专题2.4 一元一次不等式组（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题2.4 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2.构成条件（三要素）： 每个不等式都是一元一次不等式； 不等式组中只含一个未知数； 包含两个或两个以上的一元一次不等式。 3.连写型不等式可转化为不等式组，如等价于。 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；若没有公共部分，则称该不等式组无解。 2.解集的四种基本类型（设），结合数轴与口诀总结如下表： 不等式组形式 数轴表示 解集 核心口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 3.解集的表示：含等号时数轴上画实心点，不含等号时画空心圈，方向遵循“大于向右，小于向左”。 知识点3：一元一次不等式组的解法 1.基本步骤： 解：分别求出不等式组中每个不等式的解集； 标：在同一数轴上标出每个不等式的解集； 找：找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集； 写：规范写出不等式组的解集（无解需明确说明）。 2.特殊解求解：先求不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解（如整数解、非负整数解、正整数解等）。 知识点4：含参一元一次不等式组的核心考点 含参含义：不等式组中除未知数 外，含其他未知字母（如、、），需根据解集的条件求字母的取值/取值范围。 2.核心类型： 根据解集求参数：结合解集口诀，建立关于参数的方程/不等式； 根据有解/无解求参数：利用“公共部分”的存在性，确定参数的边界； 根据整数解的个数求参数：结合数轴确定整数解的范围，进而锁定参数的取值区间。 知识点5：一元一次不等式组的实际应用 1.核心思想：数学建模，将实际问题中的不等关系转化为一元一次不等式组求解。 2.解题六步骤： 审：审题，找出题目中的所有不等关系（关键词：不少于、不超过、不足、多于等）； 设：设合适的未知数（注意单位，一般设所求量）； 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； 解：解不等式组，求出解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如数量为非负整数、正整数）； 答：根据检验结果，写出实际问题的答案（方案题需列出所有可行方案）。 【基础必考题型】 【题型1】判断一元一次不等式组的定义 1.核心知识点 一元一次不等式组的三要素；一元一次不等式的定义。 2.解题方法技巧 ①逐一验证：判断每个不等式是否为一元一次不等式（整式、未知数次数为1、系数不为0）； ②锁定未知数：确认不等式组中是否只含一个未知数； ③数个数：检查不等式个数是否≥2； ④排除法：排除含多个未知数、未知数次数不为1、含分式的选项。 【例题1】.（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-1】.（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【题型2】求普通一元一次不等式组的解集 1.核心知识点 一元一次不等式的解法；不等式组解集的四种基本类型；数轴的使用。 2.解题方法技巧 ①分步解不等式：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”解每个不等式，注意系数为负时不等号方向改变； ②数轴标解集：在同一数轴上标出所有解集，标清实心/空心圈和方向； ③口诀定解集：根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”直接确定解集。 【例题2】.（2026·甘肃平凉·一模）计算：解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解为． 【变式题2-1】.（2026·甘肃武威·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 【变式题2-2】.（2026九年级下·北京·专题练习）解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）解不等式组： (1)，并把解集表示在数轴上． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解不等式①和②，再求公共解，然后把解集在数轴上表示即可； （2）分别解不等式①和②，再求公共解即可． 【详解】（1）解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集是． （2）解：， 由①得， 解得， 由②得， ， 解得， 所以不等式组的解集是． 【题型3】求一元一次不等式组的特殊解 1.核心知识点 不等式组的解法；特殊解的定义；数轴的直观性应用。 2.解题方法技巧 ①先求解集：按常规步骤求出不等式组的完整解集； ②数轴标范围：在数轴上标出解集区间，清晰显示边界点； ③找特殊解：在解集区间内，逐一找出符合要求的特殊解（如整数解），注意边界点是否包含； ④验结果：将找到的特殊解代入原不等式组，验证是否成立。 【例题3】.（2026七年级下·上海·专题练习）解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为：，整数解为，，0，1，2，3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 分别解两个不等式，即可求得解集，进而求出整数解，即可求解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为：． 则不等式组的整数解为，，0，1，2，3． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）解不等式组 (1)并写出正整数解 (2) 【答案】(1)，不等式组的正整数解为、、； (2) 【详解】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的正整数解为、、； （2）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·北京·期中）求不等式组的正整数解． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，即可求出不等式组的正整数解． 【详解】, 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为；； 故不等式组的正整数解为． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·重庆·月考）求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 【培优高频题型】 【题型4】根据不等式组的解集求参数的值/取值范围 1.核心知识点 含参不等式组的解法；解集口诀的逆用；数轴的边界分析。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：将参数当作已知数，解出每个不等式的解集（解集含参数）； ②结合已知解集：根据题干给出的解集，对照解集口诀，确定参数的边界关系； ③验证等号：重点检验边界点的等号是否成立（代入原不等式组，看解集是否符合要求）； ④写取值范围：根据验证结果，规范写出参数的取值/取值范围。 【例题4】.（25-26八年级下·四川达州·月考）已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【答案】1 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到含a，b的解集，结合已知解集求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据一元一次不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得：， 化简得：， 又∵不等式组的解集为：， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 【变式题4-3】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 【题型5】根据不等式组的有解/无解情况求参数的取值范围 1.核心知识点 不等式组解集的公共部分；数轴的空心/实心点分析；参数的边界确定。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：解出每个不等式的解集，用参数表示； ②数轴分析公共部分： 有解：解集的公共部分存在，结合数轴确定参数的上限/下限； 无解：解集的公共部分不存在，即“大大小小”，建立关于参数的不等式； ③验证边界等号：关键检验等号成立时，不等式组是否有解/无解，确定等号是否保留。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 【变式题5-3】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 【题型6】根据不等式组的整数解个数求参数的取值范围 1.核心知识点 含参不等式组的解法；数轴的精细分析；整数解的边界锁定；参数的区间确定。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：解出每个不等式的解集，用参数表示，确定解集的分界点； ②数轴标整数解：根据题干给出的整数解个数，在数轴上标出对应的整数解，锁定解集的左右边界； ③建立参数不等式：结合数轴，将解集的边界转化为关于参数的不等式，注意空心/实心点对应不等号是否含等号； ④双重验证：分别验证参数区间的左右端点，确保整数解的个数符合题干要求，排除不符合的情况。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，即可得到，然后求出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组的整数解有5个， 所以不等式组的解集为． 这个整数解为，，，，． ∴的取值范围是． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是：正确解出不等式组的解集；根据整数解的个数，分析确定参数 的边界条件． 【题型7】一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用 1.核心知识点 二元一次方程组的解法（消元法）；不等式组的解法；方程组的解与不等式组的结合。 2.解题方法技巧 ①解方程组：用参数表示方程组的解（将方程组中的参数当作已知数，解出、含参数的表达式）； ②列不等式组：根据题干中、的取值条件（如、），将含参数的、代入，列出关于参数的不等式组； ③解不等式组：求出参数的取值范围，若要求整数解，再筛选出符合条件的整数参数。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 【答案】0和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法以及非负整数解的确定知识点，掌握通过方程组变形得到目标表达式，再代入不等式求解的方法是解题的关键． 先将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，再代入已知不等式，解出的取值范围，最后确定其中的非负整数解． 【详解】解： ①+②，得． ， ， 解得， 的所有非负整数解为和． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键． （1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可； （2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组，得 ∵点在第一象限， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知方程组的解为， 代入，得， 解得． 【变式题7-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】列一元一次不等式组解实际问题 1.核心知识点 一元一次不等式组的实际应用；不等关系的文字转化；实际意义的检验。 2.解题方法技巧 ①抓关键词：从题干中找出表示不等关系的词，转化为数学符号（不少于→、不超过→、不足→、多于→）； ②列不等式组：根据所有不等关系，列出对应的不等式组，确保不遗漏； ③解后检验：求出解集后，根据实际问题的要求（如人数、物品数为正整数）筛选解； ④规范作答：直接写出符合题意的结果，无需额外拓展。 【例题8】.（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【变式题8-1】.（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【变式题8-2】.（2026·湖北黄石·一模）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为_____． 【答案】(1)每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元 (2)购进“神舟”模型50个，“天宫”模型150个时，可获得最大利润，最大利润为9000元 (3)30 【分析】（1）设出两种模型的进价，再根据题意建立方程组求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量分别求出两种模型的利润，二者求和即可表示出w，再根据题意求出x的取值范围，进而利用一次函数的性质求解即可； （3）同理求出w关于x的函数关系式，结合（2）求出x的取值范围，结合最大利润为10800求解即可． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为m元，每个“天宫”模型的进价为n元． 由题意得，， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元， ∴， 解得， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：购进“神舟”模型50个，“天宫”模型150个时，可获得最大利润，最大利润为9000元； （3）解：由题意得， ， 由（2）和（3）可得， 当时，，不符合题意； 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【题型9】列一元一次不等式组解方案设计问题 1.核心知识点 不等式组的实际应用；方案的可行性分析；一次函数的最值（辅助）。 2.解题方法技巧 ①设未知数：设出表示方案的未知数（如购买件、租辆车），明确未知数的实际取值范围； ②列不等式组：根据题干中的所有限制条件（如资金不超过、数量不少于），列出不等式组； ③求可行解：解不等式组，找出所有符合实际意义的整数解，每个整数解对应一个可行方案； ④选最优方案：若要求“最省钱”“利润最大”，可建立一次函数，根据函数增减性确定最优方案。 【例题9】.（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【答案】(1)甲商品每件17元，乙商品每件12元 (2)①最多可采购甲商品20件；②方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件，方案三：甲商品18件，乙商品12件，方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【分析】（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①设采购甲商品m件，根据题意可以列出相应的不等式，进一步可得答案，②结合①与购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设甲商品每件x元，乙商品每件y元， ， 解得，， 即甲商品每件17元，乙商品每件12元； （2）解：①设采购甲商品m件， ， 解得，， 即最多可采购甲商品20件； ②由题意可得， ， 解得，， ∴购买方案有四种， 方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件， 方案三：甲商品18件，乙商品12件， 方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【变式题9-1】.（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 (2) 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【分析】（）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 先根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用关于的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m为正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·湖北荆州·月考）综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计 一、问题的背景 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买两种型号的新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题． 二、材料与任务 材料一：单价信息 社区志愿者调查发现： 1．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元； 2．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：采购约束 社区需满足以下采购的要求： 1．两种型号的新型垃圾桶共采购个； 2．采购总费用不超过元； 3．型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务． (1)任务一：计算两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)任务二：提供有多少种购买的方案； (3)任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用． 【答案】(1)型号新型垃圾桶单价为元，型号新型垃圾桶单价为元； (2)共有种购买方案； (3)最省钱的方案为购买型号垃圾桶个，型号垃圾桶个，最低费用为元． 【分析】（1）先设两种型号的新型垃圾桶的单价分别为元和元，再根据材料一列出二元一次方程组求解即可； （2）先设两种型号的新型垃圾桶分别采购个和个，再根据材料二列出一元一次不等式组求解即可； （3）根据材料设购买两种型号的新型垃圾桶总费用为，据题意得，根据一次函数的性质结合（2）中的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设两种型号的新型垃圾桶的单价分别为元和元， 据材料一得：， 将得：， 解得：， 将代入①中，得， 解得：， ∴， 答：型号新型垃圾桶单价为元，型号新型垃圾桶单价为元； （2）解：设两种型号的新型垃圾桶分别采购个和个， 据材料二得： 由①解得：， 由②解得：， 综上，， ∴， 答：可提供种购买的方案； （3）解：设购买两种型号的新型垃圾桶总费用为， 据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∵ ∴当，有最小值，， ∴型号垃圾桶：(个)， 答：最省钱的方案为购买型号垃圾桶个，型号垃圾桶个，最低费用为元． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材二：型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；型机器人每台每天可分拣快递1.2万件．公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求、两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； (2)购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：，解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）解：设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， 又，解得：， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值320（万元）， 购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 【题型10】一元一次不等式组的新定义问题 1.核心知识点 新定义的理解与转化；不等式组的解法；数形结合思想。 2.解题方法技巧 ①悟新定义：紧扣题干中的新定义（如“解集中点值”“关联解”“表示不大于的最大整数”），将其转化为数学语言； ②联旧知识：将新定义与不等式组的解集、整数解、参数取值范围等核心知识结合，建立数学关系； ③分类讨论：根据新定义的条件，对自变量或参数进行分类讨论，转化为常规的不等式组问题； ④验结果：将求解结果代入新定义中，验证是否符合题意，排除不符合的解。 【例题10】.（24-25七年级下·湖南湘西·月考）对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题；若，且解集中恰有两个整数解，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据不等式组的解集求参数；根据定义可知：，利用不等式可求解出，由于有两个整数解，所以，求出该不等式的解集即可知道的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 该不等式的解集有两个整数解， 该整数解为或， ， ． 故答案为：． 【变式题10-1】.（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是正确列出不等式组． 根据新定义运算，先列出不等式组，再求解． 【详解】解：由， 得， 解得， 由， 得， 解得， ∴原不等式组的解集为． 故选：A． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为 ， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新的“坐标变换规则”列出方程组，即可求解； （2）根据新的“坐标变换规则”，可得，然后根据“非和谐点”的定义，即可求解； （3）根据新的“坐标变换规则”，可得，再由“和谐点”的定义，可得，然后结合点在第二象限，，可得，从而得到关于y的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 和， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴， 当是关于的“非和谐点”时，， 当是关于的“非和谐点”时，， ∵点和中至少有一个是关于的“非和谐点”， ∴的取值范围为； （3）解：由题意可得，， ∵是关于的“和谐点”， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 易错点 1.判断一元一次不等式组时，忽略三要素，误将含多个未知数、未知数次数不为1、含分式的不等式组判定为一元一次不等式组； 2.解不等式时，系数化为1步骤中，忽略系数为负数，未改变不等号方向，导致单个不等式解集错误； 3.数轴标解集时，混淆实心点和空心圈（含等号画空心圈、不含等号画实心点），或方向标反（大于向左、小于向右）； 4.解含参不等式组时，未验证边界点的等号，导致参数的取值范围多取/漏取等号； 5.根据整数解个数求参数时，未结合数轴精细分析，漏标整数解或错误锁定解集边界，导致参数取值范围错误； 6.实际应用中，遗漏不等关系或错误转化关键词（如将“不足”转化为），或解后未检验实际意义（如数量为负数、小数）； 7.处理程序框图与不等式组的综合题时，错误理解停止条件，导致不等式组列写颠倒（前几次满足条件，最后一次不满足）。 重点 1.掌握一元一次不等式组的定义，能准确判断一个不等式组是否为一元一次不等式组； 2.熟练掌握不等式组解集的四种基本类型，能结合数轴和口诀快速求普通不等式组的解集； 3.掌握不等式组的解法步骤，能准确求解不等式组，并找出其整数解、非负整数解等特殊解； 4.能根据不等式组的解集、有解/无解、整数解个数，求参数的值或取值范围，核心掌握解集口诀的逆用和数轴分析； 5.能从实际问题中提取不等关系，建立一元一次不等式组模型，求解并检验，能解决分配、计数、方案设计等基础实际问题； 6.掌握一元一次不等式组与二元一次方程组的综合解法，能将方程组的解代入不等关系，列出含参不等式组求解。 难点 1.含参一元一次不等式组的求解，尤其是根据整数解的个数求参数的取值范围，需结合数轴精细分析边界点和等号的取舍； 2.绝对值不等式、连写型不等式转化为不等式组的求解，难点在于零点分段和去绝对值符号后的分类讨论； 3.一元一次不等式组的新定义问题，难点在于将抽象的新定义转化为具体的数学语言，并结合不等式组的核心知识求解； 4.程序框图与不等式组的综合应用，难点在于准确理解程序的运算逻辑和停止条件，并列出正确的不等式组； 5.一元一次不等式组的方案设计实际问题，难点在于不遗漏所有限制条件，准确列出不等式组，并结合一次函数求最优方案； 6.跨学科/情境化的实际应用，难点在于从复杂的背景中提取有效信息，将跨学科的限制条件转化为数学不等关系，完成数学建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 3．不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 4．若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限中点的坐标特征得到，解这个不等式组得到，在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， ∴的取值范围在数轴上表示如下： 二、填空题 5．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定a的取值范围，在这个范围任取一个数即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴得， 取满足题意． 6．若不等式组的解集为，则横线处可以是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解出已知不等式的解集为．根据“同小取小”的原则，横线处的不等式需要满足：它的解集包含，即其本身的解集是（且），或者是恒成立的不等式． 【详解】解：①先解已知不等式： ． ②要使不等式组的解集为，横线处的不等式需要满足“同小取小”的规则，即： 若横线处为，此时不等式组的解集为，符合要求； 也可以是其他满足条件的不等式，如，解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集规则，解题关键是理解“同小取小”的原则，即当两个不等式的解集都是小于号时，取较小的那个作为不等式组的解集． 7．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 8．不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】解不等式即可得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵使不等式成立， ∴， 则． 三、解答题 9．解不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项并系数化为1的步骤求解一元一次不等式即可； （2）分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：不等式为， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 故不等式的解集为； （2）解：不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，，解得， 故不等式组的解集为． 10．已知关于的不等式组 (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 当时， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是； 在数轴上表示如下： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组只有3个整数解， ∴该不等式组的3个整数解为2,1,0 ∴， 即． 11．请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 12．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 13．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2.构成条件（三要素）： 每个不等式都是一元一次不等式； 不等式组中只含一个未知数； 包含两个或两个以上的一元一次不等式。 3.连写型不等式可转化为不等式组，如等价于。 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；若没有公共部分，则称该不等式组无解。 2.解集的四种基本类型（设），结合数轴与口诀总结如下表： 不等式组形式 数轴表示 解集 核心口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 3.解集的表示：含等号时数轴上画实心点，不含等号时画空心圈，方向遵循“大于向右，小于向左”。 知识点3：一元一次不等式组的解法 1.基本步骤： 解：分别求出不等式组中每个不等式的解集； 标：在同一数轴上标出每个不等式的解集； 找：找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集； 写：规范写出不等式组的解集（无解需明确说明）。 2.特殊解求解：先求不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解（如整数解、非负整数解、正整数解等）。 知识点4：含参一元一次不等式组的核心考点 含参含义：不等式组中除未知数 外，含其他未知字母（如、、），需根据解集的条件求字母的取值/取值范围。 2.核心类型： 根据解集求参数：结合解集口诀，建立关于参数的方程/不等式； 根据有解/无解求参数：利用“公共部分”的存在性，确定参数的边界； 根据整数解的个数求参数：结合数轴确定整数解的范围，进而锁定参数的取值区间。 知识点5：一元一次不等式组的实际应用 1.核心思想：数学建模，将实际问题中的不等关系转化为一元一次不等式组求解。 2.解题六步骤： 审：审题，找出题目中的所有不等关系（关键词：不少于、不超过、不足、多于等）； 设：设合适的未知数（注意单位，一般设所求量）； 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； 解：解不等式组，求出解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如数量为非负整数、正整数）； 答：根据检验结果，写出实际问题的答案（方案题需列出所有可行方案）。 【基础必考题型】 【题型1】判断一元一次不等式组的定义 1.核心知识点 一元一次不等式组的三要素；一元一次不等式的定义。 2.解题方法技巧 ①逐一验证：判断每个不等式是否为一元一次不等式（整式、未知数次数为1、系数不为0）； ②锁定未知数：确认不等式组中是否只含一个未知数； ③数个数：检查不等式个数是否≥2； ④排除法：排除含多个未知数、未知数次数不为1、含分式的选项。 【例题1】.（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】求普通一元一次不等式组的解集 1.核心知识点 一元一次不等式的解法；不等式组解集的四种基本类型；数轴的使用。 2.解题方法技巧 ①分步解不等式：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”解每个不等式，注意系数为负时不等号方向改变； ②数轴标解集：在同一数轴上标出所有解集，标清实心/空心圈和方向； ③口诀定解集：根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”直接确定解集。 【例题2】.（2026·甘肃平凉·一模）计算：解不等式组： 【变式题2-1】.（2026·甘肃武威·一模）解不等式组：． 【变式题2-2】.（2026九年级下·北京·专题练习）解不等式组：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）解不等式组： (1)，并把解集表示在数轴上． (2)． 【题型3】求一元一次不等式组的特殊解 1.核心知识点 不等式组的解法；特殊解的定义；数轴的直观性应用。 2.解题方法技巧 ①先求解集：按常规步骤求出不等式组的完整解集； ②数轴标范围：在数轴上标出解集区间，清晰显示边界点； ③找特殊解：在解集区间内，逐一找出符合要求的特殊解（如整数解），注意边界点是否包含； ④验结果：将找到的特殊解代入原不等式组，验证是否成立。 【例题3】.（2026七年级下·上海·专题练习）解不等式组：，并求出它的整数解． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）解不等式组 (1)并写出正整数解 (2) 【变式题3-2】.（24-25七年级下·北京·期中）求不等式组的正整数解． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·重庆·月考）求不等式组：的所有非负整数解． 【培优高频题型】 【题型4】根据不等式组的解集求参数的值/取值范围 1.核心知识点 含参不等式组的解法；解集口诀的逆用；数轴的边界分析。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：将参数当作已知数，解出每个不等式的解集（解集含参数）； ②结合已知解集：根据题干给出的解集，对照解集口诀，确定参数的边界关系； ③验证等号：重点检验边界点的等号是否成立（代入原不等式组，看解集是否符合要求）； ④写取值范围：根据验证结果，规范写出参数的取值/取值范围。 【例题4】.（25-26八年级下·四川达州·月考）已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【变式题4-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5】根据不等式组的有解/无解情况求参数的取值范围 1.核心知识点 不等式组解集的公共部分；数轴的空心/实心点分析；参数的边界确定。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：解出每个不等式的解集，用参数表示； ②数轴分析公共部分： 有解：解集的公共部分存在，结合数轴确定参数的上限/下限； 无解：解集的公共部分不存在，即“大大小小”，建立关于参数的不等式； ③验证边界等号：关键检验等号成立时，不等式组是否有解/无解，确定等号是否保留。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【变式题5-1】.（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【题型6】根据不等式组的整数解个数求参数的取值范围 1.核心知识点 含参不等式组的解法；数轴的精细分析；整数解的边界锁定；参数的区间确定。 2.解题方法技巧 ①解含参不等式：解出每个不等式的解集，用参数表示，确定解集的分界点； ②数轴标整数解：根据题干给出的整数解个数，在数轴上标出对应的整数解，锁定解集的左右边界； ③建立参数不等式：结合数轴，将解集的边界转化为关于参数的不等式，注意空心/实心点对应不等号是否含等号； ④双重验证：分别验证参数区间的左右端点，确保整数解的个数符合题干要求，排除不符合的情况。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【题型7】一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用 1.核心知识点 二元一次方程组的解法（消元法）；不等式组的解法；方程组的解与不等式组的结合。 2.解题方法技巧 ①解方程组：用参数表示方程组的解（将方程组中的参数当作已知数，解出、含参数的表达式）； ②列不等式组：根据题干中、的取值条件（如、），将含参数的、代入，列出关于参数的不等式组； ③解不等式组：求出参数的取值范围，若要求整数解，再筛选出符合条件的整数参数。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【变式题7-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【压轴素养题型】 【题型8】列一元一次不等式组解实际问题 1.核心知识点 一元一次不等式组的实际应用；不等关系的文字转化；实际意义的检验。 2.解题方法技巧 ①抓关键词：从题干中找出表示不等关系的词，转化为数学符号（不少于→、不超过→、不足→、多于→）； ②列不等式组：根据所有不等关系，列出对应的不等式组，确保不遗漏； ③解后检验：求出解集后，根据实际问题的要求（如人数、物品数为正整数）筛选解； ④规范作答：直接写出符合题意的结果，无需额外拓展。 【例题8】.（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【变式题8-1】.（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【变式题8-2】.（2026·湖北黄石·一模）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为_____． 【变式题8-3】.（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【题型9】列一元一次不等式组解方案设计问题 1.核心知识点 不等式组的实际应用；方案的可行性分析；一次函数的最值（辅助）。 2.解题方法技巧 ①设未知数：设出表示方案的未知数（如购买件、租辆车），明确未知数的实际取值范围； ②列不等式组：根据题干中的所有限制条件（如资金不超过、数量不少于），列出不等式组； ③求可行解：解不等式组，找出所有符合实际意义的整数解，每个整数解对应一个可行方案； ④选最优方案：若要求“最省钱”“利润最大”，可建立一次函数，根据函数增减性确定最优方案。 