2026年中考数学一轮复习：三角形的证明及其应用

2026年中考数学一轮复习：三角形的证明及其应用 一、单选题 1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．直角三角形的两锐角互补 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 3．如图，在中，是的平分线，下面结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 5．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于E，过E作EF∥AC交BC于F，那么下列结论一定成立的是（    ） A．∠ABE＝∠C B．AE＝BE C．AB＝BF D．BE＝EF 6．如图：在中，，，，则的度数（    ） A．22.5° B．25° C．30° D．45° 7．如图，、、分别是，，的角平分线，则下列选项成立的（    ） A． B． C． D．以上情况都有可能 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=10，AC=8，BC=4，则△ABD与△ACD的面积比是（   ） A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3 二、填空题 9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝8，CE＝10，且△AEG的周长为16，求EG＝___． 10．如图是一个以AB为直径的半⊙O，以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，则∠CED＝_____． 11．如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将ABP沿BP翻折得到，当⊥AD时，则∠ABP＝________． 12．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的度数为_____度． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交边AB于点M，交BC于点N，如果BN＝2NC，那么∠ABC＝_____度． 14．图，在△ABC中，AB AC，D为BC的中点，有下列结论：①△ABD ≌ △ACD；②∠B∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC；⑤△ABC的对称轴是线段AD． 其中正确的结论有__________个． 三、解答题 15．（1）计算：； （2）如图，已知，，，求和的度数． 16．如图，中，，点关于直线的对称点为，连接并延长．过点作，交射线于点． （1）如图①，为钝角时，补全图形，判断与的数量关系：　　； （2）如图②，为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由． 17．问题提出 （1）如图1，，是上的一点，点与点关于对称，于点．若，则的长为______． 问题探究 （2）如图2，在中，，，，D是上的一个动点（点D与点B不重合），连接，作点B关于直线的对称点E，当点在的下方时，连接，．求面积的最大值． 问题解决 （3）如图3，A，B两个小镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出此时铺设水管的总费用． 18．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，，． (1)判断的形状并加以证明． (2)连接DE，若，，求DE的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C C A B A 1．C 【分析】根据三角形的内角和定理可求，利用补角的定义可求，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出的度数 【详解】解：在中 ∵， ∴ 又∵ ∴ 由三角形的外角性质得 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质 2．B 【分析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故A是假命题； 内错角相等，两直线平行，故B是真命题； 直角三角形的两锐角互余，故C是假命题； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D是假命题； 故答案为B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键． 3．D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断． 【详解】解：∵是等腰三角形，，是的平分线， ∴，是的中线、高线， ∴，， 故A、B、C都成立，只有D不一定成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 4．C 【分析】根据多边形的内角求出多边形的一个外角，然后根据多边形外角和等于，计算即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是144°， ∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°， ∴这个多边形的边数360°÷36°＝10． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形外角和等于是解本题的关键． 5．C 【分析】根据AAS可证△ABE≌△FBE，从而只有C符合题意． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠DAC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠C＝∠BAD， ∵EF//AC， ∴∠C＝∠BFE， ∴∠BAD＝∠BFE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（AAS）， ∴AB＝BF， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，发现全等三角形是解题的关键． 6．A 【分析】根据等腰三角形的性质可得两组相等的角，再根据三角形外角的性质即可得到 之间的关系，即可求解． 【详解】 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质，能够综合利用上述知识点是解题的关键． 7．B 【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=∠AOC，∠AOM=∠MOB=∠AOB，∠CON=∠BON=∠BOC，进而可得∠MON=∠AOB+∠BOC=∠AOC，从而可得∠AOP=∠MON． 【详解】解：∵OP平分∠AOC， ∴∠AOP=∠AOC， ∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线， ∴∠AOM=∠MOB=∠AOB，∠CON=∠BON=∠BOC， ∴∠MON=∠AOB+∠BOC=∠AOC， ∴∠AOP=∠MON． 故选B． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 8．A 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质，得到DE=DF，根据，计算面积比即可． 【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF， ∵， ∴， ∵AB=10，AC=8， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 9．2 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得：AE=BE，AG=CG，从而得到△AEG的周长等于BG+CE-EG，即可求解． 【详解】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G， ∴AE=BE，AG=CG， ∴△AEG的周长等于AE+EG+AG=BE+EG+CG=BG+CE-EG， ∵△AEG的周长为16，BG＝8，CE＝10， ∴BG+CE-EG=16，即10+8-EG=16， 解得：EG=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 10．135° 【分析】由以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，可求∠COD=90°，△COE和△DOE是等腰三角形，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E， ∴∠BOD=∠EOD=∠BOE，∠AOC=∠COE=∠AOE， ∴∠COD=∠COE+∠DOE=(∠BOE+∠AOE)= ∵OC=OD=OE ∴∠OCE=∠OEC，∠ODE=∠OED ∴∠CED=∠CEO+∠DEO = = = = =135° 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 11．20° 【分析】先根据等腰三角形的性质，求出∠BAP＝25°，再根据翻折的性质和∠APA′＝90°，求出∠APQ＝45°，再根据三角形外角的性质得出结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC＝25°， 延长BP至Q，如图所示： 由折叠的性质可知：∠APQ＝∠A′PQ， ∵⊥AD， ∴∠APQ+∠A′PQ＝∠APA′＝90°， ∴∠APQ＝∠A′PQ＝45°， 又∵∠ABP+∠BAP＝∠APQ， ∴∠ABP＝∠APQ﹣∠BAP＝45°﹣25°＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的变换——折叠，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．28 【分析】证明∠ABE＝∠AEB，即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠A＝124°， ∴∠AEB＝（180°−124°）＝28°， 故答案为：28． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．30 【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠B，NA＝NB，求出∠ANC＝60°，再利用三角形的外角定理得∠2＝2∠B，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N， ∴∠1＝∠B，NA＝NB， ∵BN＝2NC， ∴AN＝2NC， ∵∠C＝90°， ∴∠CAN＝30°， ∴∠ANC＝60°， ∵∠2＝2∠B， ∴∠B＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即得到对应角相等，对应线段相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 14．4 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，根据SSS推出两三角形全等即可． 【详解】解：∵AB=AC，BD=CD， ∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC， 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD， △ABC的对称轴是线段AD所在的直线． ∴①②③④都符合题意，⑤不符合题意； 故答案为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定的应用，关键是根据等腰三角形的性质解答． 15． （1） （2）， 【分析】本题考查整式的乘除运算与三角形的外角性质，熟练掌握对应的运算律和几何性质是解题关键． （1）根据单项式的乘除运算法则进行计算即可； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，根据外角的性质进行计算即可． 【详解】（1）； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴． 16．（1）图见解析，；（2）仍然成立，见解析 【分析】（1）如图①中，设交于，根据对称的性质得到，，，进而得到，从而证明，得到，最后得到； （2）根据对称的性质得到，，，进而得到，进而证明,得到，最后得到． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图①中，设交于， ，关于对称， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）结论不变． 理由：如图②中， ，关于对称， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形证明等知识，根据题意正确画出图形，理解各知识点是解题关键． 17．（1）3（2）4（3）78 【分析】（1）连接，根据对称的性质，可得，，然后在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，即可得到答案； （2）连接，交于点G，先通过勾股定理求得，根据对称的性质，可得，那么当时，最小，则最大，即点E到的距离最大，此时面积最大．当时，，得，然后再算得面积； （3）作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作，交的延长线于点K，根据对称，可得，即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省，然后利用勾股定理求得，最后计算费用即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 点与点关于对称，，， ，， ， ， 故答案为：3； （2）如图1，连接，交于点G． 在中，，，， ， ． 点B关于直线的对称点是点E， ． 当时，最小，则最大，即点E到的距离最大，此时面积最大． 当时，， 得， ， 面积的最大值为． （3）如图2，作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作，交的延长线于点K， 千米，， ，即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省． 易得千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理， 得（千米）， 此时铺设水管的总费用为（万元）． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线是解题的关键． 18．(1)等边三角形，见详解 (2)DE＝6 【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC，利用ASA证明△ACD≌△ECB得到AC＝CE，结合∠ACE＝60°可得△ACE是等边三角形； （2）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：△ACE是等边三角形． ∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形． ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°． 在△ADB和△ADC中， ∵， ∴△ADC≌△ADB（SSS）． ∴∠ADC＝∠ADB． ∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°． ∵∠ACE＝∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝∠ECB． ∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°， ∴∠ADC＝∠EBC． 在△ACD和△ECB中， ∵， ∴△ACD≌△ECB（ASA）． ∴AC＝CE． ∵∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形． （2）解：连接DE． ∵DE⊥CD， ∴∠EDC＝90°． ∵∠BDC＝60°， ∴∠EDB＝30°． ∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°， ∴∠DBE＝90°． ∴EB＝DE． ∵△ACD≌△ECB，AD＝3， ∴EB＝AD＝3， ∴DE＝2EB＝6． 【点睛】本题考查等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，角平分线，周角，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $