精品解析：青海西宁市七一中学2025—2026学年度第二学期结束课测试数学试卷

西宁市七一中学2025—2026学年度第二学期结束课测试数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 岗什卡雪山常年积雪，山顶气温为零下，山脚气温为零下，则温差为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 4. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩较低且稳定 B. 乙的平均成绩较低且稳定 C. 甲的平均成绩较高且稳定 D. 乙的平均成绩较高且稳定 5. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　） A. ∠EAC＝∠B B. △EDC是等腰直角三角形 C. D. ∠AED=∠EDC 8. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 因式分解：________． 10. 年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为______． 11. 如果正多边形的一个内角为，那么这个正多边形的边数为______． 12. 不等式组的解集是________． 13. 已知是方程的两个实数根，则______． 14. 如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB=__________km． 15. 如图，在扇形中，点为圆心，半径的长为，．以点为圆心，的长为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是______． 16. 如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与反比例函数关于轴对称，点在轴上，过点作轴的平行线交两反比例函数于点，，连接，．若的面积为，则反比例函数的解析式为_______． 18. 如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 三、解答题（共8小题，共76分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． （2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； （3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 22. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 23. 某汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为16万元．当每辆汽车的售价为22万元时，每月可销售4辆，根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆汽车降价y（万元）与月销售量x（辆）（）满足一次函数关系，数据如下表： x/辆 4 5 6 7 8 y/万元 0 1 2 （1）求y与x的函数关系式； （2）每辆汽车原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润（每辆原售价进价）x，请根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少万元？ 24. 如图，是的直径，延长弦至点D，使，连接，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若的直径为8，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 26. 综合探究与应用 【模型呈现】 （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，E为边上一点，连接DE，过点E作交于点F，若，，E为的中点，求的长． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B坐标为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市七一中学2025—2026学年度第二学期结束课测试数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 岗什卡雪山常年积雪，山顶气温为零下，山脚气温为零下，则温差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】温差的计算方法是最高气温减去最低气温，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：温差为． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，整式的除法，根据上述计算法则，逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0． 4. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩较低且稳定 B. 乙的平均成绩较低且稳定 C. 甲的平均成绩较高且稳定 D. 乙的平均成绩较高且稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况． 【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：A． 5. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可． 本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：A． 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　） A. ∠EAC＝∠B B. △EDC是等腰直角三角形 C. D. ∠AED=∠EDC 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质、勾股定理及等腰直角三角形性质对选项进行一一判断即可． 【详解】解：∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°． 由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°， 故选项A正确； ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°． 由旋转的性质可知：∠DCB=∠ACE，CE=CD， ∴∠ECD=90°． ∴△EDC是等腰直角三角形， 故选项B正确． ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°． 由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°， ∴∠EAD=90°， ∴， ∵△EDC是等腰直角三角形， ∴，即 ∴ ∵AE=BD， ∴ 故选项C正确； 从题目已知条件无法推导出选项D正确， 故选项D不一定正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H， 所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x） 所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故选D． 【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10. 年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键． 根据科学记数法正确表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如果正多边形的一个内角为，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，熟练掌握正多边形的内角计算方法是关键．根据正多边形内角公式建立方程，求解边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的根． 故答案为：9． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定法则得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 解不等式 ， 系数化为，得 ， 根据“同大取大”的解集确定法则，可得不等式组的解集为 ． 13. 已知是方程的两个实数根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握是方程（a≠0）的两个根，则，，是解题的关键． 14. 如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB=__________km． 【答案】3（km） 【解析】 【详解】试题分析：过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长． 解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB． 直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6， 则CE=CD•cos30°=3=AB． ∴AB=3（km）． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 15. 如图，在扇形中，点为圆心，半径的长为，．以点为圆心，的长为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图图形的面积，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，先证明是等边三角形，得出，然后利用即可求解，正确理解图形作出辅助线及正确掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴． 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与反比例函数关于轴对称，点在轴上，过点作轴的平行线交两反比例函数于点，，连接，．若的面积为，则反比例函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键．利用反比例函数与反比例函数关于轴对称得出，再利用的几何意义得出即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与反比例函数关于轴对称， ∴设反比例函数图象上一点关于轴对称，在反比例函数上的对应点为， ∴将代入反比例函数中，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 18. 如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共76分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． （2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； （3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 【答案】（1）200；20； （2）C组 （3） 【解析】 【分析】（1）将C组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出n，扇形统计图中B组的频率计算即可； （2）由（1）可知学生总数为200人，按顺序排列后，中位数应该是100和101两个数的平均数，A组是20人，B组为70人，C组为76人即可得答案； （3）通过列表得出出现所有等可能情况，从中找出满足条件的情况有8种，即可得出一男一女的概率． 【小问1详解】 解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为， 本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人）， ， 扇形统计图中B组的圆心角度数为：； 即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是． 【小问2详解】 解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，， ∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数， ∴中位数在C组， 即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组； 【小问3详解】 根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以，恰好分组是一男一女的概率． 22. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ AB∥EC， ∵点是CD的中点， ∴， ∵， ∴AB=EC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）可证得AB∥EC，AB=EC，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断； （2）利用勾股定理可求得CD的长，继而求得AB的长，即可求出四边形ABCE的面积． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴， ∵， ∴AB=2， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 23. 某汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为16万元．当每辆汽车的售价为22万元时，每月可销售4辆，根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆汽车降价y（万元）与月销售量x（辆）（）满足一次函数关系，数据如下表： x/辆 4 5 6 7 8 y/万元 0 1 2 （1）求y与x的函数关系式； （2）每辆汽车原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润（每辆原售价进价）x，请根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当时，销售利润最大，最大利润是32万元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出w关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为32， 答：当时，销售利润最大，最大利润是32万元． 24. 如图，是的直径，延长弦至点D，使，连接，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若的直径为8，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ， ，， 是的中位线， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的定义知，由，得是的中位线，推出，即可证明； （2）先由直径所对的圆周角等于得出，再证垂直平分BD，求出，再证明，推出，求出AC，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ，即， ， ． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴及点C的坐标，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为，要使的周长最小，则最小，即最小，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，当时，，即为所求． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，点， ， ， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为，与轴交于点， 抛物线对称轴为直线，点的坐标为 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为， 由轴对称的性质可知， 的周长， 要使的周长最小，则最小，即最小， 当、、三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 26. 综合探究与应用 【模型呈现】 （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，E为边上一点，连接DE，过点E作交于点F，若，，E为的中点，求的长． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B坐标为________． 【答案】（1） 证明：∵⊥直线l，直线l， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即：； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得，得到，，用等量代换证得结论． （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）同理可证，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：如图，作轴于E，轴于F，由（1）同理可证 ， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $