专题1.5 角平分线（5大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦角平分线专题，系统梳理性质定理（角平分线上点到两边距离相等）、判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上）、三角形内心性质（三条角平分线交于一点且到三边距离相等）、尺规作图步骤及依据（SSS），并对比线段垂直平分线，构建从定义到应用的完整知识支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固性质应用（如求垂线段长度），培优题型融合面积计算与模型（如角平分线+平行线得等腰三角形），压轴题型提升推理能力（如截长补短证线段关系），结合实际情境（选址问题）培养几何直观与模型意识，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.5 角平分线 知识点1：角平分线的性质定理 1.文字表述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.符号语言：若平分，点在上，且于，于，则。 3.核心条件：角平分线+两条垂线段，三者缺一不可，距离指垂线段的长度。 4.应用：可直接证明线段相等，无需再证三角形全等。 知识点2：角平分线的判定定理 1.文字表述：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2.符号语言：若点在内部，于，于，且，则平分。 3.关键前提：角的内部，外部点即使到两边距离相等，也不在角平分线上。 4.应用：证明某条射线是角的平分线，核心是证点到角两边的垂线段相等。 知识点3：三角形的角平分线性质 1.三角形的三条内角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心。 2.内心的核心性质：到三角形三条边的距离相等。 3.面积推论：若是的内心，于，，周长为，则。 知识点4：尺规作角的平分线 1.作图步骤： ①以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于、两点； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点； ③作射线，即为的平分线。 2.作图依据：SSS（）。 知识点5：角平分线与线段垂直平分线的对比 名称 核心性质 距离类型 交点特征 角平分线 到角两边距离相等的点的集合 点到直线的距离 三角形三条内角平分线交于内心 线段垂直平分线 到线段两端点距离相等的点的集合 点到点的距离 三角形三边垂直平分线交于外心 【基础必考题型】 【题型1】利用角平分线的性质求垂线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理 点到直线的距离的定义 2.解题方法技巧 先定位角平分线上的点，再向角的两边作垂线段，直接利用性质得线段相等； 若题干无垂线段，作辅助线（过角平分线上的点向角两边作垂线）是关键。 【例题1】.（2025九年级下·广东广州·专题练习）如图，为的平分线，过点作交于点，已知的长为3，则点到线段的距离为_____． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在直角中，，的角平分线与相交于点，，则点到的距离为__________． 【题型2】利用角平分线的判定证明角平分线 1.核心知识点 角平分线的判定定理 全等三角形（HL/AAS）的判定与性质 2.解题方法技巧 从待证角平分线上取一点，向角的两边作垂线段； 通过证明垂线段相等，结合“角的内部”前提，证得射线为角平分线。 【例题2】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，平分交于点，，求证：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 【题型3】尺规作角平分线及作图依据分析 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤 SSS全等三角形的判定 2.解题方法技巧 严格遵循作图步骤，注意弧的半径要求（“适当长”“大于”）； 作图依据分析紧扣“三边相等证全等，全等得角相等”。 【例题3】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点P（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所求作的图形中，若，，求的面积． 【变式题3-1】.（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式题3-2】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【培优高频题型】 【题型4】角平分线的性质与三角形面积综合计算 1.核心知识点 角平分线的性质定理 三角形面积的拆分与整合 2.解题方法技巧 利用角平分线作垂线段，将不规则三角形拆分为两个高相等的三角形； 设未知垂线段长度为，根据总面积列方程求解。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式题4-1】.（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．28 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，是平分线上的一点，点分别在射线上，满足．若的面积是1，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是，则的面积是______． 【题型5】角平分线+平行线的模型应用 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 平行线的性质（内错角相等） 等腰三角形的判定（等角对等边） 2.解题方法技巧 角平分线+平行线必出等腰三角形（如平分，，则为等腰三角形）； 利用等腰三角形的边相等转化线段，利用角相等转化角度。 【例题5】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，是BC上一点，且，连接交的平分线于点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【题型6】角平分线的实际情境应用（选址问题） 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 线段垂直平分线的性质 2.解题方法技巧 情境关键词“到两条道路距离相等”→作角平分线；“到两个地点距离相等”→作线段垂直平分线； 所求位置为角平分线与线段垂直平分线的交点（注意限定区域，如“角内部”）。 【例题6】.（21-22七年级下·四川达州·期末）电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【变式题6-3】.（24-25九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， 故选：D ． 【压轴素养题型】 【题型7】角平分线与全等三角形的综合证明 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 全等三角形（HL/SAS/ASA/AAS）的判定与性质 2.解题方法技巧 过角平分线上的点作垂线段，构造HL全等的直角三角形； 利用角平分线得到角相等，结合公共边/已知边，构造一般全等三角形。 【例题7】.（25-26八年级下·四川达州·月考）如图，平分，于点E，交的延长线于点F，且． (1)证明：； (2)若，求的长度； 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东茂名·月考）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，利用（2）的结论，求证：． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）已知：如图，平分，，，垂足分别为点，，是的垂直平分线．求证：． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【题型8】角平分线与截长补短法的综合证明 1.核心知识点 角平分线的性质 截长补短法构造全等三角形 线段的和差转化 2.解题方法技巧 遇“”类结论，用截长法（在上截）或补短法（延长至，使）； 结合角平分线构造全等三角形，将线段和差转化为全等三角形的对应边相等。 【例题8】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 易错点 1.应用角平分线性质时，忽略垂线段条件，直接认为角平分线上的点到角两边的线段相等。 2.应用角平分线判定时，遗漏角的内部前提，误判外部点为角平分线上的点。 3.尺规作角平分线时，弧的半径不符合要求（如第二步弧的半径小于），导致两弧无交点。 4.混淆三角形“内心”和“外心”，将内心（角平分线交点，到三边距离相等）与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等）的性质弄混。 5.计算三角形面积时，拆分后忽略高相等的条件，错误选取底和高。 重点 1.角平分线的性质定理与判定定理的文字表述、符号语言及应用，能熟练作垂线段解决问题。 2.尺规作角平分线的步骤、作图依据及规范作图，能准确画出角的平分线并说明理由。 3.三角形内心的定义与性质，能利用内心到三边距离相等求解三角形的面积、周长。 4.角平分线的基本模型（角平分线+平行线=等腰三角形），能快速识别并应用模型解题。 5.角平分线的实际应用，能将选址、测距等实际问题转化为几何问题，利用角平分线和线段垂直平分线求解。 难点 1.角平分线与全等三角形、等腰三角形、平行线的综合应用，能根据题干条件合理作辅助线（垂线段、截长补短）。 2.三角形内心的面积推论的推导与应用，能灵活将三角形面积拆分为三个小三角形面积和进行计算。 3.角平分线的动态探究题和多结论探究题，能分析运动过程中的不变量，严谨判断并证明结论。 4.截长补短法在角平分线证明题中的应用，能根据线段和差结论选择合适的方法构造全等三角形。 5.跨学科融合题的转化，能将物理、生活中的实际问题转化为纯几何问题，利用角平分线的知识求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，的周长是20，分别平分和于点，且3，则的面积是（   ） A．30 B．25 C．60 D．40 3．如图，是中的平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M 和点N ，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是______． 6．如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 7．在四边形中，平分，若，则对角线的长度为___________． 8．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点，作于点，若，，则的面积为______． 三、解答题 9．如图，在中，，的平分线交于点，过点作，若，，求的长度． 10．如图，已知，点分别在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到点的距离相等，且点到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 11．如图，在中，平分，平分，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求证：所在的直线垂直平分． 12．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 角平分线 知识点1：角平分线的性质定理 1.文字表述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.符号语言：若平分，点在上，且于，于，则。 3.核心条件：角平分线+两条垂线段，三者缺一不可，距离指垂线段的长度。 4.应用：可直接证明线段相等，无需再证三角形全等。 知识点2：角平分线的判定定理 1.文字表述：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2.符号语言：若点在内部，于，于，且，则平分。 3.关键前提：角的内部，外部点即使到两边距离相等，也不在角平分线上。 4.应用：证明某条射线是角的平分线，核心是证点到角两边的垂线段相等。 知识点3：三角形的角平分线性质 1.三角形的三条内角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心。 2.内心的核心性质：到三角形三条边的距离相等。 3.面积推论：若是的内心，于，，周长为，则。 知识点4：尺规作角的平分线 1.作图步骤： ①以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于、两点； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点； ③作射线，即为的平分线。 2.作图依据：SSS（）。 知识点5：角平分线与线段垂直平分线的对比 名称 核心性质 距离类型 交点特征 角平分线 到角两边距离相等的点的集合 点到直线的距离 三角形三条内角平分线交于内心 线段垂直平分线 到线段两端点距离相等的点的集合 点到点的距离 三角形三边垂直平分线交于外心 【基础必考题型】 【题型1】利用角平分线的性质求垂线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理 点到直线的距离的定义 2.解题方法技巧 先定位角平分线上的点，再向角的两边作垂线段，直接利用性质得线段相等； 若题干无垂线段，作辅助线（过角平分线上的点向角两边作垂线）是关键。 【例题1】.（2025九年级下·广东广州·专题练习）如图，为的平分线，过点作交于点，已知的长为3，则点到线段的距离为_____． 【答案】3 【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴点到线段的距离等于点到线段的距离， ∵点到线段的距离， ∴点到线段的距离为3． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵到的距离即为，且， 又∵平分， 且，， ∴， ∴到的距离为2． 【变式题1-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在直角中，，的角平分线与相交于点，，则点到的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．关键是通过作辅助线，将点到的距离转化为已知线段的长度，利用角平分线的性质直接求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 故答案为：． 【题型2】利用角平分线的判定证明角平分线 1.核心知识点 角平分线的判定定理 全等三角形（HL/AAS）的判定与性质 2.解题方法技巧 从待证角平分线上取一点，向角的两边作垂线段； 通过证明垂线段相等，结合“角的内部”前提，证得射线为角平分线。 【例题2】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，平分交于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识．由角平分线的定义可得，结合得到，即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 【题型3】尺规作角平分线及作图依据分析 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤 SSS全等三角形的判定 2.解题方法技巧 严格遵循作图步骤，注意弧的半径要求（“适当长”“大于”）； 作图依据分析紧扣“三边相等证全等，全等得角相等”。 【例题3】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点P（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所求作的图形中，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作已知角的平分线的作法解答即可； （2）过点P作于点Q，根据角平分线的性质可得，再证明，可得，再结合勾股定理可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，过点P作于点Q， ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的面积为． 【变式题3-1】.（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作于点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 由作图痕迹得平分， ， ∴，即点到的距离为4． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：点P到的两边距离相等， ∴点P在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 即平分． 故选：A 【培优高频题型】 【题型4】角平分线的性质与三角形面积综合计算 1.核心知识点 角平分线的性质定理 三角形面积的拆分与整合 2.解题方法技巧 利用角平分线作垂线段，将不规则三角形拆分为两个高相等的三角形； 设未知垂线段长度为，根据总面积列方程求解。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 【变式题4-1】.（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．28 【答案】D 【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ， ， 设的面积为，则，， 的面积比的面积大2， 的面积比的面积大2， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，是平分线上的一点，点分别在射线上，满足．若的面积是1，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键． 如图，过作于 作于 ，再证明，再结合三角形的面积可得答案． 【详解】解：如图，过作于 作于   ∵平分， ∴， ∵，， ∵ ∴ ∵的面积是1， ∴ 故选C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形面积，由是的角平分线，，分别是和的高，则有，通过，求得，所以，最后通过即可求解，掌握角平分线性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】角平分线+平行线的模型应用 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 平行线的性质（内错角相等） 等腰三角形的判定（等角对等边） 2.解题方法技巧 角平分线+平行线必出等腰三角形（如平分，，则为等腰三角形）； 利用等腰三角形的边相等转化线段，利用角相等转化角度。 【例题5】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，是BC上一点，且，连接交的平分线于点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由等边对等角，结合，证出，得，由平分，结合，证出，得，即可证出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到、，根据平行线的性质得到、，进而得到、，根据的周长为14，得到，进而得到的周长． 【详解】解：和的平分线相交于点D， 、， ， 、， 、， 、， 的周长为14， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：21． 【题型6】角平分线的实际情境应用（选址问题） 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 线段垂直平分线的性质 2.解题方法技巧 情境关键词“到两条道路距离相等”→作角平分线；“到两个地点距离相等”→作线段垂直平分线； 所求位置为角平分线与线段垂直平分线的交点（注意限定区域，如“角内部”）。 【例题6】.（21-22七年级下·四川达州·期末）电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处，作图见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线交公路夹角的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求发射塔的位置. ∴发射塔应该修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处. 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【变式题6-3】.（24-25九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【压轴素养题型】 【题型7】角平分线与全等三角形的综合证明 1.核心知识点 角平分线的性质/判定 全等三角形（HL/SAS/ASA/AAS）的判定与性质 2.解题方法技巧 过角平分线上的点作垂线段，构造HL全等的直角三角形； 利用角平分线得到角相等，结合公共边/已知边，构造一般全等三角形。 【例题7】.（25-26八年级下·四川达州·月考）如图，平分，于点E，交的延长线于点F，且． (1)证明：； (2)若，求的长度； 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由角平分线的性质得到，则可证明，进而证明； （2）由角平分线的性质得到，则可证明得到，根据（1）求出的长，进而求出的长，推出的长，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东茂名·月考）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，利用（2）的结论，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到该角的两边距离相等 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，过点D作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到该角的两边距离相等）； （2）解：，证明如下： 如图2中，过点D作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）已知：如图，平分，，，垂足分别为点，，是的垂直平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接．根据角平分线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：连接． 是的平分线，，， ． 又垂直平分， ． ． ． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 【题型8】角平分线与截长补短法的综合证明 1.核心知识点 角平分线的性质 截长补短法构造全等三角形 线段的和差转化 2.解题方法技巧 遇“”类结论，用截长法（在上截）或补短法（延长至，使）； 结合角平分线构造全等三角形，将线段和差转化为全等三角形的对应边相等。 【例题8】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 【变式题8-3】.（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 易错点 1.应用角平分线性质时，忽略垂线段条件，直接认为角平分线上的点到角两边的线段相等。 2.应用角平分线判定时，遗漏角的内部前提，误判外部点为角平分线上的点。 3.尺规作角平分线时，弧的半径不符合要求（如第二步弧的半径小于），导致两弧无交点。 4.混淆三角形“内心”和“外心”，将内心（角平分线交点，到三边距离相等）与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等）的性质弄混。 5.计算三角形面积时，拆分后忽略高相等的条件，错误选取底和高。 重点 1.角平分线的性质定理与判定定理的文字表述、符号语言及应用，能熟练作垂线段解决问题。 2.尺规作角平分线的步骤、作图依据及规范作图，能准确画出角的平分线并说明理由。 3.三角形内心的定义与性质，能利用内心到三边距离相等求解三角形的面积、周长。 4.角平分线的基本模型（角平分线+平行线=等腰三角形），能快速识别并应用模型解题。 5.角平分线的实际应用，能将选址、测距等实际问题转化为几何问题，利用角平分线和线段垂直平分线求解。 难点 1.角平分线与全等三角形、等腰三角形、平行线的综合应用，能根据题干条件合理作辅助线（垂线段、截长补短）。 2.三角形内心的面积推论的推导与应用，能灵活将三角形面积拆分为三个小三角形面积和进行计算。 3.角平分线的动态探究题和多结论探究题，能分析运动过程中的不变量，严谨判断并证明结论。 4.截长补短法在角平分线证明题中的应用，能根据线段和差结论选择合适的方法构造全等三角形。 5.跨学科融合题的转化，能将物理、生活中的实际问题转化为纯几何问题，利用角平分线的知识求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 2．如图，的周长是20，分别平分和于点，且3，则的面积是（   ） A．30 B．25 C．60 D．40 【答案】A 【分析】过点O作于E，于F，连接，得出，根据求出结论即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于E，于F，连接， 分别平分和，， ， 的周长是20， ， ． 3．如图，是中的平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先作辅助线，根据角平分线性质得到；计算的面积，用的总面积减去该面积得到的面积；最后根据三角形面积公式列方程求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴． 4．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 二、填空题 5．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M 和点N ，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是______． 【答案】3 【分析】过作交于，先由勾股定理求解，再由角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：过作交于， ∵， ∴， 由作图得平分， ， ∴点D到直线的距离是． 6．如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 【答案】3 【分析】利用翻折和三角形内角和定理可得，，则可得，，利用勾股定理求出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．在四边形中，平分，若，则对角线的长度为___________． 【答案】 【分析】过作交的延长线于，交的延长线于，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于，连接， ∵, ∴, ∴, ∵,平分， ∴, ∴， ∴， 在和 ∴, ∴,, ∵,, ∴, 在和 ∴, ∴, 在中，, ∴ , ． 8．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点，作于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质推出，从而得到；利用角平分线的性质定理得出点到的距离等于；最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：平分 如图，过点作于点 平分，， ． 三、解答题 9．如图，在中，，的平分线交于点，过点作，若，，求的长度． 【答案】12 【分析】根据角平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，已知，点分别在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到点的距离相等，且点到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】如图：先用尺规作的角平分线，连接，作的垂直平分线，其与角平分线的交点即为所求的点P． 【详解】解：如图：点P即为所求． 11．如图，在中，平分，平分，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求证：所在的直线垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解； （2）过点O作，垂足分别为点D，E，F，根据角平分线的性质定理可得，再由角平分线的判定定理，可得平分，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点O作，垂足分别为点D，E，F， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴为边的高线，也是边的中线， 即所在的直线垂直平分． 12．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)求的长． (2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． (3)当点在的垂直平分线上时，求的长． (4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）表示出，，然后根据题意得到，列方程求解即可； （3）由垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）分2种情况讨论，分别根据勾股定理和等面积法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，点E的运动速度为每秒， ∴点E到达点A的时间为（秒） ∴当点在边上运动时，， ∴ ∵ ∴当为等腰三角形时， ∴ ∴； （3）解：如图，当点在的垂直平分线上时， ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴点E运动的路程为 ∴； （4）解：如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点H，过点E作于点G， ∴ ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 综上所述，当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值为2或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $