2026年中考数学第一轮复习 专题讲练 第7讲 分式方程及其应用基础巩固

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第7讲 分式方程及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东茂名·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 7．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 8．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 9．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 10．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 11．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植棵树，甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，若设乙班每天植树棵，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 16．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 18．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 19．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为 ． 20．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是 ． 21．（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 22．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 23．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 24．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 25．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 26．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 28．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 29．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 30．（2025·江苏扬州·一模）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 31．（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，那么满足的分式方程是 ． 33．（2025·新疆喀什·模拟预测）一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 34．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 三、解答题 35．（2025·江苏·一模）解方程：． 36．（2025·上海·模拟预测）解分式方程：． 37．（2025·浙江衢州·三模）解分式方程：． 38．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 39．（2025·云南楚雄·模拟预测）“五一”假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 40．（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 41．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 42．（2025九年级·广西·专题练习）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 43．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 44．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 45．（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五月，小于老师带领的组织部采购了总价为120元的红色花朵和总价为180元的黄色花朵用于节目表演，组织部回来记账时发现单据被弄脏了，看不清单价和数量等信息，只记得红色花朵的单价比黄色花朵的单价少3元，并且购买数量相同． (1)请你帮组织部算算黄色花朵的单价； (2)受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了，同种黄色花朵的单价比去年同期上涨了，组织部算了算：若每种花朵的购买数量都比去年少，则总价只比去年少15元，请问a是多少？ 46．（2025·宁夏中卫·二模）开展“阅读陪伴成长，书香润泽人生”整本书阅读活动．某学校为了响应这一活动，计划网购甲、乙两种图书，已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)张明同学为了提高自己的阅读能力，用100元购买了甲、乙两种图书．如果设张明购买甲种图书本、乙种图书本，分别求出、的值． 47．（2025·福建福州·三模）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第7讲 分式方程及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】通过移项和交叉相乘求解分式方程，并验证分母不为零． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 验证：当 时，分母 且 ，成立. ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 3．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 4．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 5．（2025·广东茂名·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 7．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 9．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 10．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 11．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 12．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 13．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植棵树，甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，若设乙班每天植树棵，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据甲、乙两班植树的数量和工作效率关系，找出等量关系列出方程． 先表示出甲班每天植树的棵数，再分别得出甲班植80棵树和乙班植70棵树所用的天数，根据天数相等列出方程 【详解】解： 设乙班每天植树棵，因为甲班每天比乙班多植5棵树，所以甲班每天植树棵． 根据题意可列方程． 故选：C． 14．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 15．（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故选：． 16．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 18．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 二、填空题 19．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 20．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，再检验解是否使分母为零． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母 ，得： 化简得： 移项，合并同类项得： 解得： 检验：当 时，分母， 故原方程的解为 ． 21．（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，方程两边乘以，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可，熟练掌握解分式方程方法及步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， 故答案为：． 23．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 24．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 25．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 26．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，结合题意可得且，求解即可． 【详解】解：解分式方程可得， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 28．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 29．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 30．（2025·江苏扬州·一模）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 【答案】1000 【难度】0.85 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、列分式方程 【分析】本题考查了利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到 ，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得 ， 解得， 所以估计鱼塘中有鱼条． 故答案为：． 31．（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．原来计划每天施工米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天施工米，原来计划每天施工米， 依题意得：． 故答案为：． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，那么满足的分式方程是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵， 由题意可得：， 故答案为：． 33．（2025·新疆喀什·模拟预测）一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】30 【难度】0.85 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法． 设船在静水中的速度是，根据“轮船顺水航行所需要的时间和逆水航行所用的时间相同”可列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度是． 由题意得：． 解得． 经检验：是原方程的解． 即船在静水中的速度是． 故答案为：30． 34．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 三、解答题 35．（2025·江苏·一模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算方法是解题的关键． 先去分母，将分式方程转化为整式方程，解方程，然后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得 移项，得 系数化成1，得 ， 检验：时，， 方程的解为． 36．（2025·上海·模拟预测）解分式方程：． 【答案】x 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：x， 检验：当x时，， 所以x是原方程的解， 即原方程的解是x． 37．（2025·浙江衢州·三模）解分式方程：． 【答案】无解 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果即可解答． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 化系数为1，得 检验：当时， ∴是分式方程的增根，即原分式方程无解． 38．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、等式的性质2 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 39．（2025·云南楚雄·模拟预测）“五一”假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 【答案】15人． 【难度】0.65 【知识点】分式方程的其他实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人，利用人均费用总费用人数，结合实际人均费用变为原来的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该学习小组的实际参观人数为15人． 40．（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【答案】八年级（1）班平均每人捐款5元 【难度】0.65 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元，根据八年级（1）班比八年级（2）班多2人列方程求解． 【详解】解：设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元， 由题意得：， 解这个方程得：， 经检验：是原方程的解，符合题意， 答：八年级（1）班平均每人捐款5元． 41．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【难度】0.65 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 42．（2025九年级·广西·专题练习）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元 (2)购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）通过设未知数，利用总价单价数量及两种挂件购买数量相同列分式方程求解单价． （2）设两种挂件的购进数量，根据总个数和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设敖丙挂件的单价为元，则哪吒挂件的单价为元． 由题意得，， 解得，符合题意， 哪吒挂件单价为元，敖丙挂件单价为9元． （2）解：设购进哪吒挂件m个，敖丙挂件n个．   则， 解得，， 购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程并求解是解题的关键． 43．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 44．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【难度】0.65 【知识点】列分式方程、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 45．（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五月，小于老师带领的组织部采购了总价为120元的红色花朵和总价为180元的黄色花朵用于节目表演，组织部回来记账时发现单据被弄脏了，看不清单价和数量等信息，只记得红色花朵的单价比黄色花朵的单价少3元，并且购买数量相同． (1)请你帮组织部算算黄色花朵的单价； (2)受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了，同种黄色花朵的单价比去年同期上涨了，组织部算了算：若每种花朵的购买数量都比去年少，则总价只比去年少15元，请问a是多少？ 【答案】(1)9元； (2)25． 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设红色花朵的单价为x元，则黄色花朵的单价为元，根据题意得，求解检验即可得出答案； （2）根据题意得列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设红色花朵的单价为x元，则黄色花朵的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：黄色花朵的单价为9元； （2）解：两种花朵的购买数量均为（朵）． 根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：a的值为25． 46．（2025·宁夏中卫·二模）开展“阅读陪伴成长，书香润泽人生”整本书阅读活动．某学校为了响应这一活动，计划网购甲、乙两种图书，已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)张明同学为了提高自己的阅读能力，用100元购买了甲、乙两种图书．如果设张明购买甲种图书本、乙种图书本，分别求出、的值． 【答案】(1)甲种图书每本元，乙种图书每本元． (2)， 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、分式方程的经济问题 【分析】（1）通过设乙种图书价格为未知数，根据甲、乙图书价格关系表示出甲种图书价格，再依据“1600元购买甲种图书数量比900元购买乙种图书数量多20本”这一条件列分式方程求解． （2）根据（1）求出的甲、乙图书单价，结合总价100元列出方程，再根据正整数条件确定、的值． 本题主要考查了分式方程与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解应用题的步骤及根据实际意义确定未知数取值是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙种图书每本价格为元，则甲种图书每本价格为元．由题意可得， ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则甲种图书价格为（元）． 答：甲种图书每本元，乙种图书每本元． （2）解：由题意可得， 化简得，即． 、为正整数， 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； ，． 47．（2025·福建福州·三模）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 【答案】(1)小庄上山骑行的速度为 千米/时． (2)上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1），理由见解析 【难度】0.65 【知识点】分式方程的行程问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，厘清题干中的材料信息是解题的关键； （1）根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍，骑行线全程为 8 千米，设上山速度为 千米/时，则下山速度为 千米/时．根据总时间为小时列出分式方程，解方程，即可求解． （2）分析表格，求得上山的速度范围，根据材料确定下山的速度范围，进而选取路线，即可求解． 【详解】（1）解：骑行线全程为 8 千米（上山 8 千米，下山 8 千米），总行程用时 1 小时． 根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍． 设上山速度为千米/时，则下山速度为千米/时． 上山时间：小时，下山时间：（小时）． 总时间：． 解得：（千米/时）． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小庄上山骑行的速度为千米/时． （2）解：设计方案：上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1）． 上山距离：千米（松之恋线），下山距离：千米（古道线）． 理由： 根据材料 3，小庄的上山步行速度范围为（千米/时）（龙岩冠豸山）到（千米/时）（武夷山或宁德太姥山最小时间）． 下山速度根据路线类型确定（材料 2）： 古道线（陡峭）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为 ． 松之恋线（平缓）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为． 为确保总时间不超过 4 小时，需考虑上山速度最小且下山速度倍数最小． 对于本方案：上山路线为松之恋线（平缓），下山路线为古道线（陡峭）． 最小上山速度 千米/时（来自龙岩冠豸山数据）． 下山速度最小倍数：古道线最小倍数为 2，故下山速度最小为 （千米/时）． 上山时间：（小时）． 下山时间：（小时）． 总时间： 小时． 当上山速度更大（如 2 千米/时）或下山速度倍数更大时，总时间更短，均小于 4 小时． 因此，以材料 3 中任意合理的上山速度（在 1.6 千米/时到 2 千米/时之间）和对应的下山速度，总时间均不超过 4 小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $