安徽师范大学附属中学2026届高三下学期数学周练一

2026届安师大附中高三下数学周练一参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】C 【详解】由题可得，，， 所以．故选：C． 2. 【答案】C 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误，故选：C 3. 【答案】D 【详解】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误； 对BC，又∵，根据，在R上均单调递增， 则在在R上单调递增，且，则当时，则，当时，则， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误； 则，即的最小值为，B错误； 对D，令,， 再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.故选：D 4. 【答案】A 【详解】解：，又因，， ∴，∴，，，故选：A. 5. 【答案】C 【详解】因为，所以当时，，因为恰有3个极值点，所以，解得，即的取值范围为.故选：C 6. 【答案】C 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，，设，则， 所以当最大时，最大，由圆锥的性质得底面，因为底面，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面，则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 则当最大时，最大，如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则，所以， 则此时，.故选：C. 7. 【答案】B 【详解】由对称性可知，，因为，， 所以当点位于长轴端点时最小，由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：B 8. 【答案】B 【详解】令，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大，由有两个零点，得，即， 函数在上都递增，则函数在上递增， ，因此存在，使得， 则不等式成立时，的最小整数值为3，即， 由，得，， 当且仅当，即时取等号，B正确.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】AD 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 10. 【答案】AC 【详解】设圆柱的底面半径为，所以母线为，因为圆柱的侧面积为，所以.因为圆柱的体积是，所以选项A正确； 因为圆柱的底面半径为2，所以母线为4，所以圆柱内切球的半径为， 所以圆柱内切球的表面积是，因此选项B不正确；建立如图所示的空间直角坐标系， ，设，， ， ， 所以选项C正确；设， 直线的单位方向向量为， 所以点到直线距离为 ， 由题意，所以当时，，选项D不正确，故选：AC. 11. 【答案】ABD 【详解】显然，由，得， 所以直线与函数的图象有2个交点，又， 所以当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极小值. 又时，；当时，；当时，， 在同一直角坐标系中作出的图象以及直线， 由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两个公共点，故A正确； 当时，，对求导得. 再对求导得.令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，， 即恒成立，所以是增函数，选项B正确. 当时，，，所以不恒成立，选项C错误. 当时，，，. 因为是增函数，且， 所以由零点存在定理可知，的零点满足，选项D正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得；令，可得； 可得，所以，解得：，故答案为： 13. 【答案】 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即，整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即，因为，所以，所以，又，所以，即，所以渐近线方程为.故答案为：. 14. 【答案】 【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）(1) (2)15 【详解】（1）由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 或，，或， 又，∴． （2）平分，， 所以， 所以，即．①    由余弦定理得， 即．②  将①代入②得，所以，（舍去），所以的周长为． 16.（15分）(1)有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异 (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）因为， 所以有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异． （2）由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3， 所以抽取男性7人，女性3人，再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则，恰有2名男性居民记为事件，则， 所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为． （3）在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出 12人，可得抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可取0，1，2，3，9分 可求出，，，， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望． 17.（15分）(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点.又因为F是线段的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，过点作，，所以平面， 又因为，所以以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 取平面的法向量为，， 设平面的法向量为 ，则，令，则，因为平面与平面夹角余弦值为，所以 ，即， 化简得到，解得 或（舍去），因为 ，所以，故. 18.（17分）(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【详解】（1）由，所以所以， 又，所以曲线在处的切线方程为， 即 （2）由，定义域为， 令得或因为，所以.所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为，又，， 所以是方程的两个根.依题意，有， 所以，即，所以 ， 令，则，令，则 因为，所以，所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数，所以，即. 19.（17分）(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以，解得，，则双曲线的标准方程为． （2）易知，，如图，设，，直线l的方程为， 联立，得，则，，，，得到，故，. （3）由题可知：，：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以，即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则，即， 则，得到， ， ，即，解得，则在x轴上存在定点满足条件． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届安师大附中高三下数学周练一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3. 某公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 4. 如图，在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6. 如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 7. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8. 设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 10. 圆柱的轴截面是正方形，分别是上、下底面的圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，若圆柱的侧面积为，则（    ） A．圆柱的体积是 B．圆柱内切球的表面积是 C． D．点到直线距离的最大值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有2个零点，则 B．当时，是增函数 C．当时，恒成立 D．当时，若是的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中的系数为36，则的值为 . 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 14. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 16.（15分）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： 当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的； 当时，有90%的把握判断变量，有关联； 当时，有95%的把握判断变量，有关联； 当时，有99%的把握判断变量，有关联． 17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，，且平面与平面夹角余弦值为，求的长. 18.（17分）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 19.（17分）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 第 学科网（北京）股份有限公司 $