【例题9】.（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【变式题9-1】.（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·湖北荆州·月考）综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计 一、问题的背景 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买两种型号的新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题． 二、材料与任务 材料一：单价信息 社区志愿者调查发现： 1．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元； 2．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：采购约束 社区需满足以下采购的要求： 1．两种型号的新型垃圾桶共采购个； 2．采购总费用不超过元； 3．型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务． (1)任务一：计算两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)任务二：提供有多少种购买的方案； (3)任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材二：型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；型机器人每台每天可分拣快递1.2万件．公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求、两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 【题型10】一元一次不等式组的新定义问题 1.核心知识点 新定义的理解与转化；不等式组的解法；数形结合思想。 2.解题方法技巧 ①悟新定义：紧扣题干中的新定义（如“解集中点值”“关联解”“表示不大于的最大整数”），将其转化为数学语言； ②联旧知识：将新定义与不等式组的解集、整数解、参数取值范围等核心知识结合，建立数学关系； ③分类讨论：根据新定义的条件，对自变量或参数进行分类讨论，转化为常规的不等式组问题； ④验结果：将求解结果代入新定义中，验证是否符合题意，排除不符合的解。 【例题10】.（24-25七年级下·湖南湘西·月考）对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题；若，且解集中恰有两个整数解，则的取值范围为____________． 【变式题10-1】.（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 【变式题10-2】.（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 易错点 1.判断一元一次不等式组时，忽略三要素，误将含多个未知数、未知数次数不为1、含分式的不等式组判定为一元一次不等式组； 2.解不等式时，系数化为1步骤中，忽略系数为负数，未改变不等号方向，导致单个不等式解集错误； 3.数轴标解集时，混淆实心点和空心圈（含等号画空心圈、不含等号画实心点），或方向标反（大于向左、小于向右）； 4.解含参不等式组时，未验证边界点的等号，导致参数的取值范围多取/漏取等号； 5.根据整数解个数求参数时，未结合数轴精细分析，漏标整数解或错误锁定解集边界，导致参数取值范围错误； 6.实际应用中，遗漏不等关系或错误转化关键词（如将“不足”转化为），或解后未检验实际意义（如数量为负数、小数）； 7.处理程序框图与不等式组的综合题时，错误理解停止条件，导致不等式组列写颠倒（前几次满足条件，最后一次不满足）。 重点 1.掌握一元一次不等式组的定义，能准确判断一个不等式组是否为一元一次不等式组； 2.熟练掌握不等式组解集的四种基本类型，能结合数轴和口诀快速求普通不等式组的解集； 3.掌握不等式组的解法步骤，能准确求解不等式组，并找出其整数解、非负整数解等特殊解； 4.能根据不等式组的解集、有解/无解、整数解个数，求参数的值或取值范围，核心掌握解集口诀的逆用和数轴分析； 5.能从实际问题中提取不等关系，建立一元一次不等式组模型，求解并检验，能解决分配、计数、方案设计等基础实际问题； 6.掌握一元一次不等式组与二元一次方程组的综合解法，能将方程组的解代入不等关系，列出含参不等式组求解。 难点 1.含参一元一次不等式组的求解，尤其是根据整数解的个数求参数的取值范围，需结合数轴精细分析边界点和等号的取舍； 2.绝对值不等式、连写型不等式转化为不等式组的求解，难点在于零点分段和去绝对值符号后的分类讨论； 3.一元一次不等式组的新定义问题，难点在于将抽象的新定义转化为具体的数学语言，并结合不等式组的核心知识求解； 4.程序框图与不等式组的综合应用，难点在于准确理解程序的运算逻辑和停止条件，并列出正确的不等式组； 5.一元一次不等式组的方案设计实际问题，难点在于不遗漏所有限制条件，准确列出不等式组，并结合一次函数求最优方案； 6.跨学科/情境化的实际应用，难点在于从复杂的背景中提取有效信息，将跨学科的限制条件转化为数学不等关系，完成数学建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 3．不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 6．若不等式组的解集为，则横线处可以是____________（写出一种情况即可）． 7．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 8．不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是______ 三、解答题 9．解不等式（组） (1)； (2)． 10．已知关于的不等式组 (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 11．请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 12．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 13．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $