2026年北京市中考数学一轮复习 专题四 三角形 专项练习

专题四 三角形 第15讲 几何初步 基础练 1．[2025西城一模]如图，直线与相交于点， .若 ，则的大小为 （ ） 第1题图 A． B． C． D． 2．[.2025丰台一模]如图，直线和相交于点，直线，垂足为，若 ，则的大小为（ ） 第2题图 A． B． C． D． 3．[2024平谷二模]将一副三角尺如图摆放，直线，则的度数是（ ） 第3题图 A． B． C． D． 4．[2025西城二模]如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果 ，那么的大小为 （ ） 第4题图 A． B． C． D． 5．已知，,,,五个点的位置如图所示,下列结论正确的是（ ） A． B． C．比大 D．与互补 6．[2025海淀一模]如图，直线，相交于点，.若 ，则的大小为 （ ） A． B． C． D． 7．下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明. 三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，，点是延长线上一点. 求证：. 方法一：利用三角形的内角和定理证明. 证明：…… 方法二：构造平行线进行证明. 证明：…… 提升练 8．[2025朝阳一模]如图，，，相交于点，若 ， ，则的大小为（ ） 第8题图 A． B． C． D． 9．[2025大兴一模]如图，将一副直角三角尺平放在桌面上，点在上，当时，的度数为（ ） 第9题图 A． B． C． D． 10．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得 ；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上.则下列判断正确的是（ ） A．纸带①②的边线都平行 B．纸带①②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 11．小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角尺上，使量角器的 刻度线与三角尺的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处.现将三角尺底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为 ，那么被测物体表面的倾斜角 为（ ） A． B． C． D． 12．[2024海淀二模]如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，.若 ，则的大小为（ ） A． B． C． D． 13．为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动中.一位同学抖空竹时的一个瞬间如图1所示，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知， ， ，求的度数.小明在解题时，过点作，则可以得到，其理由是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，根据这个思路可得_ _ _ _ _ _ . 图1 图2 14．如图，点，，分别在直线，，上，已知，. （1） 求证：； （2） 若 ， ，求的度数. 第16讲 三角形与全等三角形 基础练 1．[2024燕山二模]如图，，的顶点，分别在，上， ， ，则的大小为（ ） A． B． C． D． 2．[2025燕山一模]下面是“作一个，使得”的尺规作图方法. （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，，则. 上述判定的依据是（ ） A． B． C． D． 3．[2023平谷一模]如图，在中， ， ，平分，若，则_ _ _ _ . 4．[2024顺义一模]如图，在矩形中，直线分别交，，于点，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）. 5．[2023昌平二模]如图，在中，平分,，若,，则_ _ _ _ . 第5题图 6．如图，中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得.（写出一个即可） 第6题图 提升练 7．[2024西城二模]如图，点为线段的中点，，点，分别在射线，上，与均为锐角.若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是 （ ） A． B． C． D． 8．如图,已知在中， ,若沿图中虚线剪去,则（ ） A． B． C． D． 9．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为），管理员从边上的一点出发，沿走了一圈后回到处，则管理员从出发到回到处身体转过的角度之和为_ _ _ _ . 10．[2024燕山二模]如图，在中， ，平分，于点.若，，则_ _ _ _ . 11．[2024西城二模]如图，是的角平分线，于点.若，的面积为，则点到边的距离为_ _ _ _ . 12．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”进行了完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,是锐角的高,则.当,,时,_ _ _ _ . 13．中的数学模型一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知 ,,,为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为_ _ _ _ _ _ . 14．[2025东城二模]如图，在中， ，为上一点，，，过点作于点，交于点. （1） 求的度数（用含 的式子表示）； （2） 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 微专题5 中点的辅助线添加 1．[2025门头沟一模]如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于. （1） 求证：. （2） 过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接. ① 依题意补全图形； ② 用等式表示与之间的数量关系，并证明. 2．[2024通州一模]如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,点是的中点，点,分别在线段,的延长线上，且. （1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）. （2） 连接,取的中点，连接,,. ① 依题意补全图形； ② 若,用等式表示线段与的数量关系，并证明. 第17讲 等腰三角形 基础练 1．[2024门头沟一模]改编如图，，平分交于点，如果 ，，那么（ ） A．8 B．4 C． D． 2．[2023延庆一模]如图，根据图中的作图痕迹，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．[2021平谷二模]如图，在中，，于点，于点，则以下两个角的关系中不成立的是（ ） A． B． C． D． 4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”可将任意一个角三等分，这个三等分角仪（简图如图2）由两根有槽的棒、组成，两根棒可绕点转动，点固定，，点、可在槽中滑动，则下列关系式正确的是 （ ） 图1 图2 A． B． C． D． 5．如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点可能的位置的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，等边三角形钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， ,则新钢架减少用钢的长度为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，若 ，则的大小是_ _ _ _ . 8．在等边三边上分别取点，，，使得，连接三点得到，易得，设，则. 如图①，当时，； 如图②，当时，； 如图③，当时，； …… 直接写出当时，_ _ _ _ _ _ _ _ . 图① 图② 图③ 提升练 9．如图，三个全等的三角形与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形.连接并延长交于点,若,则的度数是_ _ _ _ _ _ ;的长是_ _ _ _ _ _ . 10．[2025东城八上期末]如图，等腰中，，，垂直平分，交于点，交于点，点是线段上的一动点，若的面积是6，,则的周长的最小值是_ _ _ _ . 11．[2025门头沟一模]如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（ ） ；； ；. A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 12．[2024门头沟二模]在中，， ，于点，点，分别在，上，且，，交于点. 图1 图2 （1） 如图1，当点与点重合时，_ _ _ _ . （2） 如图2，当点在边上（不与，重合）时， ① 依题意补全图2. ② 的值是否发生变化？请说明理由. 微专题6 角平分线的辅助线添加 1．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为这个三角形的三分线. （1） 如图1～3，中，, .图1中,将分成了三个等腰三角形，所以,是的三分线. 请在图2和图3中分别画出的三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出两种不同的分法）. （2） 如图4，中， , ,请在图中画出的三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分法即可）. 图4 2．[2024海淀二模]在中，， ，点在边上（不与点，重合），连接，平移线段，使点平移到点处，得到线段，连接. （1） 补全图形，若，求证：与互余； （2） 连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明. 第18讲 直角三角形与锐角三角函数 基础练 1．在如图所示的图形中，四边形，，，，都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为6，10，25，则正方形的面积是_ _ _ _ . 第1题图 2．[2024海淀一模]如图，在中， ，，.点在射线上运动（不与点重合），当的长为_ _ _ _ 时，. 第2题图 3．[2024西城一模]如图，两个边长相等的正六边形的公共边为,点,,在同一直线上，点,分别为两个正六边形的中心，则的值为_ _ _ _ _ _ . 第3题图 4． 将度数为 的按如图所示的方式放置在一把刻度尺上:顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿共线，与尺上沿的交点在尺上对应的读数为.若按相同的方式将度数为 的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上对应的读数约是_ _ _ _ （结果精确到，参考数据：，，）. 第4题图 5．[2025大兴一模]如图，在中， ，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接.若，，则的长为（ ） A．2 B． C．2.5 D．3 6．如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若的顶点均在格点处，则的值是（ ） 第6题图 A． B． C． D． 7．[2024西城一模]如图，在中， ，，其中于点，点在边上，.设，，，给出下面三个结论： ；；的长是关于的方程的一个实数根. 第7题图 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 8．学校数学兴趣小组开展课外实践活动,下图是兴趣小组测量某建筑物高度的示意图,已知兴趣小组在建筑物前平台的坡道两端点、处分别测得建筑物顶端处的仰角 , ,坡道米，坡道的坡度.求建筑物的高度. 提升练 9．象棋是中国的传统棋种，如图所示的部分象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A．5 B． C． D． 10．某社区计划将一块四边形区域改造为儿童游乐场.如图是该四边形区域的示意图，，，，， .按照计划，要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ） A．40 800元 B．91 600元 C．60 800元 D．48 000元 11．[2025朝阳二模]如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且.给出下面四个结论： 平分；； ；. 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 12．[2024石景山一模]如图， ，，是内部的射线且 ，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接. 设，，，给出下面三个结论： ； ； . 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．如图所示，和都是等腰直角三角形， ，是的中点，，. （1） 求证： ； （2） 求的长. 微专题7 由一次函数图象的斜率判断夹角 1．定义：斜率是表示一条直线关于横坐标轴倾斜程度的量，即直线与轴正方向夹角（倾斜角）的正切值，表示成 . （1） 直线的倾斜角_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 如图，在中，，的值是方程的两根，且，点坐标为，求直线的解析式. 2．某学习小组利用平面直角坐标系研究直线上点的坐标规律时，发现直线上三点的坐标，，满足，学习小组查阅资料得知，以上发现具有一般性，即直线上任意两点的坐标,都满足的值为，其中叫作直线的斜率.例如，,为直线上两点，则，即直线的斜率为1. （1） 过，两点的直线的斜率_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.请根据下列条件，求出上述结论中的定值.直线于点，，，. 3．[2024顺义二模]在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在一点（不与重合），使点关于直线的对称点在图形上，则称为图形的关联点. （1） 如图，点，，在点，，中，线段的关联点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 已知点，的半径为2，点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围； （3） 的圆心为，半径为3，若轴上存在的关联点，直接写出的取值范围. 4．[2024房山二模]在平面直角坐标系中，对于两点,和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”.如图，已知点,. （1） ① 点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ； ② 点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为_ _ _ _ . （2） 若点在线段上，点在轴下方，且满足，当直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”时，求的取值范围. 第19讲 相似三角形 基础练 1．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（ ） A． B． C． D． 2．[2025东城一模]如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则_ _ _ _ . 3．如图，的两条中线与相交于点，连接，则_ _ _ _ _ _ . 第3题图 4．[2025西城一模]如图，在矩形中，点，分别在边，上，且.若，，，则的长为_ _ _ _ _ _ . 第4题图 5．[2024燕山二模]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的.“偃矩以望高”的意思是把“矩”立放，可测量物体的高度.小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点，，在同一水平线上， ，与相交于点.测得，，，则树高_ _ _ _ . 6．[2025石景山九上期末]中国古代数学著作中有一道题：“今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？”大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门直行8里（我国古代常用的长度单位，1里米）到宝塔处即里，，出西门直行2里到处即里，，此时刚好经过城墙角看见宝塔（即，，三点共线），问正方形城池每面城墙的长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，可算出这座方城每面城墙的长是_ _ _ _ 里. 7．[2025顺义九上期末]如图，在四边形中，，，，. （1） 求证：； （2） 若，求的周长. 提升练 8．[2024昌平二模]图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其他数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为_ _ _ _ . 9．[2025昌平九上期末]如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若的面积为1，则的面积为_ _ _ _ . 10．[2025海淀一模]如图，点是正方形对角线上的一点，于点.连接并延长交于点，连接.若，，则的长为_ _ _ _ _ _ . 11．[2024通州一模]如图，在菱形中， ，点和点分别在边和上运动（不与，，重合），满足，连接，交于点，在运动过程中，给出下面四个结论：；的度数不变； ；.上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 12．[2024东城一模]每当优美的《东方红》乐曲在北京站的钟楼响起时，很多人的回忆就会被唤起，钟楼也引起了同学们的关注.某数学兴趣小组打算测量钟楼的高度.同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼的底部点的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度.通过对示意图的分析讨论，同学们制订了多种测量方案,其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆.同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼的影子的顶端到点的距离以及同一时刻直杆的高度与影长.设的长为米，的长为米. 北京站钟楼 钟楼、直杆及影子示意图 测量数据（单位：米.精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 CD的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1） 由第一次测量数据列出关于,的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，由第二次测量数据列出关于,的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 该小组利用上述方程组成的方程组，已经求得,则钟楼的高度约为_ _ _ _ 米. 微专题8 全等相似模型 1．[2024房山一模]在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转 得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接. （1） 依题意补全图形； （2） 直接写出的大小，并证明. 2．（1） 问题背景：如图1，在四边形中，， ， ，，分别是边，上的点，且 ，探究图中线段，，之间的数量关系.嘉琪同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，她的结论应是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 图1 （2） 探索延伸：如图2，在四边形中，， ，，分别是边，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由. 图2 3．[2024平谷一模]如图，在中， ，，点为边的中点，于，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点. （1） 依题意补全图形； （2） 求证：； （3） 判断线段，与之间的数量关系，并证明. 4．[2024燕山二模]在中， ， ，为的中点，为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接，. 图1 图2 （1） 如图1，点在线段上，求证：； （2） 如图2，点在线段上，连接，取的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，用等式表示线段,,的数量关系，并证明. 阶段检测四 三角形 1．[2025东城二模]如图，直线，交于点，.若 ，则的度数为（ ） 第1题图 A． B． C． D． 2．[2025房山二模]将含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则的度数是（ ） 第2题图 A． B． C． D． 3．[2025石景山二模]如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点.若 ，则的度数为（ ） 第3题图 A． B． C． D． 4．如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 （ ） 第4题图 A． B． C． D． 5．[2025房山一模]如图，在等边中，点，分别是边，上的动点，且.以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点.给出下面四个结论： ； ； ③若，则； ④若，则四边形是菱形. 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 6．[2025丰台一模]如图，在矩形中，点在上，于点.若，，则的长为_ _ _ _ . 7．[2025朝阳二模]如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为_ _ _ _ . 8．将如图1所示的七巧板拼成如图2所示的四边形,连接,则_ _ _ _ _ _ . 图1 图2 9．[2024海淀二模]在中，为边的中点，为边上一点，连接.给出下面三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则. 上述结论中，所有正确结论的序号是_ _ _ _ . 10．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形.当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_ _ _ _ . 11．[2024大兴二模]在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量，给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度. 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米. 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛到地面的距离为1.6米. 12．[2025大兴二模]如图，在中， ，，为内一点， ，其中 ，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接,作直线交于点. （1） 求的度数； （2） 用等式表示,,之间的数量关系，并证明. 答案 第15讲 几何初步 基础练 1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．证明：若选择方法一： 在中， ， ， . 若选择方法二： 过点作，如图， ， ，， . 提升练 8．B 9．A 10．D 11．C 12．C 13．平行于同一直线的两直线平行； 14．（1） 证明：，， . ， ，. （2） 解： ， ，， ， ， . 第16讲 三角形与全等三角形 基础练 1．C 2．A 3．2 4．（答案不唯一） 5．1 6．（或） [解析]， ，， 添加条件，可以使得； 添加条件，可以使得. . 提升练 7．B 8．A 9．360 10．15 11．1 12．1 13． 14．（1） 解： ， ， . ， . ， . . （2） . 证明：过点作于点，过点作于点，如图. ， ， . ， . ， . 在和中， . ， ， . . 微专题5 中点的辅助线添加 1．（1） 证明:, . ,. ,, . . . 又,. （2） ① 解:依题意补全图形如图. ② 与之间的数量关系是. 证明:延长到点,使,连接,，. ,,. 由（1）得, . 以为圆心,长为半径作弧,交于, , . ,, . ,. . . . . 2．（1） . （2） ① 解：补全图形如图. ② . 证明：延长至点，使，连接，，，，如图， 点为线段的中点， 四边形为平行四边形，，， ， ，，，，，又，， ， ， ， ， ，，为中点，为中点，是的中位线，，. 第17讲 等腰三角形 基础练 1．C 2．C 3．C 4．C 5．C [解析]当为腰时，分别以点，为圆心，长为半径作圆，可得格点、.当为底时，作线段的垂直平分线可得格点.当点分别与，，重合时，是等腰三角形.故选. 6．D [解析]是等边三角形， ，， ,，， ， ，， 新钢架减少用钢的长度为. 7．110 [解析]连接， 直线，分别是，的垂直平分线，，， ，， 四边形的内角和为 ，且 ， ， ， . 8． [解析]当时， ； 当时， ； 当时， ； …… 当时，. 故当时，. 提升练 9．； [解析]， . 为等边三角形， ， ， ， . 作交的延长线于点. 易知， ， ， ， 易知 ，，， ，即， . 10．5 [解析]连接， ,,， , ,, 垂直平分,, , , , 的最小值为3, 的周长的最小值为. 11．C [解析] 四边形是正方形，， ， ， 是等边三角形，， ， ， 同理， ， ， 在和中， ，，， ， ， 故结论①正确； ，， ， ， 同理， ， ， 是的外角， ， 又 ， ， 故结论②不正确； ， ，， ， 在中， ， 又 ， ， 故结论③正确； ④过点作于点，于点，如图， ， 四边形是矩形， 设， ， 在中， ， ， ， 由勾股定理得， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ， , , 故结论④正确. 综上所述,正确的结论是①③④. 12．（1） 2 （2） ① 解：补图如下. ② 不变. 理由：如图，过点作，分别交，于，， ，，，，，，， ，， ，易证，，， ，即的值不变. 微专题6 角平分线的辅助线添加 1．（1） 解：如图. （2） 如图. 2．（1） 解：补全图形如图. 证明：设 ，则 ， ， ， 由平移可知，，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 与互余. （2） . 证明：连接，交于点，延长至，使，连接，如图， 由（1）可得，四边形为平行四边形，则. ，， ， ，. 平分， ， ， ， ，， 四边形为菱形， ，， 在中， ， 在中， ， ， . 第18讲 直角三角形与锐角三角函数 基础练 1．9 2．8 3． 4．2.7 5．B 6．C 7．B 8．解：过点作于点, 由题意知，， 易知， 米, 米. , , 设米,易得米,米. , , ,即,解得. 答:建筑物的高度为米. 提升练 9．A 10．A [解析]连接， ，， ， ， 又，， ， ， 四边形的面积， （元）. 11．D 12．B [解析]，， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ，故①正确； 连接，则， ，， ， ， ，故②错误； 是内部的射线且 ，，，， ，故③正确.故选. 13．（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， 点是的中点，，， ， . （2） 解：， ， ， ，， ， ，，又,，，，. 微专题7 由一次函数图象的斜率判断夹角 1．（1） . （2） 解：， ， 或， ， ，， 在中，， ，，， 设直线的解析式为， 由题意可知，， 直线的解析式为. 2．（1） . [解析]，， . （2） 解：，， ， ，， ，. 根据斜率可判断直线和均不与坐标轴平行， 结论中的定值是. 3．（1） ,. （2） 解：由题意得，则以为圆心，的长为半径的要与有公共点（即点），的中垂线要与有交点（即点），则，即.若点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为点，当时，,内切于点，切点为点，易得；当时，,内切于点，切点为点，则.因此.若点在第三象限，同理可得. 点的横坐标的取值范围是或. （3） . 4．（1） ① ② 1 （2） 解：如图，以点为圆心，1为半径作圆， 当直线与圆相切时，最大，此时，过点作直线的垂线，垂足为，则 ，且，易知此时点与点重合，设直线与轴交于点， ， ，，,的最大值为. 假设点与点重合，点与点重合，易知此时最小（取不到），如图， ，， 点关于点的对称点的坐标为,将代入，解得，的取值范围为. 第19讲 相似三角形 基础练 1．C 2．6 3． 4． 5．3.75 6．8 [解析]设这座方城每面城墙的长是里， 点，点分别是城墙的中点， 里，里， 由题意可得 ，， ，， ，， （负值舍去）， 这座方城每面城墙的长是8里. 7．（1） 证明：，，， ，， ， 又， . （2） 解：，，， 的周长， ， ， 的周长为18. 提升练 8．3 9．5 10． [解析] 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ，， ，即，. 11．D [解析] 四边形是菱形，，， , ， 是等边三角形， ,, ,, ， ，，，故①正确； ， ，故③正确； ， ， ， ，故②正确； ，， ，， ，故④正确. 综上，正确的是①②③④. 12．（1） ； [解析]由同一时刻测量，可得，第一次测量：，化简得， 第二次测量：，化简得. （2） 43 [解析]对于，代入，得，解得， 钟楼的高约为43米. 微专题8 全等相似模型 1．（1） 解：补全图形如图所示. （2） . 证明：过点作于点，设，交于点，， ，， ， ， ， ， ，，，，，，，， ，， ， . 2．（1） （2） 解：成立. 理由：延长到点，使，连接，如图. ， ，，又，，，，，，，，，. 3．（1） 解：补全图形如图所示. （2） 证明：平分， ， ， ， 又， ， ，在中， ，，为等腰直角三角形， ，又，即 ，为等腰直角三角形，，. （3） 解：. 证明：过点作于点，则为等腰直角三角形， ，，，平分，，，，为的中点，，，，，，即，在中，由勾股定理得，. 4．（1） 证明： 将线段绕点逆时针旋转 得到线段，, ， , ， ,，为的中点，，，为等边三角形， ,，，，，，，，. （2） 解：. 证明：在上截取，连接，如图， 是的中点，， ,,，,，，为等边三角形， ， ，由（1）同理得,， , ，,,，又，，,. 阶段检测四 三角形 1．A 2．B 3．B 4．D 5．D [解析]，都是等边三角形， ， ，，，，故①正确； ，，，，即，是等边三角形， ， ，故②正确； 当时， ， ，，即，故③正确； 当时，， ，， ，是等边三角形，， ，， 四边形是菱形，故④正确.故选. 6．4.5 7．4 [解析]连接，则的面积既是正方形面积的一半，又是矩形面积的一半，所以矩形的面积等于正方形的面积，为. 8． 9．①③ [解析]为边的中点, . , 是的中位线, ,故①正确; ②由,不能得出,故②不正确; ,， 又，,故③正确. 10．9.6 11．解：选择方案一：由题意得， ，. ， . ，，， ， ，即旗杆高. 选择方案二：由题意得， ，， ，. ，，， ， ，即旗杆高. 12．（1） 解：由旋转可知 ，，, ， 即. 又，， . . ， . （2） . 证明：过点作交于点， 在中，， . . ， . , . . . ， . 又，，. . 在中，， ，. 在中，， ，. ， . ，. . 学科网（北京）股份有限公司 $