8.6.1 直线与直线垂直 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到素养提升，覆盖异面直线垂直及成角计算，适配新授课知识进阶与空间观念、推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|异面直线成角定义及基本计算|以正方体、长方体为背景，选择、填空、解答题结合，夯实概念理解与运算能力| |能力拓展|直三棱柱、正四棱柱中的成角计算|引入展开图、空间四边形复杂情境，提升空间想象与问题转化能力| |素养提升|线面平行证明与成角计算综合|以正四棱锥为载体，融合证明与计算，培养逻辑推理与数学表达能力|

8.6.1 直线与直线垂直 【基础巩固】 1．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．长方体中，，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线，相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线，成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A．与平行 B． C．直线，，中，任意两条都是异面直线 D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 6．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为____________. 7．如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，，分别为，的中点，则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 8．如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小. 【能力拓展】 9．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 10．在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（ ） A． B． C． D．或 11．如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 【素养提升】 12．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线和所成角的余弦值． 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1 直线与直线垂直 【基础巩固】 1．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接 在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 2．长方体中，，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】连接， 所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：C 3．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 补形为正方体，直线与所成的角为， 可求，， 所以， 所以直线与所成的角的余弦值为. 故选：C 4．已知直线，相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线，成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，无满足条件的直线； 当时，有一条直线（为，夹角的角平分线）； 当时，有两条直线； 当时，有三条直线（包含，夹角的补角平分线，及另外两条空间直线）； 当时，有四条直线； 当时，有一条直线（为，的公垂线）； 故选：A 5．（多选）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A．与平行 B． C．直线，，中，任意两条都是异面直线 D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】由题意还图可得 对于A，由，则，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，，则两两异面，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，如下图： 由分别为的中点，则， 所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面， 易知，，则面积为，故D正确. 故选：BCD. 6．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为____________. 【答案】 【解析】还原正方体，连接，， 由正方体性质可知，且， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 7．如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，，分别为，的中点，则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 【解析】因为，分别为，的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 即是等腰三角形， 所以或， 所以直线和直线所成角为75°或15°. 故答案为：75°或15°. 8．如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【解析】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角， 由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 【能力拓展】 9．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，， 因为直三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，， 因为分别是棱，的中点， 所以，，， 所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 所以，， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 因为直三棱柱中，平面， 所以平面， 又平面，所以， 设，则根据几何关系得，， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是， 故选：C 10．在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 11．如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 【答案】 【解析】由题意，还原正四棱柱的直观图，如图所示，取的中点，中点，中点，连接相关线段，如下图所示， ∴//. 由几何知识得，四边形是平行四边形，//， ∴， 所以或其补角为异面直线和所成的角． 由题知，，则有，所以， 即异面直线和所成的角为． 故答案为：. 【素养提升】 12．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线和所成角的余弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面. (2)由(1)知：故或其补角即为直线和所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线和所成角的余弦值为. 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $