精品解析：福建省三明市三元区2025-2026学年初中结业学科第一次模拟练习 九年级数学

2025－2026学年初中结业学科第一次模拟练习 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．重题3808706773368832 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，这是某市2026年1月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 2. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（ ） A. 绿灯 B. 黄灯 C. 红灯 D. 可能性相等 4. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1为同学们学习了电压和电阻知识后，制作的简易调光台灯，图2是该台灯的灯罩部分，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A. B. C. D. 的最小值是 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．若每根竹签穿8个山楂，则穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为__． 12. 已知一次函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_________． 13. 某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 14. 公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 15. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 16. 在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套、其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C；卡片D四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是 ； （2）小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 21. 如图，在中，为钝角．，点在上，， （1）将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． （1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买、两种型号帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 23. 如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． （1）求证：平分； （2）连接并延长，交于点，若．求的值． 24. 【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． （1）①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； （2）经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 25. 已知抛物线经过点、，且． （1）若，求抛物线的解析式； （2）设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； （3）设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年初中结业学科第一次模拟练习 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．重题3808706773368832 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，这是某市2026年1月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点．分别求出每天的温差，然后进行比较即可． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最小的一天是星期三． 故选：C． 2. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（ ） A. 绿灯 B. 黄灯 C. 红灯 D. 可能性相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．根据概率计算公式进行求解即可 【详解】解：∵， ∴由题意得当你抬头看信号灯时， 是红灯的概率为， 是绿灯的概率为， 是黄灯的概率为， ∵， ∴看到红灯的可能性最大， 故选：C． 4. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图1为同学们学习了电压和电阻的知识后，制作的简易调光台灯，图2是该台灯的灯罩部分，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图中的俯视图，正确理解三视图是解题的关键． 根据灯罩是圆台形，从正上方观察时，看到的是上底面的小圆和下底面的大圆，小圆在大圆内部，且是同心圆，都能看到不需要用虚线表示，即可判断． 【详解】解：A、是主视图，故选项不符合题意； B、两个实线的同心圆，故符合题意； C、内圆是虚线，故选项不符合题意； D、外圆是虚线，故不符合题意． 故选：B． 6. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数定义对原式变形计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数为 ． 去括号得 ． 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 9. 如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵是外角， ． 10. 图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点． 选项A：通过角度关系，证出，根据平行线的性质可判断出； 选项B：由特殊值法可判断，当点P与中点重合时，，显然； 选项C：通过角度等量关系，可证出，，即； 选项D：由，可得取最小值时，有最小值，即由垂线段最短可求解； 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； 当点P与中点重合时， 点与点重合， 此时，但，故选项B错误； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项C正确； ∵，，且， ∴四边形为矩形，连接，如下图，可得， 当最小时，即最小，即点到上的点的距离最小， 根据正方形的性质可判断，当点为中点时，最小， 此时的长度为对角线的一半， ∵正方形边长为， ∴对角线长度， ∴， ∴的最小值为，选项D正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．若每根竹签穿8个山楂，则穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】用每根竹签上的山楂的数量乘以串数，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为． 12. 已知一次函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据y随x增大而减小可得k＜0． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， ∴的值可以是－1， 故答案为：–1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0，y随x增大而减小． 13. 某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【解析】 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 14. 公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16. 在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过代入三点横坐标求出抛物线对应纵坐标，根据函数值的大小关系列不等式解出的取值范围，结合时不等式恒成立的条件确定的取值范围，进而得出的整数部分即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得， 解得， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得，解得， ∴， ∵时不等式恒成立， ∴的整数部分为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行零次幂运算、去绝对值、乘方运算、再进行加减运算，即可求解． 解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，，再求得，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号里分式减法，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把代入计算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式． 20. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套、其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C；卡片D四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是 ； （2）小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的结果有1种， ∴抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴所求的概率为即． 21. 如图，在中，为钝角．，点在上，， （1）将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，以点为圆心、长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接、； （2）过点作于点，先利用的等腰三角形三线合一性质求出，再根据沿翻折的全等性质推出，结合已知得到，因此，在中利用三角函数求出，再通过勾股定理算出，接着利用三角形外角性质推出，由等角对等边得到，进而算出，最后在中通过勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 又∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 22. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． （1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 【答案】（1）每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元 （2）购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低 【解析】 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，根据题意构造方程组并求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元，根据题意可得，计算出，结合一次函数的增减性可得，当时，取得最小值． 【小问1详解】 解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 【小问2详解】 解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元， 根据题意可得，，且， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值（元）．此时购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶． 答：购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低． 23. 如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． （1）求证：平分； （2）连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 24. 【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． （1）①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； （2）经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 【答案】（1）①不是；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①按照已知条件的举例和方法进行解答即可； ②按照多位数的表示方法表示出和，利用是7的整数倍，设，得，再整体代入即可解决； （2）根据题意可得能被7整除，推出，则能被７整除，即可解答． 【小问1详解】 解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， ， 不是7的整数倍， 不是7的整数倍； ②由题意，得：，， 是7的整数倍， 设（为整数）， ， ， 是7的整数倍． 【小问2详解】 解：根据题意可得，四位数，割掉末位数字6得， 四位自然数能被7整除， 三位自然数能被7整除， 即能被7整除， ， 能被7整除， ，且为整数， 则可得或． 25. 已知抛物线经过点、，且． （1）若，求抛物线的解析式； （2）设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； （3）设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）见详解 （3）存在，该定点坐标为 【解析】 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【小问1详解】 解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， 【小问3详解】 解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $