精品解析：江苏扬州市新华中学2026届高三下学期3月考前适应性练习二数学试卷

扬州市新华中学2026届高三3月考前适应性练习二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 6. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 96 7. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则下列正确的是（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递增数列 D. 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点的纵坐标为 D. 的解集为 11. 对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为和 B. 的对称轴方程为和 C. M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D. Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的系数为__________. 13. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 16. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，. （1）证明：四棱锥是一个“阳马”； （2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 17. 已知函数，实数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 18. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026届高三3月考前适应性练习二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是. 故选：B 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，再两边同时取对数计算即可. 【详解】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为月，则，即， 两边取常用对数得，所以. 故选：B. 6. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】分社区只有甲和社区还有另一个志愿者两种类型，利用分步计数原理结合排列组合知识求不同的安排方法数. 【详解】分两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有； ②社区还有另一个志愿者，此时有， ，甲恰好被安排在 A 社区有60种不同安排方法. 故选：C. 7. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最小值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值. 例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解. 【详解】将不等式变形，可得， 要使不等式恒成立，需满足： 当时，，因此需， 当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则， 下面验证时，恒成立， 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 当时，， 所以时，不等式恒成立， 所以，令，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则下列正确的是（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递增数列 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】设正项等比数列的公比为 由，得，即， 又，所以，，即，， 所以，解得，（舍去） 对于A，，A正确； 对于B，，无最小项，B错误； 对于C，，，为递减数列，C错误； 对于D，因为，， 所以，D正确． 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点的纵坐标为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得判断C；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间判断A；求得对称中心判断B；解不等式判断D. 【详解】最小正周期，故选项C正确； 由， 令， 当时，单调递增且，此时单调递增， 在上单调递增，故选项A正确； ， 所以函数的对称中心为，故选项B错误； ，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为和 B. 的对称轴方程为和 C. M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D. Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析判断A；根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算判断B；根据题意结合斜率公式运算求解判断C；根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果判断D. 【详解】对于A，函数图象是双曲线，由图象知：函数的图象与直线和无限接近， 但不相交，则直线和为该双曲线的渐近线，A正确； 对于B，函数图象是双曲线，由双曲线的性质知，双曲线的对称轴为其渐近线的角分线，且互相垂直， 一条对称轴的倾斜角为，由二倍角公式可得， 整理得，而，解得， 斜率， 另一条对称轴的斜率为，对应的方程分别为和，B正确； 对于C，设，直线的斜率分别为， 则，C错误； 对于D，函数，求导得，设， 则函数的图象在处切线的斜率， 切线方程为，令，得，即，则， 令，得，即，则， 因此的面积（定值），D正确． 故选：ABD 【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 ①已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程． ②已知切线的斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程； ③已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】70 【解析】 【分析】求二项式的展开式的通项，由条件求，由此可得结论. 【详解】由题意知二项式的展开式的通项为， 令， 则的系数为. 故答案为： 13. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由焦点可得，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值. 【详解】由焦点，得，所以抛物线的方程为，准线为. 又由，得，所以，设椭圆的左焦点为， 有，故，可得离心率为. 故答案为：. 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小，作出截面，数形结合可得解. 【详解】 设四棱柱为 由已知半径为的玻璃球与四棱柱的四个侧面均相切， 则当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小， 假设半径为的球与侧面和均相切， 作出平面如图所示， 易知此时，，，， 且四边形为直角梯形， 则， 则四棱柱的高， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【小问1详解】 由． 故，而，得． 【小问2详解】 由， 设的长为，由． 即的长为． 16. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，. （1）证明：四棱锥是一个“阳马”； （2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析; （2）. 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的相关知识证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角为计算出，进而求出线面角的正切值. 【小问1详解】 四边形是正方形，， ，，平面， 平面， 平面，， 四边形是正方形，， ，，平面. 平面， 平面，， ，平面， 平面， 四棱锥是一个“阳马”； 【小问2详解】 由（1）得平面，， ，，， 以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 所以， 设，， ，， ，， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， ，或（舍去）. ，， 平面，直线与底面所成角的正切值为. 17. 已知函数，实数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数在处的切线方程为． （2）实数a的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【小问1详解】 当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 【小问2详解】 由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 18. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(1) 先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； (2) （i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，， 所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 所以，， 所以比赛结束后甲获胜的概率， （ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， , 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 19. 已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的虚轴长和离心率公式求出、的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN的斜率为定值； （ii）根据三角形面积公式求出的表达式，再根据条件确定其取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因为离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当斜率为0时： 已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时： 设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母： 此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $