精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校2025-2026学年第二学期阶段性学科素养综合评价 八年级 数学 试卷

内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校2025-2026学年第二学期阶段性学科素养综合评价八年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 使式子有意义的的范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数的要求，列出一元一次不等式即可求解. 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴对于式子，可得不等式 ， 解不等式得 . 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 9，12，15 D. 10，15，20 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，且均为正整数，则7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项B：，且均为正整数，则8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项C：，且均为正整数，则9，12，15是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项D：，，，不满足勾股数的条件，则10，15，20不是勾股数，故本选项符合题意． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 勾股定理适用于所有三角形 B. 勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系 C. 勾股定理的逆定理可用于判定直角三角形 D. 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13等 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理及其逆定理的基础概念，逐项判断，即可． 【详解】解：A、勾股定理仅适用于直角三角形，故A选项说法错误，符合题意； B、勾股定理的内容就是描述直角三角形三边的数量关系，故B选项说法正确，不符合题意； C、勾股定理的逆定理可通过三边的数量关系判定一个三角形是否为直角三角形，故C选项说法正确，不符合题意； D、，，3，4，5和5，12，13都是勾股数，故D选项说法正确，不符合题意； 4. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， ∵最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 5. 一根垂直于地面的旗杆在离地面12米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处，则旗杆折断前的高度为（　　） A. 13米 B. 25米 C. 17米 D. 18米 【答案】B 【解析】 【分析】利用旗杆垂直于地面得到直角三角形，用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分长度，即可得到旗杆折断前的总高度． 【详解】解：∵旗杆垂直于地面， ∴未折断的旗杆部分、旗杆底部到落地点的地面部分、折断部分构成直角三角形， 设折断部分的长度为米， 根据勾股定理可得： ∵长度为正数， ∴， ∴旗杆折断前的高度为（米）． 6. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A. B. C. D. 12s 【答案】C 【解析】 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 7 C. 5或 D. 7或25 【答案】D 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得42+32=，所以=25； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得=42-32，所以=7； 故=25或7 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是是利用分类讨论的思想求解． 8. 如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OB，进而求出OC即可． 【详解】解：∵∠OAB= 90°，OA= 2，AB= 1， ∴OB= ∵BC= AB= 1， ∴OC=OB- BC=-1， ∴ OP=-1， ∴P点对应的实数是-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理以及实数与数轴，由勾股定理求出OB的长是解题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共12分） 9. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______． 【答案】47 【解析】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为：． 【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： ， ， ， 即最大正方形E的面积为：． 故答案为：47． 【点睛】本题采用了设“中间变量法”如题中所示：分别由勾股定理求出，，再由勾股定理求出大正方形边长的平方，主要考查运用勾股定理解决实际问题的能力． 11. 已知x、y为实数，且，则__________． 【答案】0或-8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解之可得x的值，再将x的值代入等式求出y的值，继而可得答案． 【详解】解：根据题意知， 解得x=±4， 则y=4， ∴或， 故答案为：0或-8． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的概念. 12. 如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，再由的长度找到规律进而求出的长． 【详解】解：由勾股定理得： ，，，，…； 依此类推可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，数式规律；熟练掌握勾股定理，由已知数据找到规律是解题的关键． 三、解答题 13. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算求解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式求解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 14. 已知，，求： （1）； （2）代数式的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ． 15. 勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． （1）定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】（1） 解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积， ； （2）24 【解析】 【分析】（1）阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，表示各个图形的面积证明即可； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ； 16. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【解析】 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 17. 综合与探索 勾股定理是解析几何发展中必不可少的基础性工具，而在定义一些高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式． （1）如图1，点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，点A，B之间的距离为___________． （2）如图1，点与点的坐标分别是，则点与点之间的距离为___________． （3）如图2，点与点的坐标分别是，则点A，B之间的距离为___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出点坐标，再由勾股定理即可求解点A，B之间的距离； （2）过点分别作轴的垂线，交于点，则，然后对运用勾股定理求解即可； （3）对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接 如图1，点A的坐标是，点B的坐标是， ∴由勾股定理得点A，B之间的距离为； 【小问2详解】 解：过点分别作轴的垂线，交于点，则 ∵点与点的坐标分别是 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由图2可得，，，， ∴在中，由勾股定理得，． 18. 综合应用 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点E在的斜边AC上，求证：； （2）如图2，，当时，求点与点之间的距离． 【答案】（1） 证明：连接， 和都是等腰直角三角形 且， ，， ， 又 在中，根据勾股定理， 即 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，根据勾股定理，等腰直角三角形的性质，证明即可； （2）连接，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 在Rt中，根据勾股定理可得． 根据三角形面积公式可得， 由旋转可知． ， 在中，根据勾股定理可得， 在Rt中根据勾股定理可得 ∴点与点之间的距离为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校2025-2026学年第二学期阶段性学科素养综合评价八年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 使式子有意义的的范围是（　　） A. B. 且 C. D. 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 9，12，15 D. 10，15，20 3. 下列说法错误的是（　　） A. 勾股定理适用于所有三角形 B. 勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系 C. 勾股定理的逆定理可用于判定直角三角形 D. 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13等 4. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 10 5. 一根垂直于地面的旗杆在离地面12米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处，则旗杆折断前的高度为（　　） A. 13米 B. 25米 C. 17米 D. 18米 6. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A. B. C. D. 12s 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 7 C. 5或 D. 7或25 8. 如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共12分） 9. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______． 11. 已知x、y为实数，且，则__________． 12. 如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得___________． 三、解答题 13. 计算 （1） （2） （3） 14. 已知，，求： （1）； （2）代数式的值． 15. 勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． （1）定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 16. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 17. 综合与探索 勾股定理是解析几何发展中必不可少的基础性工具，而在定义一些高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式． （1）如图1，点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，点A，B之间的距离为___________． （2）如图1，点与点的坐标分别是，则点与点之间的距离为___________． （3）如图2，点与点的坐标分别是，则点A，B之间的距离为___________． 18. 综合应用 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点E在的斜边AC上，求证：； （2）如图2，，当时，求点与点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $