精品解析：江苏南通市海门区2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷

绝密★启用前 南通市海门区2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 ·试卷类型：A卷· 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A. m＝5，n＝13 B. m＝8，n＝10 C. m＝10，n＝13 D. m＝5，n＝10 【答案】A 【解析】 【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成． 故选：A． 点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可. 2. 如下图，下列图形都是由同样大小的圆点按照一定规律组成的，其中第①个图形中有个圆点，第②个图形中有个圆点，第③个图形中有个圆点，按此规律排列下去，第个图形中圆点的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类变化规律问题，由已知图形可得第个图形中有个圆点，据此解答即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图形中有个圆点， 第②个图形中有个圆点， 第③个图形中有个圆点， ， ∴第个图形中有个圆点， 当时，， ∴第个图形中圆点的个数为个， 故选：． 3. 若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 4. 函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】图像开口向下a＜0，c＜0，对称轴>0，当x=1时，y>0，当x=-1时y<0，由以上信息即可判断． 【详解】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0， ∴ ab＜0，bc＜0， 由−＜1，得b＜-2a，所以2a+b＜0； 由a-b+c＜0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）＜0； 由a+b+c＞0得a+b＞-c＞0， 因此（a+b）2-c2＞0，|b|＞|a|，b2-a2＞0． 综上所述，仅有（a+b）2-c2，b2-a2为正数． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，难度一般，认真观察图形分析出a、b、c的正负是关键． 5. 在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ） A. 众数是90分 B. 中位数是85分 C. 平均数是89分 D. 分位数是90分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义、四分位数和折线统计图的知识，注重数形结合是解答本题的关键．根据众数、中位数、平均数、四分位数的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案． 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95， ∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意， 故选：B． 6. 如图，四边形与四边形都是正方形，连接，，，若已知五边形的面积，则一定能求出的线段为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，连接，，过作于，过作于，作于，过作于，交于，设，，，证明五边形的面积为：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过作于，过作于，作于，过作于，交于， 设，，， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 而， ∴五边形的面积为： ， ∵五边形的面积为定值， ∴可以求解，即可以求解． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD.设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（ ） A. B. C. 4＋6 D. 4－6 【答案】C 【解析】 【详解】分析：如图所示，根据题意画出图形，并作矩形OGEF，先证Rt△AOB≌Rt△BEA，再证△BEF是含有30°角的三角形，从而求出BF与EF的长，最后在Rt△AGE中利用勾股定理建立含t的方程，解方程即可得出答案. 详解：当点B运动到如图所示的位置时，⊙A与边BD所在直线相切，切点为E，     作EF⊥x轴，垂足为F，作EG⊥y轴，垂足为G，可得矩形OGEF， 在Rt△AOB与Rt△BEA中， ∴Rt△AOB≌Rt△BEA， ∴BE=AO=2, ∵△BCD是等边三角形， ∴∠DBC=60°， ∴∠FBE=∠DBC=60°， ∵∠BFE=90°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=，EF=3， ∴GE=t－，AG=2+3， 在Rt△AGE中，由勾股定理得， AG2+GE2=AE2， 即， 解得，. 故选C. 点睛：本题是一道动态几何题.考查了圆的相关性质、切线的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识.根据题意画出图形，并在图形中证Rt△AOB≌Rt△BEA，并在Rt△AGE中利用勾股定理建立方程是解题的关键. 8. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的图象经过点，求得反比例函数的表达式为；根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为；设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； ∵四边形是正方形，为对角线，， ∴点O是四边形的中心， 连接， ∴， ∴，为所在圆的直径， ∴所对圆心角的度数为， ∵， ∴， ∴所在圆的半径为； 设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积， ∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用． 根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得， 根据三角形等面积法可得， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 10. 如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由可判定①不正确；根据，和的角平分线相交于点，可得，而，即得，故②正确；由和的角平分线相交于点，知是的内心，可判定③正确；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正确． 【详解】， ∴， ①不正确； ， ， 和的角平分线相交于点， ， ， ， ， ，故②正确； 和的角平分线相交于点，三条角平分线交于同一点 平分，故③正确； ，，， ∴， ∴， 平分，， ， ∴， ∴，故④不正确； 综上所述，正确的有②③ 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体900名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”，据此估计该校全体学生中有________名学生“步行上学”. 【答案】225 【解析】 【分析】首先根据15名学生所占60名学生的比例，即得出“步行上学”的学生占全体学生人数的比例，从而可得出答案. 【详解】解∵从该校全体900名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”，∴“步行上学”的学生所占百分比为， ∴估计该校全体学生中“步行上学”的人数为名. 故答案为：225. 【点睛】本题考查的知识点是根据概率求样本数，属于容易题. 出错的原因是：1.没有掌握样本估计总体的方法；2.未能正确理解题干的要求. 12. 四张完全相同的卡片上，分别画上圆，矩形，菱形，平行四边形，现从中随机抽取2张，均是轴对称图形的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中卡片上画的恰好都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：轴对称图形有：圆，矩形，菱形， 把圆，矩形，菱形，平行四边形分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果数，其中卡片上画的恰好都是轴对称图形的结果数为6个， ∴卡片上画的恰好都是轴对称图形的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 13. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 14. 关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，难度很大，利用转化和数形结合思想是解决本题的关键．将函数转化为，换元处理，令，则，令，则，得到，令，，则问题转化为函数与图象有3个不同的交点，后面就是画图分析即可． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 令， 在原函数转化为：， 令，则， ∴， 令， ∴问题转化为函数与图象有3个不同的交点， 对于函数，可知， ∴函数图象经过点， 对于函数，可化简为：， 当，，则函数与y轴交于点， 画出函数与图象如图： 当直线经过点时，符合题意，如图： 则， ∴； 当直线与函数的y轴右侧部分图象相切时，符合题意，如图： 则联立函数解析式得：， 整理得：， 则， 解得：（舍）或， 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，点分别在边上，且四边形为正方形，若，正方形的面积为4，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件证明△BDE∽△BAC，求出AC,AF的长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】∵四边形为正方形，面积为4， ∴DEAC，DF=DE=CF=CE=2 ∴△BDE∽△BAC ∵ ∴BD:BA=2:5 ∴DE：AC=2:5 ∴AC=5 ∴AF=5-2=3 ∴AD= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及相似三角形的判定定理． 16. 已知且，将多项式中的个(，且为整数)字母添加一个括号(括号里不能再有括号)，并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：等，下列结论正确的是________． ①若时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为； ②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同； ③当时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】设原多项式，由已知条件可确定且．对于结论①，当时，给添加括号，将原多项式改写为，结合、可判断该式为正，去绝对值后的运算结果，计算，故结论①正确；对于结论②，当时，给全部5项添加括号得到，因，故，操作结果与原多项式相同，结论②正确；对于结论③，通过分类讨论、、的操作情况，仅1种操作，有2种操作，有3种操作，总计5种不同运算结果，并非4种，故结论③错误，最终确定正确结论为①②． 【详解】解：设原多项式为，由可知，且即． ①若，给项添加括号，将原多项式改写为． ∵，， ∴， ∴去绝对值后运算结果． 则， 故存在这样的“绝对变括操作”，结论①正确． ②若，所有的项添加括号，新多项式为：． ∵， ∴， 即操作结果与原多项式相同，结论②正确． ③当时，仅1种操作，结果为； 当时，有2种操作： 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为； 当时，有3种操作： 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为． 综上，共有5种不同的运算结果，不是4种，结论③错误． 综上，正确的结论是①②． 17. 如图，在中，，，，E为上一点，连接，将沿折叠得到．若与交于点F且，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，利用等腰三角形的性质及三角函数的关系先后求得，，，利用勾股定理求得，，证明，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与交于点N，过B作于点G，过N作于点H，延长与交于点M，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， 设，则，，即， 解得， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 在正方形中，E为对称中心，为对角线，P为正方形内部一点，，，，Q为边上一动点，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何最值问题，根据求的最小值，即求最小值，由将军饮马模型可知，取B点关于对称点，连接交于点，此时即是最小值所求点，的最小值为，接下来求出根据已知条件构造直角三角形求出正方形即可解答． 【详解】解：如图，过点P作，，垂足分别为M，N，过作，垂足别为H，在延长线取点B关于的对称点点，连接， ∴四边形是矩形； ∴，， 设，，， ∴，， ∵，， ∴， 整理得： 解得：，或（不合题意舍去） 过作，垂足别为H，在延长线取点B关于的对称点点，连接， 由辅助线做法可知：，， ∵在正方形中，E为对称中心， ∴， ∵， ∴的最小值为，的最小值为． ∴． ∴的最小值为． 故答案为． 三、解答题（共8题，共96分） 19. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，实数的运算，绝对值，平方差公式，单项式乘多项式． （1）根据实数的运算方法，特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式的计算方法以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，已知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0．1米，参考数据：=1．41，=1．73．） 【答案】A、B两点的距离214．8米． 【解析】 【详解】试题分析：作DM⊥AB于M，BN⊥CD于N，则DM=BN=24米，在Rt△ADM中，由题意∠DAM=60°，故可得出AM的长，同理可得出CN的长，根据AB=AM+MB即可得出结论． 试题解析：如图所示，作DM⊥AB于M，BN⊥CD于N，则DM=BN=24米， 在Rt△ADM中，由题意∠DAM=60°， ∴AM==8米， 在Rt△BNC中，由题意∠NCB=45°， ∴DN=DC-NC=45×5-24=201米， ∴AB=AM+MB=8+201=214．8米， 答：A、B两点的距离214．8米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 21. 某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表， 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 （1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩． （2）在下图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图． （3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 【答案】解：（1）甲（75+80+85+90+95）÷5=85， 乙（75+80+87+88+95）÷5=85． （2）如图 （3）派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势． 【解析】 【详解】略 22. 已知：如图，等边中，点D为边的中点，点F是边上一点，点E在线段的延长线上， ，点M在线段上，． （1）猜想：线段、之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长到P，使，连接，若，求的值． 【答案】（1）猜想： （2） 【解析】 【分析】（1）证，得即； （2）由于，相似比为2，故有，再证明 由题意知得为等边三角形，有，，在中求得，得到，再证，进而=． 【小问1详解】 解：猜想：，证明如下： ∵ 是等边三角形，点D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴即； 【小问2详解】 解：解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形． 又∵D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴， ． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴=．     23. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O． （1）△ABF≌△CAE； （2）HD平分∠AHC吗？为什么？ 【答案】（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论；（2）平分 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论； （2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，由△ABF≌△CAE．可得∠BAF＝∠CAE，即可得到∠CAE＋∠CAF＝60°，则∠AHC＝120°，由∠ADC＝60°，可得∠HAD＋∠HCD＝180°，从而可得∠HCD＝∠KAD，即可证得△ADK≌△CDG，再结合DG⊥CH，DK⊥FA即可得到结论． （1）∵ABCD为菱形， ∴AB＝BC． ∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠B＝∠CAB＝60°． 又∵AE＝BF，AB＝AC， ∴△ABF≌△CAE； （2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K， ∵△ABF≌△CAE． ∴∠BAF＝∠CAE， ∵∠BAF＋∠CAF＝60°， ∴∠CAE＋∠CAF＝60°， ∴∠AHC＝120°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠HAD＋∠HCD＝180°， ∵∠HAD＋∠KAD＝180°， ∴∠HCD＝∠KAD， ∵AD＝CD，∠DGC＝∠AKD＝90°， ∴△ADK≌△CDG， ∴DK＝DG， ∵DG⊥CH，DK⊥FA， ∴HD平分∠AHC． 考点：菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定 点评：此类问题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，一般难度不大. 24. 在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1． （1）如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是__________； （2）如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为__________°； （3）如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）45 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“关联等角射线”的定义可得，只有符合题意，即可解答； （2）点P在第三象限，根据与轴平行，与轴平行，画出图象，再根据“关联等角射线”的定义求解即可． （3）根据题意先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点），此时，；那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时即可．画出图形，设，延长交轴于点，直线与轴交于点，则，过点作，得出，设，证明，列出方程求出．过点作轴于点，列出等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，，则的“关联等角射线”是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点P在第三象限，与轴平行，与轴平行，如图， ∴， ∵，为点P关于“关联等角射线”， ． 故答案为：45． 【小问3详解】 解：点M的坐标为，的半径为1， 先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点）， 此时， ∴, ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴此时； 那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时，如图． 设，延长交轴于点，直线与轴交于点， 则， ∵直线与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 此时， ∴，， 过点作， ， 设， ， ， ∴ ， 即， 解得：（负值已舍去）． 过点作轴于点， ∵轴 ， ， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是理解题中新定义，找到临界点． 25. 阅读理解： 如图①，在正多边形的边上任取一不与点重合的点，并以线段为边在线段的上方作以正多边形，把正多边形叫正多边形的准位似图形，点称为准位似中心． 特例论证： 如图②已知正三角形的准位似图形为正三角形，试证明：随着点的运动，的大小始终不变． 数学思考： 如图③已知正方形的准位似图形为正方形，随着点的运动，的大小始终不变？若不变，请求出的大小；若改变，请说明理由． 归纳猜想： 在图①的情况下： ①试猜想的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出的大小直接写出结果；若改变，请说明理由． ②______用含n的代数式表示 【答案】（1）证明详见解析；（2）的大小不变，证明详见解析；（3）①的大小始终不变，证明详见解析；② 【解析】 【分析】（1）先判断出△△，再利用等边三角形的性质即可得出结论； （2）先判断出△△，再利用正方形的性质即可得出结论； （3）①先判断出△△，再利用正多边形的边相等和每个内角即可得出结论； ②利用①的结论和方法即可得出结论． 【详解】证明：与是正三角形， ， ， ≌， ， 的大小不变； 的大小不变， 理由：如图，在边上取一点D，使，连接， 四边形与是正方形， ， ， ， ≌， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即：的大小始终不变； (3)①的大小始终不变， 理由：如图1， 在上取一点D，使， 连接， ， ， ， ≌， ， ， ， ； ②由①知，， 同①的方法可得，， ∴ ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，解本题的关键是判断出△△，用类比的思想解决问题是解决本题的难点． 26. 如图1，抛物线交轴于． （1）直接写出抛物线的解析式______________． （2）如图1，轴上两动点满足：．若（在左侧）为线段上的两个动点，且满足：点和点关于直线对称．过作轴交于，过作轴交于，连接．求的最大值（用含的代数式表示）． （3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线．对称轴左侧的抛物线上有一点，其横坐标为．以为直径作，记⊙的最高点为．若在直线上，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）将带入抛物线解析式，求得b的值，即可得到抛物线的解析式； （2）设，则，求并进行化简，由且得，则当时，取，带入，即可求得； （3）依题意将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，求得解析式，根据解析式特点设，得到，由圆的特性易求得，⊙的最高点点坐标为：，设，则，化简得到，由点在上，得，继而得到，解得或． 【详解】解：（1）将带入抛物线，得b=1， 则， （2）设，则， ∴ ， ∵且 ， ∴时，， 即， ∴， （3）根据题意，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线， ∴， ∴， ∴， ∴由圆的特性易求得，⊙的最高点点坐标为： ， 设，则， ∴， 化简上式得：， ∵点在上，则， ∴为上述方程的一个解， ∴分析可知， ， ∴， 解得：，（经检验，是方程的解）， 故或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南通市海门区2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 ·试卷类型：A卷· 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A. m＝5，n＝13 B. m＝8，n＝10 C. m＝10，n＝13 D. m＝5，n＝10 2. 如下图，下列图形都是由同样大小的圆点按照一定规律组成的，其中第①个图形中有个圆点，第②个图形中有个圆点，第③个图形中有个圆点，按此规律排列下去，第个图形中圆点的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ） A. 众数是90分 B. 中位数是85分 C. 平均数是89分 D. 分位数是90分 6. 如图，四边形与四边形都是正方形，连接，，，若已知五边形的面积，则一定能求出的线段为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD.设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（ ） A. B. C. 4＋6 D. 4－6 8. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体900名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”，据此估计该校全体学生中有________名学生“步行上学”. 12. 四张完全相同的卡片上，分别画上圆，矩形，菱形，平行四边形，现从中随机抽取2张，均是轴对称图形的概率是______． 13. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 14. 关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____． 15. 如图，在中，，点分别在边上，且四边形为正方形，若，正方形的面积为4，则的长为____． 16. 已知且，将多项式中的个(，且为整数)字母添加一个括号(括号里不能再有括号)，并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：等，下列结论正确的是________． ①若时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为； ②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同； ③当时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果 17. 如图，在中，，，，E为上一点，连接，将沿折叠得到．若与交于点F且，则的长为___________． 18. 在正方形中，E为对称中心，为对角线，P为正方形内部一点，，，，Q为边上一动点，连接，，则的最小值为__________． 三、解答题（共8题，共96分） 19. （1）计算： （2）化简： 20. 某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，已知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0．1米，参考数据：=1．41，=1．73．） 21. 某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表， 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 （1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩． （2）在下图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图． （3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 22. 已知：如图，等边中，点D为边的中点，点F是边上一点，点E在线段的延长线上， ，点M在线段上，． （1）猜想：线段、之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长到P，使，连接，若，求的值． 23. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O． （1）△ABF≌△CAE； （2）HD平分∠AHC吗？为什么？ 24. 在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1． （1）如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是__________； （2）如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为__________°； （3）如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是__________． 25. 阅读理解： 如图①，在正多边形的边上任取一不与点重合的点，并以线段为边在线段的上方作以正多边形，把正多边形叫正多边形的准位似图形，点称为准位似中心． 特例论证： 如图②已知正三角形的准位似图形为正三角形，试证明：随着点的运动，的大小始终不变． 数学思考： 如图③已知正方形的准位似图形为正方形，随着点的运动，的大小始终不变？若不变，请求出的大小；若改变，请说明理由． 归纳猜想： 在图①的情况下： ①试猜想的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出的大小直接写出结果；若改变，请说明理由． ②______用含n的代数式表示 26. 如图1，抛物线交轴于． （1）直接写出抛物线的解析式______________． （2）如图1，轴上两动点满足：．若（在左侧）为线段上的两个动点，且满足：点和点关于直线对称．过作轴交于，过作轴交于，连接．求的最大值（用含的代数式表示）． （3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线．对称轴左侧的抛物线上有一点，其横坐标为．以为直径作，记⊙的最高点为．若在直线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $