图象交点个数与零点转化考向分类专题讲义-2026届高三数学三轮冲刺

图象交点个数与零点转化考向分类 函数图象的交点与函数零点的问题是高中数学的重要内容, 也都是高考的热点和重点, 在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大, 是高中数学的主线, 它们贯穿于高中数学的各个内容, 数形结合思想方法是解决此问题的重要手段. 基本原理 1. 转化思想在函数零点问题中的应用 函数的零点即方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题 2. 数形结合方法判断函数零点个数的常用方法 (1) 直接法:令 ，作出 图象，看图象与 轴的交点,则有几个交点就有几个零点. (2) 构造两个新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题. 由两个基本初等函数组合而得的超越函数 的零点个数,等价于方程 的解的个数,亦即 的解的个数,进而转化为基本初等函数 与 的图象的交点个数. (3) 分离参数法:通过将原函数中的变参量进行分离后变形成 ,则原函数的零点问题化归为与 轴平行的直线 和函数 的图象的交点问题. 3. 三角型函数的零点个数问题,可先求出零点的一般形式, 再根据零点的分布得到关于整数 的不等式组,从而可求相应的参数的取值范围. 三角函数和其他基本初等函数同时出现在同一解析式时, 由于三角函数是周期函数, 而其他函数往往没有周期性, 所以需要一个区间一个区间去讨论, 不论是单调性还是零点, 最好在讨论之前先画一个草图. 4. 涉及含参的函数零点问题, 利用导数分类讨论, 研究函数的单调性、最值等, 结合零点存在性定理, 借助数形结合思想分析解决问题. 5. 对于复合函数 的零点个数问题,求解思路如下: (1) 确定内层函数 和外层函数 . (2) 确定外层函数 的零点 , . (3) 确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 ,则函数 的零点个数为 . 典例分析 方向 1 : 直接法 根据函数的基本性质作出图象, 然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; 注意三个等价关系: 函数 有零点 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点. 例 1 已知函数 ,则下列关于函数 的描述中,其中正确的是 ( ) 1 当 时，函数 没有零点； 2 当 时，函数 有两不同零点，它们互为倒数; 3 当 时，函数 有两个不同零点； 4 当 时，函数 有四个不同零点，且这四个零点之积为 1 . A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】 C 【解析】当 时, ,函数图象如下图所示, 由此可知该函数只有一个零点,故 ① 不正确; 当 时, 则函数 的零点为 和 函数 有两个不同零点, 由函数 的图象可知 ,解得 ,当 时,则函数 的零点为 和 ,此情况不存在 有两不同零点,则函数 有两不同零点时 的取值范围是 ,设对应的两个零点为 ,即 或 ,解得 ,则 ,所以它们互为倒数, 故 ② 正确；当 时，函数解析式为 ,令 ,解得 , 令 ,解得 或 ,由此可知函数有三个零点,故③不正确; 当 时,则函数 的零点为 和 函数 有四个不同零点, 由函数 的图象 可知 ,解得 ,当 时,设对应的两个零点为 ,则 或 ,解得: 当 时,整理得 ,当 时, ,则该方程存在两个不等的实数根 和 ,由韦达定理得 ,所以 ,则故 ④正确. 故选 C. 例 2 (2025 北京高考题) 设函数 ,若 恒成立,且 在 上存在零点,则 的最小值为 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】函数 ,设函数 的最小正周期为 ,由 可得 ,所以 ,即 ; 又函数 在 上存在零点,且当 时, ,结合图象知, ,即 . 综上, 的最小值为 4 . 故选 C. 例 3 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ，则方程 解的个数为_____. 【答案】 3 【解析】当 时, ,所以 , 因为 是定义在 上的奇函数, 所以 ,所以 , 所以 , 所以 , 由 的图象知, 有 3 个零点,所以方程 解的个数为 3 . 例 4 (多选题) (2024 全国二卷) 设函数 , 则 ( ) A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时, 是 的极大值点 C. 存在 ,使得 为曲线 的对称轴 D. 存在 ,使得点 为曲线 的对称中心 【答案】 AD 【解析】由 ,得 , 当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增; 的极大值 的极小值 ,结合图象,所以 有三个零点,故 A 正确; 当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增, 是极小值点,故 错误; 任何三次函数不存在对称轴,故 错误; 当 时, ,关于点 中心对称，故 D 正确. 故选 AD. 例 5 (2025 ・全国二卷) 已知函数 ,其中 . (1) 证明: 在 存在唯一的极值点和唯一的零点; (2) 设 ， 为 在 的极值点和零点， (i) 设 ,证明: 在 单调递减; (ii) 比较 与 的大小,并证明你的结论. 【解】(1)因为 , 所以 ; 所以 ,使得 ,且 在 上为单调递减函数,如图所示. 所以当 时, ; 当 时, , 即 在 上单调递增,在 上单调递减. 所以 ,又当 时 , 所以, 使得 ,且当 时, ; 当 时, , 即 在 上单调递增,在 上单调递减. 所以 ,又当 时 , 所以, 使得 ,且当 时, ; 当 时, , 即 在 上单调递增,在 上单调递减. 所以 ,又当 时 , 所以 有唯一极值点 ,且 为 的极大值, 也有唯一零点 . (3) 因为 分别为 在 上的极值点和零点,所以 即 即 ,且 (i) 因为 ,设 ,则 则 1 当 时， 由 (1) 知 ,即 2 当 时， ,即 故 ,从而 在 上单调递减, 所以 ,从而 在 上单调递减. (ii) 因为 , 所以 由 知 在 上单调递减,所以 0,即 . 由( 1 )知: 当 时， ；当 时, . 所以 ,故 . ◆方向 2:构造新函数法 将问题转化为研究两函数图象的交点问题; 由两个基本初等函数组合而得的超越函数 的零点个数,等价于方程 的解的个数,即 的解的个数,进而转化为基本初等函数 与 的图象交点的个数. 例 6 已知 ,给出下列四个结论: (1) 若 ，则 有两个零点； (2) ，使得 有一个零点； (3) ，使得 有三个零点； (4) ，使得 有三个零点. 以上正确结论的序号是_____. 【答案】(1)(2)(4) 【解析】函数 的零点的个数可转化为函数 与直线 的交点的个数; 作函数 与直线 的图象如图, 若 ,则函数 与直线 的图象在 与 上各有一个交点,则 有两个零点, 故(1)正确； 若 ，则当函数 与直线 的图象相切时， 有一个零点，故 (2) 正确； 当 时，函数 与直线 的图象至多有两个交点,故 (3) 不正确; 当 且 足够小时,函数 与直线 的图象在 与 上分别有 1 个、 2 个交点,故 (4) 正确. 例 7 定义在 上的奇函数 满足 ,且当 时, . 则函数 的所有零点之和为_____. 【答案】 14 【解析】依题意,定义在 上的奇函数 满足 , ,所以 关于 1 对称, ,所以 是周期为 4 的周期函数. ,所以 关于点 对称. 关于点 对称. 当 时, , 画出 的图象如下图所示, 由图可知, 有 7 个公共点, 所以 的所有零点和为 . 例 8 已知函数 的图象关于直线 对称,对 ,都有 恒成立,当 时, ,当 时,若函数 的图象和直线 有 5 个交点,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为函数 的图象关于直线 对称,将函数 的图象向右平移 1 个单位,可得到函数 的图象,则函数 的图象关于 轴对称,即函数 为偶函数,由 可得 ,故函数 是以 4 为周期的周期函数,如下图所示: 因为直线 过定点 ,当 时,要使得函数 的图象和直线 有 5 个交点,则 例 9 已知函数 的最小正周期为 . (1) 求函数 的解析式; (2) 若先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到函数 的图象,求 在 上的零点个数. 【解】(1)由题意得: . . 的最小正周期 ,故 , . (3) 由(1)得: 求函数 在 上的零点个数,即求方程 的根的个数. 和 的图象,如下图示, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,又 , 由图象知: 函数 在 上有 4 个零点. ◆方向 3: 变量分离法 由 分离变量得出 ,将原函数的零点问题等价转化为直线 与函数 的图象的交点问题. 例 10 已知函数 ,若 有 4 个零点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】令 ,得 ,在同一坐标系中作出 的图象,如图所示: 由图象知: 若 有 4 个零点,则实数 的取值范围是 . 故选 A. 例 11 (多选题)已知函数 ,若 有四个不同的实数解 ,且满足 ,则下列命题正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 ACD 【解析】在同一坐标系中作出函数 的图象, 如图所示: 由图象知: 若 有四个不同的实数解,则 , 故 正确; 因为 ,即 ,则 ,所以 ,因为 在 上递增,所以 , 故 错误; 因为 在 上递增,所以 ,而 ,所以 ,故 正确; 因为 在 上递减,在 上递增,则 ,故 D 正确. 故选 ACD. 例 12 已知函数 ,若关于 的方程 有三个不同的实根,则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】当 时, , 当 时, 当 时, ……作函数 图象如下, 因为关于 的方程 有三个不同的实根,所以函数 的图象与 的图象有三个交点,观察图象可得 . 例 13 (2024 ・全国一卷) 曲线 与 在 上有两个不同的交点,则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】令 ,则 , 令 ,则 , 因为 ,故当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 因为 时, , 若使得 有两个不同零点,则 的范围为 . 例 14 已知 是定义在 上的偶函数,当 时, (1) 求 的值； (2) 求 的解析式并画出函数的简图； (3) 讨论方程 的根的情况. 【解】( 1 ) 是定义在 上的偶函数, . (4) 当 时， ，于是 是定义在 上的偶函数, , 图象如图所示: (5) 数形结合易知:当 ，方程无实根；当 或 ， 有 2 个根; 当 ,有 3 个根; 当 ,有 4 个根. 例 15 (2025 天津卷 20) 已知函数 . (1) 当 时，求 在点 处的切线方程； (2) 有 3 个零点 ，且 . 1 求 的取值范围； 2 证明: . 【解】( 1 )当 时， ，且 ， ,所以 , 所以 在点 处的切线方程为 , 即 ; (3) ① 解法一:由 ，得 ， ； 设 ,则 令 ,得 或 , 所以 时, 单调递减, ; 时, 单调递增, ; 时, 单调递减, ; 画出函数 的大致图象，如图所示: 由函数的图象,结合题意知, 的取值范围是 . 解法二: 当 时, 在 上为减函数 在 上有一个根,又 在 上为增函数, 在 上有一个根,又 在 上有一个根, 与 有三个交点,即 有 3 个零点, 的取值范围是 . 5 证明: 由 ① 知， ,设 , 则 ,又 ,两式相减得 , 由对数均值不等式得 , 所以 . 【补充】对数均值不等式不能直接使用, 需要证明对数均值不等式 证明: 不妨假设 , 构造函数 ,则 在 上单调递减,故 ,从而 成立. 说明: 借助 ,令 , 得 要证 ,即证 , 只需证 ,即证 , 又因为 ,所以 , 所以 ,即只需证 ; 设 ,则 , 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减; 所以 ,即 , 由 ,得 成立,命题得证. 方向 4: 于复合函数 的零点个数问题, 求解思路如下 (1)确定内层函数 和外层函数 ; (2) 确定外层函数 的零点 ; (3) 确 定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 ,则函数 的零点个数为 . 例 16 已知函数 ,则关于 的方程 有 7 个不同实数解,则实数 满足 ( ) A. 且 B. 且 B. 且 D. 且 【答案】 C 【解析】令 ,作出函数 的图象如下图所示: 由于方程 至多两个实根,设为 和 ,由图象可知,直线 与函数 图象的交点个数可能为 ,由于关于 的方程 有 7 个不同实数解,则关于 的二次方程 的一根为 ,则 ,则方程 的另一根为 ,直线 与函数 图象的交点个数必为 4,则 ,解得 . 所以 且 . 故选 C. 例 17 已知函数 ,则函数 的零点个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】令 ,令 ,则 ,当 1 时,则 ,所以 1,当 时, ,则 ,作出函数 的图象如下图所示, 直线 与函数 的图象只有 1 个交点,线 ，与函数 的图象只有 2 个交点，因此，函数 只有 3 个零点. 故选 A. 例 18 已知函数 ,若函数 的零点有 5 个,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. 或 C. 或 或 D. 或 【答案】D 【解析】依题意函数 的零点即为方程 的根,① 当 时,函数 的函数图象如下所示: 所以 有两个根 ,而 对应 2 个根,所以需要 对应 3 个根,所以 ,即 ,解得 ; ②当 时,函数 的函数图象如下所示: 所以 有两个根 ,而 对应 2 个根, 对应 2 个根,即共四个根,所以不满足题意；③ 当 时，函数 的函数图象如下所示: 所以 有三个根 ,从而 ,所对应 个根,即共 5 个根,所以满足题意; ④当 时,函数 的函数图象如下所示: 所以 有三个根 ,而 分别对应 个根,即共四个根,所以不满足题意; 综上可得实数 的取值范围为 或 . 故选 D. 学科网（北京）股份有限公司 $