2026年中考数学一轮复习专项训练 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合

矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 考点目录 矩形与相似三角形的判定和性质综合 菱形与相似三角形的判定和性质综合 考点一 矩形与相似三角形的判定和性质综合 例1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆永川·模拟预测）如图，在矩形中，，E是上一点，且满足，连接，相交于点F，延长至点G，使得，连接，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 例5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 例6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 变式1．（2026·陕西铜川·一模）如图，是矩形的一条对角线，过点A作，垂足为E，交边于点F，且，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则与两个三角形面积的比值（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，点是的中点，连接，线段的垂直平分线分别与，，交于点，，．若，，则的长为__________． 变式5．（2026·北京·模拟预测）如图，矩形中，，分别为，的中点，且，，则的长为___________． 变式6．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则的值为__________． 考点二 菱形与相似三角形的判定和性质综合 例1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 例2．（2026·山西·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 例3．（2026·黑龙江·一模）如图，已知四边形是菱形，，，对角线相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接交于点，的延长线交于点G，连接，、分别是、边上的动点，且，连接、，与交于点P，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤最小值是．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 例4．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为___________． 例5．（24-25九年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为______． 例6．（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为__________． 变式1．（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）如图，是菱形的对角线，点F在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点G，若，则的长为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 变式2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 变式3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是菱形的对角线，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，若，则的长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 变式4．（24-25九年级上·山西运城·期中）菱形和菱形的位置如图所示，点在边上，点在边的延长线上，连接，，构成，若的面积为15，则菱形的面积为_____． 变式5．（2026·河北沧州·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 变式6．（25-26九年级下·安徽·月考）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．（1）若，，则_____；（2）若，，则_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 考点目录 矩形与相似三角形的判定和性质综合 菱形与相似三角形的判定和性质综合 考点 矩形与相似三角形的判定和性质综合 例1.(25-26九年级上安微安庆期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE:AD=1:5, BE与AC相交于点R,则 C的值为() A.3 B. 【答案】A 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ·AD∥BC,AD=BC,OA=OC, △AEF∽△CBF, AE AF BC FC' AE:AD=1:5, .AE1 BC 5' AF:FC=1:5,AF:AC=1:6, ×0A=0C, .AF 1 0C3 例2.(2026陕西模拟预测)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接AC,BE,交于点F.若AE=3Cm, ED=6cm,AF=2.6cm,则FC的长为() D B A.10.5cm B.9.2cm C.8.5cm D.7.8cm 【答案】D 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 【详解】解：矩形ABCD中，AD‖BC,AD=BC, △AEF∽△CBF, :E、4F BC FC AE=3,ED=6, ∴.AD=AE+ED=3+6=9, .BC=AD=9, 3_2.6 9FC FC=7.8(cm）· 例3.(2026重庆永川模拟预测)如图，在矩形ABCD中，BC=V3AB,E是CD上一点，且满足AB=3CE,连接 BE,4C相交于点F,延长BE至点G,使得FG=BF,连接DG,则C=() DG D G A. 5 B. c.53 D. 7 2 2 6 5 【答案】B 【详解】解：设AB=3a, BC=3AB,AB =3CE ·BC=3V3a,CE=a, 0 G 5 由勾股定理得，BE=VBC2+CE2=2√万a,AC=√AB2+BC2=6a, :ABICD可得∠ABF=∠CEF,∠BAF=∠ECF, AABF∽aCEF BF AF AB =3, FE CF CE ÷BF-3BE=3x25a=3V5a 4 4 2-a,CF=1 4 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 .FG=BF, BF=3, FE FG=3FE.即 EG =2 FE 由AB=3CE,AB=CD DE=2, CE EG DE FE CE 又∠DEG=LGEF, ∴△DEG∽△GEF, DG_DE=2.即DG=2CF=2×号a=3a. 3 CF CE 2 37 BF 2a万 DG 3a 2 故选：B 例4.(25-26九年级下·甘肃兰州月考)如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相 交于点G,连接CG,若AB=4,BC=6,则tan∠GCF的值是· D G 【答案】 【详解】解：矩形ABCD,E,F是BC边上的三等分点，AB=4,BC=6, .AD=BC=6,CD=AB=4,AD//BC,BE =EF=FC=2,EC=4, AGDAFGE, EG EF 2 1 DG=4D63' EG 1 ED 4' 过点G作GH⊥BC,则GH∥CD, D G B EHF AGHE△DCE, 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 EHGH EG1 EC CD DE 4 *EH=EC=1x4=1,GH=ICD=1x4=1, 4 4 4 4 CH=CE-EH=4-1=3, stan∠GcF=GH_1 CH-3: 故答案为：3 1 例5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,M,N分别是边AD,BC上的点，连接 MN,CM,过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E,若MN平分矩形ABCD的面积，且AM=5,则DE的长 为一· E M 【答案】65 【详解】如图，过点M作MH⊥BC于点H. D B N H AD =2AB=8, AB=4, ~四边形ABCD是矩形， .AB=CD=4,AD=BC=8,∠ADC=90°， ×AM=5, :.DM AD-AM =3, CM=CD2+DM2=42+32=5, ~MW平分矩形ABCD的面积， :.CN AM =5,BN=DM =3, MH⊥BC,∠ADC=∠BCD=90°， 四边形MHCD是矩形， 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 :.CH=DM=3,CD=MH=4, :.NH =CN-CH=2, ∴MN=VMH2+NH2=V4+22=2√5， AD∥BC, ∴.∠AMN=∠CNM, ~∠AMN=∠DME, ∴∠DME=∠MNH, ∠E=∠MHN=90°， .△DEM∽aMHN, DE DM MH MN DE 3 425' ·DE= 65 例6.(2026陕西咸阳一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,E为CD的中点，连接AE,过点A作 AF⊥AE,与CB的延长线交于点F,AG平分∠FAE,且点G在BC边上，则AG的长为一 D F B G 【答案】√5 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， :ZBAD ZADE ZABC=90,DC=AB=2, :AF⊥AE, ∠FAE=∠BAD=90°， .∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE,即∠FAB=∠EAD, :∠ABF=∠ADE=90°， .△AFB∽△AED, AB AD FB DE' :E为CD的中点， :.DE=IDC=1, 2 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 AB_AD=3, FB DE 如图，过点G作GH⊥AF于点H. D E4B=4D=3, FB DE F BG C .FB=2,则AF=√AB2+FB2=2V10 3 :∠F=∠F,LABF=∠GHF=90°， △ABF∽△GHF，, AB_GH=3. BF HF :AF⊥AE,AG平分∠FAE, .∠GAE=∠FAG=45°， ∠HGA=45°， A期、C,即AE=AH+HF=AH+;1H=AH-20 3 3 解得AH= 2 .AG=AH=5. 变式1.(2026陕西铜川一模)如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，过点A作AF⊥BD,垂足为E,交边BC于 点F,且CF=2BF,若AD=4V3,则AE的长为() D E A.√5 B.25 c. D.V10 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， :AB=CD,AB∥CD,∠ABF=90°， :ZABE ZCDE, :AE⊥BD,射线AE交BC于点F, .∠BEF=90°=∠ABF, 6 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 :∠AFB=∠BFE, △ABF∽△BEF, BF EF BE AF BF AB ，BF2=AF.EF, 过点C作CM⊥BD于点M, D M ∠CMB=∠FEB=90°， B EF∥MC, :△BEF∽△BMC, BF EF BE BC MC BM CF=2BF, EF BE BFBF 1 MC BM BC BF+CF3' :MC=3EF,BM =3BE 在△ABE和CDM中 ∠ABE=∠CDM ∠AEB=∠CMD AB=CD ·△ABE≌ACDM(AAS), :AE MC =3EF, :AF AE +EF =4EF, :BF2=EF x AF, :.BF =2EF, 在RtAABF中，由勾股定理： AF2-BF2 AB2, .16EF2-4EF2=AB2, .AB =23EF AD=BC=43,BC =3BF,BF=2EF, 3×2EF=4V3, > 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 6EF=45, Er=25 3 ÷4E=3EF=3x2 3 =23. 变式2.(2425九年级下·重庆·月考)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点0，过点 )作OE垂直AC交AD于点E,则△BE0与△AE0两个三角形面积的比值、《 A专 B.5 C. 5 D. 【答案】B 【详解】解：连接CE,过点E作EF⊥BD交BD于点F, B ~四边形ABCD是矩形， ..AB=CD=4,BC=AD=8,A0=CO=BO=D0,Z0AE=ZFDE 设DE=x,则AE=8-x, ~OE⊥AC,且点O是AC的中点， OE是AC的垂直平分线 ∴CE=AE=8-x, 在Rt△CDE中，x2+42=(8-x)2, 解得：x=3, DE=3,AE=8-3=5, ∠AOE=∠DFE=90°，∠OAE=∠FDE, △AOEn△DFE, EF_DE_3 EO AE5' 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 SABEO= 1BO-EF EF 3 ”SAAEO 1A0E0 E05 变式3.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AC,DE交 于点O,则A0的长度为() O B E A. 413 9 B. 8 C.33 6 2 D. 【答案】A 【详解】解：矩形ABCD,AB=4,BC=6, ∠ABC=90°，AD‖BC,AD=BC=6, ·AC=√AB2+BC2=23,△A0DnaC0E, AOAD OC CE ~点E是BC的中点， CE=BC=AD, 2 2 A0 AD 1 OC-CE-2' 413 40=24C= 3 变式4.(2026山西吕梁.一模)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE,线段BE的垂直平分线分别 与AB,BC,BE交于点F,G,M·若AB=5,AD=6,则BG的长为 E A D M B 【终1号 【详解】解：在矩形ABCD中，点E是AD的中点，AB=5,AD=6 ÷L4=90°，AE=AD=3 2 0 矩形与相似三角形的判定和性质综合、菱形与相似三角形的判定和性质综合专项训练 在Rt△ABE中，BE=√AE2+AB2=V32+52=34 ~CF垂直平分BE “BM=BE=34 2 2 四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ABC=90° ∴∠ABE+∠MBG=90° 又~BE⊥FC ∴.∠BMC=90° ∴LMGB+∠MBG=90° ∠ABE=∠MGB ∴AABE∽△BGM AEBE BM BG 3V34 ·34=BG 解得：BG=1 3 变式5.(2026北京·模拟预测)如图，矩形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，且AE上EF,BC=2,则 AC的长为 B 【答案】25 【详解】解：设AB=2x, ~四边形ABCD是矩形， AD=BC=2,∠D=90°，AB=CD=2x, E、F分别为CD、BC的中点， :.DE=EC=x,CF=FB=1, ∴∠DAE+LAED=90°， AE⊥EF, 10