相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题 专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形的性质 例1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如果两个三角形相似，面积比是，则这两个三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个三角形相似，且面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴周长比为． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，，且它们的相似比是，已知的周长为12，则的周长为（　　） A．8 B． C．18 D．27 【答案】D 【详解】解：∵，且它们的相似比是， ∴它们的周长比为， ∵的周长为12， ∴的周长为， 故选：D． 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是 ． 【答案】18 【详解】解：∵，其中与是一组对应边，， ∴， ∵ ∴， ∴边上的高是， 故答案为：18． 例4．（25-26九年级上·广西百色·期中）两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：∵当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍， ∴当用放大镜观察三角形时，得到的三角形与原三角形相似，且相似比等于放大镜放大的倍数，即放大镜中观察到的三角形与原三角形的相似比为， ∴此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个三角形的相似比为． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 变式4．（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是 ． 【答案】81 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 考点二 相似三角形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，． (1)写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）； (2)若B、D、E三点共线，证明． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴． 例3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）已知：如图，中，，，点是边上的一个动点（不与，点重合），． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)函数关系式：，当时，取最小值，最小值是 【详解】（1）解：，， ， ，， 又，， ， ； （2）解：，， ， 又，， ∴，， ， ， ， ， ， ∴抛物线开口向上， 当时，取最小值，此时. 当为时，取最小值，最小值是. 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在纸片中，，D是斜边上一点，将沿折叠，使点C落在点F处，线段与相交于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，且，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ． ． ． 又由折叠可知， ． 又， ． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠的性质得， ∴四边形是菱形， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或1 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，为等边的边上一点，为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， 的长是． 变式4．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 考点三 相似三角形的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 【答案】任务一：；任务二： 【详解】解：任务一：的长为，，， 故答案为：；         任务二：， ． ， ． ， 同理：． ．             ， ． ， ． ．            ． ， 即， ， ， ， ∴旗杆的高为． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)影子变短了，变短了米 【详解】（1）解：∵， ， ， 即， 解得米， 答：小艺的身高为米； （2）解：∵米，米， 米， ， ， 即， 解得米， ∴（米）， 答：影子变短了，变短了米． 例3．（25-26九年级上·四川成都·期末）结合相似三角形和投影等知识，完成下面的任务1~3： (1)任务1：如图1，教室中老师放映幻灯片时，通过光源，把上的图形放大到屏幕上，点A为光源位置，若，，幻灯片中图形高为，则屏幕上的高度为___________． (2)任务2：如图2，花丛中有一路灯杆，在灯光下，小燕在D点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小燕的影长米．如果小燕的身高为2米，求路灯杆的高度． (3)任务3：用皮尺测量一旗杆高度，方案如下：当小明站在旗杆正前方地面上的点D处时，小李在地面上找到一点，使得点、小明的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得；小明再向前移动到达点处，小李同样在地面上找到一点，使得点、小明头顶以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得，已知图中的所有点均在同一平面内，，，小明的身高．求旗杆高度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， ，， ， ，； （2）由题意得，，，， ， ，， ，， ，，，， ，， ， ， ，解得， ，解得； 答：路灯杆的高度是． （3）由题意得，，，，，，， ，， ，， ，， ，即， 解得，， ，解得， 答：旗杆高度． 例4．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． (1)根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； (2)如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：由题意可知：平面镜与之间的距离为3米，达到测试距离的要求， 所以C到的距离为（米）； （2）解：如下图，过点C作，垂足为D，并延长交于E， ， ， ， 又，，， ， ， 平面镜长为． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 变式2．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当减小、增大时，的高度变大；（4） 【详解】解：（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）净觉寺位于玉田县杨家套乡，始建于唐代，是全国重点文物保护单位．在它的北院有一座千佛塔，如图1．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量千佛塔的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，．请通过所给数据解决问题： (1)求出仰角的度数；（参考数据：，） (2)求出千佛塔的高度． 【答案】(1)锐角的度数为； (2)千佛塔的高度为． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴锐角的度数为； （2）解：如图，延长交于H，则，四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：千佛塔的高度为． 变式4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中旗杆的高度 “平面镜”方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到旗杆顶部； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度． ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶部的仰角； ④测量到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：；；． (1)请你根据“平面镜”方案，直接写出旗杆的高度； (2)请你根据“测角仪”方案，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2)旗杆的高度约为 【详解】（1）解：在“平面镜”方案中，∵均与地面垂直， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； （2）解：在“测角仪”方案中，由题意知：于， ∵均与地面垂直， 四边形是矩形， ，， 在中，，． ， ， 答：旗杆的高度约为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题 专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形的性质 例1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如果两个三角形相似，面积比是，则这两个三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，，且它们的相似比是，已知的周长为12，则的周长为（　　） A．8 B． C．18 D．27 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是 ． 例4．（25-26九年级上·广西百色·期中）两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为 ． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 变式2．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，，，则的度数为 ． 变式4．（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是 ． 考点二 相似三角形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，，，求的长． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，． (1)写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）； (2)若B、D、E三点共线，证明． 例3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例4．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）已知：如图，中，，，点是边上的一个动点（不与，点重合），． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在纸片中，，D是斜边上一点，将沿折叠，使点C落在点F处，线段与相交于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，且，求． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， (1)求证：； (2)若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，为等边的边上一点，为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式4．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点三 相似三角形的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 例3．（25-26九年级上·四川成都·期末）结合相似三角形和投影等知识，完成下面的任务1~3： (1)任务1：如图1，教室中老师放映幻灯片时，通过光源，把上的图形放大到屏幕上，点A为光源位置，若，，幻灯片中图形高为，则屏幕上的高度为___________． (2)任务2：如图2，花丛中有一路灯杆，在灯光下，小燕在D点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小燕的影长米．如果小燕的身高为2米，求路灯杆的高度． (3)任务3：用皮尺测量一旗杆高度，方案如下：当小明站在旗杆正前方地面上的点D处时，小李在地面上找到一点，使得点、小明的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得；小明再向前移动到达点处，小李同样在地面上找到一点，使得点、小明头顶以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得，已知图中的所有点均在同一平面内，，，小明的身高．求旗杆高度． 例4．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． (1)根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； (2)如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 变式2．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）净觉寺位于玉田县杨家套乡，始建于唐代，是全国重点文物保护单位．在它的北院有一座千佛塔，如图1．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量千佛塔的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，．请通过所给数据解决问题： (1)求出仰角的度数；（参考数据：，） (2)求出千佛塔的高度． 变式4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中旗杆的高度 “平面镜”方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到旗杆顶部； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度． ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶部的仰角； ④测量到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：；；． (1)请你根据“平面镜”方案，直接写出旗杆的高度； (2)请你根据“测角仪”方案，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $