切线问题考点分类专题讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考切线问题考点分类 导数在高中数学中占有重要的地位, 导数的几何意义即有关切线问题是历年高考的高频考点, 无论是选填题目, 还是解答题,都能看到切线问题. 在近年的新高考背景下,要求对切线问题有更深入的研究. 基本原理 1. 导数的几何意义 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率. 2. 常见问题 (1) 有关切线的基本问题: 求切线方程，求切线条数，公切线, 已知切线求参数问题. (2) 有关切线的应用:数形结合法，利用切线解决距离最值, 函数不等式恒成立, 零点个数的问题. 典例分析 方向 1: 在点的切线方程 切线方程 的计算: 函数 在点 处的切线方程为: ,一定要抓住关键 . 例 1 (2023 ・全国甲卷) 曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设曲线 在点 处的切线方程为 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 故选 C. 例 2 已知函数 ,则曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ,令 ,则 ,所以 ,则 ,所以切线方程为: . 故选 A. 例 3 (2025 ・全国卷) 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,则 ,即该切线方程为 ,即 ,令 ,则 ,令 , 则 ,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 . 故选 A. 例 4 (2024·新课标 II 卷)已知函数 . (1) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2) 若 有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围. 【解】( 1 ) 函数 ， 当 时, , 切点坐标为 ,切线的斜率为 曲线 在点 处的切线方程为: ,整理得: . (3) 函数 ， 当 时, ,函数 在 上单调递增,此时函数 无极值, ,令 ,得 , 当 时, ,当 时, , 函数 的增区间为 ,减区间为 , , 令 在 上单调递减, 等价于 的取值范围是 , . 方向 2: 过点的切线方程 设切点为 ,则斜率 ,过切点的切线方程为 ,又因为切线方程过点 , ,所以 ,然后解出 的值. 注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外. 例 5 函数 过原点的切线方程是_____. 【答案】 【解析】设切点为 ,则 , 故切点为 的切线方程为 , 又因此切线过原点, 所以 ,解得 ,所以函数 过原点的切线方程是 , 即 . 例 6 (2025新 II 卷) 曲线 过坐标原点的两条切线的方程为_____，_____ 【答案】 【解析】因为 ,当 时 ,设切点为 ,由 ,所以 ,所以切线方程为 ,又切线过坐标原点,所以 ,解得 ,所以切线方程为 , 即 ; 当 时 ,设切点为 , 由 ,所以 ,所以切线方程为 ,又切线过坐标原点,所以 ,解得 ,所以切线方程为 ,即 . 例 7 (2025・江苏高考) 在平面直角坐标系 中,点 在曲线 上,且该曲线在点 处的切线经过点 , -1)(e为自然对数的底数),则点 的坐标是_____. 【答案】(e,1) 【解析】设点 ,则 . 又 ,当 时, , 点 在曲线 上的切线为 ,即 代入点 ,得 ,即 , 考查函数 ,当 时, ,当 时, , 且 ,当 时, 单调递增, 注意到 ,故 存在唯一的实数根 , 此时 ,故点 的坐标为 . 9 方向 3: 已知切线方程求参数的值或范围, 依据和求切线方程一样. 例 8 (2025 ・ 全国 I 卷)若直线 是曲线 的切线，则 _____. 【答案】 4 【解析】根据题意, ,令 ,则 , 在切线 中,当 时, ,所以切点坐标为 ,将 代入曲线 中,得 ,解得 . 例 9 已知函数 在点 处的切线为 ,则 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 【解析】: 函数 , 在点 处的切线为 , ,解得 . 故选 C. 例 10 已知 为正实数,直线 与曲线 相切,则 的最小值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 B 【解析】设切点为 ,由 ,得 ,因为直线 与曲线 相切于点 ,所以 ,解得 ,所以 1,因为 为正实数,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 的最小值为 4 . 故选 B. 例 11 已知函数 的一条切线为 ,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ,设切点为 ,所以 ,解得 ,所以 ,设 ,则 ,令 ,解得 ,当 , 时, ,则 为减函数,当 , 时, ,则 为增函数, 所以 ,所以 的最小值为 . 故选 A. 例 12 (2021 ・新高考II卷) 已知函数 , ,函数 的图象在点 和点 , 的两条切线互相垂直,且分别交 轴于 两点,则 取值范围是_____. 【答案】(0,1) 【解析】由题意, ,则 , 所以点 和点 , ,所以 , 所以 ,所以 , 同理 ,所以 ◆方向 4: 切线条数问题 (1) 设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为 ,又因为切线方程过点 ,所以 然后解出 的值, 有几个值, 就有几条切线. (2) 三次函数切线条数: 一般地，如图，过三次函数 图象的拐点 ， (对称中心或拐点) 作切线 ,则坐标平面被切线 和函数 的图象分割为四个区域,有以下结论: (1) 由于区域 I、IV 属于外弧区域, 故过区域 I、IV 内的点作 的切线,有 3 条; (2) 由于区域 II、II 属于内弧区域，过区域 II、III 内的点或者对称中心作 的切线，有且仅有 1 条； (3) 过切线 或函数 图象 (除去对称中心) 上的点作 的切线，有且仅有 2 条. 例 13 (多选题) 新高考 I 卷) 已知函数 ,则 ( ) A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线 【答案】 AC 【解析】 ,令 ,解得 或 ,令 ,解得 在 , 上递增,在 上递减,且 有两个极值点,有且仅有一个零点,故选项 正确,选项 错误; 又 ,则 关于点 对称,故选项 正确; 假设 是曲线 的切线,设切点为 ,则 ,解得 或 ,显然 和 均不在曲线 上,故选项 D 错误. 故选 AC. 例 14 过点 可作三条直线与曲线 相切,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,拐点切线为 时, ,且 , 过点 可作三条直线与曲线 相切, 只需 ,则 . 故选 D. 例 15 (2021 新高考 I 卷) 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解法一: 在曲线 上任取一点 ,对函数 求导得 ,所以,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,由题意可知,点 在直线 上,可得 ,令 ,则 . 当 时, ,此时函数 单调递增,当 时, ,此时函数 单调递减,所以, ,由题意可知,直线 与曲线 的图象有两个交点,则 , 当 时, ,当 时, ,作出函数 的图象如图所示: 由图可知,当 时,直线 与曲线 的图象有两个交点. 故选 D. 解法二: 画出函数曲线 的图象如图所示,根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线. 由此可知 . 故选 D. 方向 5: 公切线问题 公切线代数表达: 当 与 具有公切线时,设直线与 切于点 与 切于点 , 1 当 与 切于同一点,设切点为 , 则有 ; 2 公切线方程的等量关系 ,求参数取范围或者切点的取值范围. 例 16 (2025 ・全国新 I 卷) 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 【答案】 【解析】由 得 , 故曲线 在 处的切线方程为 ; 由 得 ,设切线与曲线 1) 相切的切点为 , 由两曲线有公切线得 ,解得 ,则切点为 , 切线方程为 , 根据两切线重合,所以 , 解得 . 例 17 若直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,则 ( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】 A 【解析】对于 ,设切点为 ,则切线方程为 ,即 ①; 对于 1), ,设切点为 ,则切线方程为 ; 由 ① ② 得: . 故选 A. 例 18 若曲线 与曲线: 有公切线,则实数 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设在曲线 上的切点为 ,则切线斜率为 ,在曲线 上的切点为 , ,切线斜率为 ,所以切线方程分别为 、 ,即 ,有 ,整理得 ,设 ,则 ,令 ,令 ,故函数 在 上 单调递减,所以在 上 ,如图所示. 故选 C. 例 19 若直线 与函数 的图象分别相切于点 ,则 【答案】 -1 【解析】由 ,得 , 则 ,即 . 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 , 所以 , 可得 ,整理得 . ◆方向 6:切线法解决曲线(或直线)上点到曲线距离 的最值问题 (1) 直线与曲线最短距离，方法主要是 “切线平行法” (2) 两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下 “双飞燕” 思维图 例 20 曲线 上的点到直线 的最短距离是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】如图所示,设曲线 上一点 ,且在该点处切线斜率为 1 , ,所以斜率 ,解得 ,故切点为 , 切线方程为 ,即 ,两直线间距离为 . 故选 B. 例 21 (2019・江苏卷) 在平面直角坐标系 中, 是曲线 上的一个动点,则点 到直线 的距离的最小值是_____. 【答案】 4 【解析】当直线 平移到与曲线 相切位置时,切点 即为点 到直线 的距离最小. 由 ,得 ,即切点 , 则切点 到直线 的距离为 . 例 22 已知实数 满足: ,其中 是自然对数的底数,则 的最小值是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】 B 【解析】因为实数 满足: ,所以 . 所以点 在曲线 上, 点 在 上. 所以 的几何意义就是曲线 上的任一点到 上的任一点的距离的平方. 由几何意义可知,当 的某一条切线与 平行时,两平行线间距离最小. 设 在点 处的切线与 平行,则有: ,即切点为 . 此时 到直线 的距离为 就是两曲线间距离的最小值,所以 的最小值为 . 故选 B. 例 23 设 为曲线 上一点, 为曲线 上一点,则 的最小值为 ( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】 C 【解析】 时, ,所以 是 图象的一条切线,切点为 , 时, ,所以 是 的图象的一条切线,切点为 ,这两条切线平行,两切点连线恰好与切线垂直, 的最小值即为两切点间的距离，所以 . 故选 C. 例 24 已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线 对称,若 分别为它们上的两个动点,则这两点之间距离的最小值为_____. 【答案】 【解析】令 ,则 因为 与 关于直线 对称, 所以函数 与函数 关于直线 对称, 所以 两点之间距离的最小值等于 到直线 距离最小值的 2 倍, 函数 在 点处的切线斜率为 , 令 得, , 所以点 到直线 距离的最小值为 所以这两点之间距离的最小值为 . 方向 7: 切线法解决恒成立求参问题 恒成立求参问题，可以考虑如下方法: (1)分参,水平线法; (2) 分离函数,切线法; (3) 移项到一侧求导讨论法. 例 25 已知函数 ，若关于 的不等式 ( 是自然对数的底数) 在 上恒成立,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在 上恒成立,等价于 的图象恒在直线 的上方,画出 的图象. 直线 恒过定点 ,当直线 与 相切时,设切点 , 求导得 ,可得 ,由 ,解得 ,则切线的斜率为 2 . 当直线 与 相切时,直线 与半圆 相切,由 ,解得 ,由图可知, 的取值范围是 ,故 、 B、C 错误. 故选 D. 例 26 已知 为实数，不等式 恒成立， 则 的最小值为_____. 【答案】 -1 【解析】不等式 恒成立即 恒成立,即一次函数 恒在 的上方或相切. 当 时显然 与 相交,不合题意,故 . 当 一定时,要 越小,易得 的截距要越小, 最小时 与 相切. 此时设切点 , ,由 的导数 ,故 ,即 ,故 ,设 , 则 ,令 有 ,易得当 时 单调递减; 当 , 时 单调递增; 则当 时,取最小值 ,故 的最小值为 -1 . 方向 8: 切线法解决已知零点个数求参数问题 解决零点个数思维: 分离函数为一直一曲,数形结合切线法 例 27 函数 ,若函数 与 的图象有三个交点,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】作出函数 的图象,如图所示: 与 相切的直线为 ,且切点为 ,因为 ,所以切线的斜率为 ,则切线方程为 ,因为 过定点 ，且在切线上，代入切线方程 求得 (舍去),所以切线的斜率为 ,因为函数 与 的图象有三个交点,由图象知: 实数 的取值范围为 . 故选 D. 例 28 若函数 有 3 个零点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】令 ,得 ,所以函数 有 3 个零点,等价于函数 与函数 的图象有 3 个交点,作出函数 的图象,函数 的图象恒过 点,当 时,显然函数 与函数 的图象仅有 2 个交点,不符合题意; 当 时,当直线 与曲线 相切时,不妨设切点坐标为 ,则曲线 在切点处的切线斜率 ,又因为切点也在直线 上,所以 ,解得 ,则切点为 ,此时 ,所以若函数 与函数 的图象仅有 3 个交点,则 ; 根据函数图象的对称性,当 时,若函数 与函数 的图象仅有 3 个交点,则 . 综上所述,实数 的取值范围是 . 故选 D. 学科网（北京）股份有限公司 $