专题1.4 线段的垂直平分线（4大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题1.4 线段的垂直平分线 知识点1：线段垂直平分线的性质定理 类别 具体内容 图示 核心内容 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 符号语言 若直线于点，且(是的垂直平分线)，点在上，则 关键要点 1.无需通过全等三角形，可直接证明两条线段相等； 2.垂直平分线上的任意一点均满足到线段两端点距离相等； 3.适用于求线段长度、角度等问题 知识点2：线段垂直平分线的判定定理 类别 具体内容 图示 核心内容 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 若，则点在线段的垂直平分线上 关键要点 1.需证明直线上至少两个点到线段两端点距离相等（两点确定一条直线），才能判定该直线是线段的垂直平分线； 2.可用于证明直线垂直且平分某条线段； 3.是性质定理的逆定理，二者可双向应用 知识点3：线段垂直平分线的尺规作图 作图步骤 作图依据 图示 以线段的两个端点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点； 作直线，则直线即为线段的垂直平分线。 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(两点确定一条直线) 知识点4：三角形三边垂直平分线的性质 1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心； 2.外心到三角形三个顶点的距离相等； 3.外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 【基础必考题型】 【题型1】利用垂直平分线性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)； 三角形周长的计算。 2.解题方法技巧 转化线段：将垂直平分线上的点与线段两端点连接，得到相等线段(如)； 简化计算：利用相等线段将三角形周长转化为已知线段之和(如的周长)。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴． 故选：C． 【变式题1-1】.（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______．    【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质；由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：垂直平分， 根据线段垂直平分线的性质可得，， 又的周长， 的周长． 故答案为：． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    【答案】4 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论，重点把握线段垂直平分线即可得到等腰三角形． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 【题型2】利用垂直平分线性质求角度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理； 等腰三角形的性质(等边对等角)； 三角形内角和定理()。 2.解题方法技巧 找等腰三角形：由垂直平分线性质得相等线段，构造等腰三角形； 角度推导：利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和，逐步推导目标角度。 【例题2】.（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题2-1】.（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， ， ， ， ； （2）解：是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出是正确解答本题的关键． 由是的垂直平分线得，从而得到，结合与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 【详解】解∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【题型3】线段垂直平分线的尺规作图与识别 1.核心知识点 线段垂直平分线的尺规作图步骤； 作图痕迹的识别(弧的交点、垂直关系)。 2.解题方法技巧 作图关键：牢记“大于为半径”，否则两弧无法相交； 痕迹识别：两弧交点的连线即为垂直平分线，可通过弧的半径关系验证。 【例题3】.（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）在中，按如图方式作图得点D，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴，， ∴，，故B，C，D正确； 根据题意无法得到，故A错误． 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，则________． 【答案】(1)作图见详解 (2)4 【分析】本题考查了作图-线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等边三角形的判定与性质． （1）分别以点A，C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，连接两点，此时与交点E，与交点D，垂直平分线即为所求； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，则，利用三角形外角的性质得到，从而证得是等边三角形，进而得到结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：4． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)我们把有一个内角为的三角形叫做“幸运三角形”．在（1）的条件下，若，判断是否为“幸运三角形”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是“幸运三角形”，见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，即可解答； （2）求得，即可推出，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，点D就是所要求作的点 （2）解：是“幸运三角形”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， 是“幸运三角形” 【题型4】线段垂直平分线的判定 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理； 全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 证明距离相等：通过全等、等腰等条件证明直线上两点到线段两端点距离相等； 判定直线：根据两点确定一条直线，得出该直线是线段的垂直平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在中； (1)求作的边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质与判定定理，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵线段和线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D是延长线上一点，E是的垂直平分线与的交点，交于点F．求证：点E在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质及判定，平行线的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，根据等角对等边得，根据线段的垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质． 【培优高频题型】 【题型5】垂直平分线与等腰三角形综合 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定； 等腰三角形的性质与判定； 三角形外角性质。 2.解题方法技巧 双向转化：由垂直平分线得相等线段，进而构造等腰三角形；或由等腰三角形得相等线段，判定垂直平分线； 角度关联：利用等腰三角形的底角相等和外角性质，推导角度关系。 【例题5】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质，得，结合题意证为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一，即可求证； （2）根据，，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 点为的中点． （2）解：，的周长为， ， ，， ， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其外角性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 即的周长为． 【题型6】垂直平分线与几何图形面积综合 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 三角形、四边形的面积公式。 2.解题方法技巧 面积转化：利用垂直平分线的对称性，将不规则图形面积转化为规则图形面积； 线段关联：通过垂直平分线得到相等线段，求解底、高，进而计算面积。 【例题6】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据边的垂直平分线交于，得出，设，则，因为，所以，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于， ∴， 设， ∵ 则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的面积是， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在中，，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)求证：是直角三角形； (2)若的面积是15，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的证明，所对的直角边是斜边的一半等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再根据垂直平分线的性质，可证，从而，进而可证，即证； （2）根据“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”，可得，从而，进而，，代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， 是直角三角形． （2）解：在中，， ． ， ，即， ， 又， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在边长为的正方形中，点E、F分别在边上，，连接． (1)求证：垂直平分； (2)用含a、b的代数式表示的面积（结果化简）； (3)若，求代数式的值和的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，的面积为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，完全平方公式的变形求值，列代数式，熟知完全平方公式和线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． （1）可证明，得到，再证明即可证明结论； （2）根据列式求解即可； （3）根据，可求出和的值，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上； ∵， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：由题意得， ∴ ； （3）解：当时， ， ， ∵， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型7】垂直平分线的最值问题(将军饮马模型) 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 两点之间线段最短的公理。 2.解题方法技巧 对称转化：利用垂直平分线作对称点(如作点关于直线的对称点)； 最短路径：连接对称点与目标点，与直线的交点即为所求，线段长度即为最短距离。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】6 【分析】根据“将军饮马问题”将转化为求解即可． 【详解】解：∵，是中线， ∴，， 连接， ， ∴， ∴， 当C、P、E三点共线时，最小，最小值为. 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点，在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小，且最小周长为________； (3)在这个网格中，到点和点的距离相等的格点有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理． （1）根据要求作图即可； （2）连接交与M即可，根据勾股定理求出各边长，进而计算周长即可； （3）作线段的垂直平分线，进而判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴当最小时，四边形的周长最小， 由轴对称的性质可知， 即， 即当点在上时，即四边形的周长最小， 最小值为． 故答案为：． （3）解：如图，可知到点和点的距离相等的格点有5个． 故答案为：5． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图1，已知直线l上方有A，B两个定点，在直线l上找一个点C，使得最小．小军同学给出以下解答：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，此时最小．证明过程如图3，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线， ，________，________． 在中，，，即最小． 请你补全上面的解答过程． 【问题探究】 （2）如图4，在中，已知，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一个动点，连接、，求的周长的最小值． 【问题解决】 （3）关中平原是我国重要的粮食产区，某乡村推进高标准农田建设，规划了如图5所示的直角三角形农田区域：在中，，，、是两条田间主干道，是农田的边界，千米．D是农田灌溉出水口，点D在上，且，的角平分线是农田灌溉的分界线，现需在主干道上设置一个蓄水池F，在灌溉分界线上安装一个控水阀G，需沿、铺设两条管道，实现灌溉供水．请你计算铺设管道总长度（即）的最小值． 【答案】（1）；；（2）；（3）千米 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，，根据即可证明结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，根据，得到当P、A、B三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，据此可得答案； （3）如图所示，在上截取，过点D作于点H，连接，证明，得到，则可推出当D、G、M三点共线，且点M与点H重合时，有最小值，最小值为的长；求出的长，进而求出的长，最后求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线， ，， ． 在中，， ，即最小． （2）如图4所示，连接， ∵直线l是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当P、A、B三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴的周长的最小值为； （3）如图所示，在上截取，过点D作于点H，连接， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴当D、G、M三点共线，且点M与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 在中，，，千米， ∴千米， ∵， ∴千米， ∴千米， ∴千米， ∴的最小值为千米， 答：铺设管道总长度（即）的最小值为千米． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)，， (2)两点之间，线段最短 (3) (4) 【分析】本题考查轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，等边三角形的性质与判定，垂线段最短． （1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，即可求解； （2）根据两点之间，线段最短即可求解； （3）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （4）如图，连接，根据轴对称的性质结合题意，进而得出是等边三角形，则，根据垂线段最短，可知当时，取得最小值，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， （2）解：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：如图，直线与交于点， 直线垂直平分， 、关于直线对称， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是． 故答案为：； （4）解：如图，连接， ∵点关于直线，的对称点分别是，， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 又∵，， ∴的最小值为 ∴ 最小值为 故答案为：． 【题型8】垂直平分线的综合题 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定； 几何图形的构造与推理。 2.解题方法技巧 条件探究：根据结论反向推导所需条件(如“添加什么条件，使直线是的垂直平分线”)； 结论探究：给定条件，探究线段、角度的数量关系或位置关系，需结合垂直平分线定理和几何性质严谨推理。 【例题8】.（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）垂直平分线段；证明见解析；（2）12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，再证，即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可． 【详解】解：（1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知． (1)请直接写出点A的坐标： ；点B的坐标： ；判定是 三角形； (2)如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F． ①求证：； ②求F点的坐标； (3)将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：． 【答案】(1)，，等腰 (2)①证明见解析 ② (3)证明见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了坐标与图形，非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得m，n的值，即可得出A，B的坐标，进而求得，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角即可得解； （2）①证明，得出，可得结论；②由①的结论可得； （3）过点P作交于点N，证明，得出，根据，，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：，，等腰． （2）解：①证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴． （3）证明：如图②，过点P作交于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①见解析；②，见解析； (2)． 【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； （2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，． ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 易错点 1.判定垂直平分线时，仅证明一个点到线段两端点距离相等，就判定该点所在直线是垂直平分线； 2.尺规作图时，半径小于或等于，导致两弧无法相交； 3.忽略三角形外心的位置差异，误将钝角三角形的外心当作在内部； 4.利用垂直平分线性质时，未确认点在垂直平分线上，直接得出线段相等。 重点 1.熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，能直接应用定理证明线段相等、直线垂直平分线段； 2.掌握三角形三边垂直平分线的性质，能找到外心并应用其性质解决问题； 3.会用尺规作线段的垂直平分线，并理解作图依据； 4.能解决垂直平分线与等腰三角形、面积、跨学科情境的综合问题。 难点 1.垂直平分线与最值问题的结合（将军饮马模型），需掌握对称转化的思想； 2.含参数的综合题，需灵活运用方程思想和分类讨论思想； 3.开放探究题的推理与验证，需结合定理和图形性质严谨推导； 4.跨学科情境的建模，能从实际问题中提取几何关系，应用垂直平分线知识解决。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（    ） A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边垂直平分线的交点处 D．三边高线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，到三地距离相等的点在三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵货物中转仓到三地的距离相等， ∴货物中转仓的位置应选在的三边垂直平分线的交点处， 故选：C ． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长的周长． 3．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 4．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，根据，则点在的垂直平分线上，作图即可求解． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，与方格纸交于5个格点， 故满足条件的点C有5个， 故选：C． 5．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，所以，然后通过直角三角形性质可得，最后由三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 6．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．若的周长为20，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得，根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，D是线段，的垂直平分线的交点．若，，则的大小是__________． 【答案】/度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质，得，再根据等腰三角形的性质，易求，，从而可求，最后再根据等腰三角形的性质，计算即可求解． 【详解】解：D是线段，的垂直平分线的交点， ，， 则， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，再进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 9．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 10．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，平分，三线合一，得到垂直平分，连接，则：，，得到当三点共线时，的值最小，再根据垂线段最短，得到当时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴垂直平分， 连接，则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵N是线段上的动点， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质与方程、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、一次函数解析式的求解以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，作即可； （2）取格点，作直线，则直线即为线段的垂直平分线，从而得它与轴的交点坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，再求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， 由图可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与轴的交点为； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得 ， 解得，， 所以直线的解析式为， 令，， 解得， ∴的坐标为． 12．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用． （1）先根据线段的垂直平分线的性质证明，再证明，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； （2）解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 13．某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设施，使它到三个展馆A，B，C的距离相等． (1)若三个展馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定公共服务设施（用点P表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段垂直平分线上；线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角． （1）连接，分别作边和的垂直平分线，两直线交于点P，由线段垂直平分线的性质可得点P即为所求； （2）连接．由（1）可知，推出，得到，进而求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，分别作边和的垂直平分线，两直线交于点P，则点P即为所求． （2）解：如图，连接． 由（1）可知， ， ． 又， ， ， ． 14．如图，已知长方形是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O，交边于点E，交边于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的画法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的画法即可求解； （2）证明，得，结合线段垂直平分线的性质可得，即得四边形的周长． 【详解】（1）解：如图，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于G、H两点， 作直线交于点E，交于点F． （2）解：∵在长方形中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴四边形的周长为． 15．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段的垂直平分线 知识点1：线段垂直平分线的性质定理 类别 具体内容 图示 核心内容 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 符号语言 若直线于点，且(是的垂直平分线)，点在上，则 关键要点 1.无需通过全等三角形，可直接证明两条线段相等； 2.垂直平分线上的任意一点均满足到线段两端点距离相等； 3.适用于求线段长度、角度等问题 知识点2：线段垂直平分线的判定定理 类别 具体内容 图示 核心内容 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 若，则点在线段的垂直平分线上 关键要点 1.需证明直线上至少两个点到线段两端点距离相等（两点确定一条直线），才能判定该直线是线段的垂直平分线； 2.可用于证明直线垂直且平分某条线段； 3.是性质定理的逆定理，二者可双向应用 知识点3：线段垂直平分线的尺规作图 作图步骤 作图依据 图示 以线段的两个端点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点； 作直线，则直线即为线段的垂直平分线。 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(两点确定一条直线) 知识点4：三角形三边垂直平分线的性质 1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心； 2.外心到三角形三个顶点的距离相等； 3.外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 【基础必考题型】 【题型1】利用垂直平分线性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)； 三角形周长的计算。 2.解题方法技巧 转化线段：将垂直平分线上的点与线段两端点连接，得到相等线段(如)； 简化计算：利用相等线段将三角形周长转化为已知线段之和(如的周长)。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题1-1】.（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______．    【变式题1-2】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【变式题1-3】.（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    【题型2】利用垂直平分线性质求角度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理； 等腰三角形的性质(等边对等角)； 三角形内角和定理()。 2.解题方法技巧 找等腰三角形：由垂直平分线性质得相等线段，构造等腰三角形； 角度推导：利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和，逐步推导目标角度。 【例题2】.（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【题型3】线段垂直平分线的尺规作图与识别 1.核心知识点 线段垂直平分线的尺规作图步骤； 作图痕迹的识别(弧的交点、垂直关系)。 2.解题方法技巧 作图关键：牢记“大于为半径”，否则两弧无法相交； 痕迹识别：两弧交点的连线即为垂直平分线，可通过弧的半径关系验证。 【例题3】.（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）在中，按如图方式作图得点D，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，则________． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)我们把有一个内角为的三角形叫做“幸运三角形”．在（1）的条件下，若，判断是否为“幸运三角形”，并说明理由． 【题型4】线段垂直平分线的判定 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理； 全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 证明距离相等：通过全等、等腰等条件证明直线上两点到线段两端点距离相等； 判定直线：根据两点确定一条直线，得出该直线是线段的垂直平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在中； (1)求作的边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点在的垂直平分线上． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D是延长线上一点，E是的垂直平分线与的交点，交于点F．求证：点E在的垂直平分线上． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【培优高频题型】 【题型5】垂直平分线与等腰三角形综合 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定； 等腰三角形的性质与判定； 三角形外角性质。 2.解题方法技巧 双向转化：由垂直平分线得相等线段，进而构造等腰三角形；或由等腰三角形得相等线段，判定垂直平分线； 角度关联：利用等腰三角形的底角相等和外角性质，推导角度关系。 【例题5】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； 【变式题5-3】.（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【题型6】垂直平分线与几何图形面积综合 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 三角形、四边形的面积公式。 2.解题方法技巧 面积转化：利用垂直平分线的对称性，将不规则图形面积转化为规则图形面积； 线段关联：通过垂直平分线得到相等线段，求解底、高，进而计算面积。 【例题6】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在中，，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)求证：是直角三角形； (2)若的面积是15，求的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在边长为的正方形中，点E、F分别在边上，，连接． (1)求证：垂直平分； (2)用含a、b的代数式表示的面积（结果化简）； (3)若，求代数式的值和的面积． 【压轴素养题型】 【题型7】垂直平分线的最值问题(将军饮马模型) 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 两点之间线段最短的公理。 2.解题方法技巧 对称转化：利用垂直平分线作对称点(如作点关于直线的对称点)； 最短路径：连接对称点与目标点，与直线的交点即为所求，线段长度即为最短距离。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，连接、，则的最小值是______． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点，在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小，且最小周长为________； (3)在这个网格中，到点和点的距离相等的格点有________个． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图1，已知直线l上方有A，B两个定点，在直线l上找一个点C，使得最小．小军同学给出以下解答：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，此时最小．证明过程如图3，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线， ，________，________． 在中，，，即最小． 请你补全上面的解答过程． 【问题探究】 （2）如图4，在中，已知，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一个动点，连接、，求的周长的最小值． 【问题解决】 （3）关中平原是我国重要的粮食产区，某乡村推进高标准农田建设，规划了如图5所示的直角三角形农田区域：在中，，，、是两条田间主干道，是农田的边界，千米．D是农田灌溉出水口，点D在上，且，的角平分线是农田灌溉的分界线，现需在主干道上设置一个蓄水池F，在灌溉分界线上安装一个控水阀G，需沿、铺设两条管道，实现灌溉供水．请你计算铺设管道总长度（即）的最小值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 【题型8】垂直平分线的综合题 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定； 几何图形的构造与推理。 2.解题方法技巧 条件探究：根据结论反向推导所需条件(如“添加什么条件，使直线是的垂直平分线”)； 结论探究：给定条件，探究线段、角度的数量关系或位置关系，需结合垂直平分线定理和几何性质严谨推理。 【例题8】.（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知． (1)请直接写出点A的坐标： ；点B的坐标： ；判定是 三角形； (2)如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F． ①求证：； ②求F点的坐标； (3)将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 易错点 1.判定垂直平分线时，仅证明一个点到线段两端点距离相等，就判定该点所在直线是垂直平分线； 2.尺规作图时，半径小于或等于，导致两弧无法相交； 3.忽略三角形外心的位置差异，误将钝角三角形的外心当作在内部； 4.利用垂直平分线性质时，未确认点在垂直平分线上，直接得出线段相等。 重点 1.熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，能直接应用定理证明线段相等、直线垂直平分线段； 2.掌握三角形三边垂直平分线的性质，能找到外心并应用其性质解决问题； 3.会用尺规作线段的垂直平分线，并理解作图依据； 4.能解决垂直平分线与等腰三角形、面积、跨学科情境的综合问题。 难点 1.垂直平分线与最值问题的结合（将军饮马模型），需掌握对称转化的思想； 2.含参数的综合题，需灵活运用方程思想和分类讨论思想； 3.开放探究题的推理与验证，需结合定理和图形性质严谨推导； 4.跨学科情境的建模，能从实际问题中提取几何关系，应用垂直平分线知识解决。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（    ） A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边垂直平分线的交点处 D．三边高线的交点处 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 4．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．若的周长为20，，则的长为______． 7．如图，D是线段，的垂直平分线的交点．若，，则的大小是__________． 8．如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 9．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 10．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 12．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 13．某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设施，使它到三个展馆A，B，C的距离相等． (1)若三个展馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定公共服务设施（用点P表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 14．如图，已知长方形是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O，交边于点E，交边于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求四边形的周长． 15．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $