人能破译的概率； （3）至多有一人能破译的概率． 解：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． （1）两个人都破译出密码的概率为 P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝. （2）恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即(A∩)∪(B∩)， 所以P((A∩)∪(B∩))＝P(A∩)＋P(B∩)＝×(1－)＋(1－)×＝. （3）至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，所以概率为1－P(A∩B)＝1－＝. 11．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为. （1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． 解：（1）设“甲队获第一名且丙队获第二名”为事件A，则P(A)＝××(1－)＝. （2）甲队至少得3分，有两种情况． 两场只胜一场，两场都胜，设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C， P(B∪C)＝P(B)＋P(C) ＝×(1－)＋×(1－)＋×＝＋＝. 能力提升练 12．（多选）已知某数据库有视频a个、图片b张(a，b∈N*，a>b>1)，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是 （ ） A．P(A)＝P(B)＋P(C) B．P(A)＝P(B)·P(C) C．P()>P(C)＋P(B) D．P(C)<P(B) 解析：由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A错误，B正确；事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况，所以P()＝P(C)＋P(B)＋P()，则P()>P(C)＋P(B)，所以C正确；由题可知，P(C)＝(1－)·＝，P(B)＝·(1－)＝，因为a，b∈N*，a>b>1，所以>，即P(C)>P(B)，故D错误． 答案：BC 13．投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行．投壶时，第一箭入壶(即投中)称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”，假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为.若甲投壶3次，则甲“有初”“贯耳”均投得的概率为________． 解析：若甲第一次投壶投得“贯耳”，则甲“有初”“贯耳”均投得，其概率为；若甲第一次投壶投中且未投得“贯耳”，则甲在后面2次投壶中至少要投中1次“贯耳”，其概率为(－)×＝，故所求概率为＋＝. 答案： 14．某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 解：（1）设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”， ∵P(A1)＝，P(A2)＝，P(B1)＝，P(B2)＝， ∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝， ∵>，∴派甲参赛获胜的概率更大． （2）由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”， ∵P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，P()＝1－P(B1B2)＝1－＝. 设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”， ∴P(E)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $