相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练-2026年中考数学一轮复习

相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的性质与圆的性质综合 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1.(2526九年级上·河南信阳期末)如图，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B, D,E在同一直线上，连接CE. 0球器的金： (2)求∠BEC的度数. 【答案】（①）√2 (2)45 【详解】(1)解：~△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°， ·AC=BC,LCAB=45°，AB=VAC2+BC2=V2AC. △AED为等腰直角三角形，∠AED=90°， AE=DE,∠EAD=45°，AD=VAE2+DE2=√2AE· ∠DAB+∠CAD=∠EAC+∠CAD=45°，即∠DAB=∠EAC. 又48-40-2， AC AE ∴△BAD∽△CAE. BD-AB=√反 CE AC (2)解：△BAD∽aCAE, ∠AEC=∠ADB. ~△AED为等腰直角三角形，∠AED=90°， ∠ADE=45°， ∠ADB=180°-∠ADE=135°， ·∠AEC=135°. 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-90°=45°. 例2.(25-26九年级上：四川资阳期末)如图，在ABC和ADE中，若∠BAD=∠CAE, ①在下列条件中：①4B8C,②8⑧L4DE=乙ABC,任选一个条件，使△ABC ADE,并说 理由； (2)在你选的(1)条件下，若AD=3,AE=4,CE=5,求BD的长度. 【答案】()答案不唯一，见解析 80-号 【详解】I)解：可选②4B-4C或③LADE:∠ABC,可使得△ABC∽△ADE, AD AE 选②AB、4C ADAE'△ABC∽△ADE,理由如下： ∠BAD=LCAE, ∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE, 又：4B4C AD AE .△ABC∽△ADE, 选③∠ADE=∠ABC,△ABC∽△ADE,理由如下： ∠BAD=∠CAE, ∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE, ∠BAC=∠DAE, △ABC∽△ADE; (2)解：由(1)得，△ABC∽△ADE, AB AC AD AE 2 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 AB AD AC AE ∠BAD=∠CAE, :△ABDn△ACE, .AD BD AE CE :AD=3,AE=4,CE=5, 3 BD 45 BD=15, 例3.(25-26九年级上·江苏南通期末)如图，正方形ABCD中，AB=12,E为BC边上一点，BE=3CE,连接AE 并延长交DC的延长线于点F. 0 G (I)求CF的长； (2)过点E作EG⊥AF交CD于点G,求GF的长. 【答案】（①）CF=4 2GF=25 4 【详解】(1)解：~正方形ABCD中，AB=12, AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=∠D=90°=∠ECF,AB∥CD, BE=3CE, BE=9,CE=3, AB∥CD, AFCE∽△ABE, CF=CE_1 AB BE3' CF=4. (2)解：EG⊥AF, LGEF=90°=LECG=∠ECF, LGEC+2EGC =90=LGEC +ZFEC, 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ∠EGC=∠FEC, aEGC∽△FEC, GC EC CE FC ,即cG=CE CF=4,CE=3, ÷cG=9 *GF=CG+CF=+4- 25 4 41 例4.（25-26九年级上山西临汾·期末)综合与探究 【初步感知】 H G C BL 图1 图2 图3 (I)如图1，AD是ABC的中线，点E在AC边上，且AE=二CE,连接BE交AD于点G,过点D作DH∥AC交 能于度风、深瓷的值， 【尝试应用】 (2)如图2，在ABC中，点D为AC边上一点，且AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E,延长AE交 BC边于点F.若AD=6,CD=2,AF=5,求AE的长： 【拓展提高】 (3)如图3，在口ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M.若 号-行带立接写出C的堂。 CF 1 【答案】1) G-3:24E=,3 EG 3 【详解】解：~AD是ABC的中线， BD 1 = BC2 DH∥AC, .△BDH∽△BCE,△AEG∽△DHG, DH BH BD 1 HG DH CE BE BC 2'EG AE .DH=CE,BE =2BH =2EH 2 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 AE=-CE, 2 :.AE DH, HC=1,即HG=EG, E ∴.BG=3EG, BG=3; GE 故答案为：3； (2)如图2，取BC的中点H,连接EH, D :AB=AD,AE⊥BD, E B FH 图2 BE=ED,即点E为BD的中点， .EH为△BCD的中位线， ÷EH=CD=L,EH∥CD, 2 ∴.∠FEH=∠FAC,∠FHE=∠FCA, △FEH∽△FAC. FE EH . FA AC CD=2,AD=6, .AC=8, 5-AE1 58’ 35 ∴AE= 8 (3)如图3，过点E作EL∥BF交AC于点L, D M :点E为BC的中点， G B E 图3 :BE=CE 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ML_BE=1, CL CE .M=CL=CM,即CM=2ML, EL为aCBM的中位线， :MB=2LE, :四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,CD=AB, ∴.∠MCF=∠MAB,∠MFC=∠MBA, △CMF∽△AMB, CM CFCF 1 AM AB CD3' AM=3CM=3×2ML=6ML, :AL AM ML TML, :EL∥GM, ∴∠AEL=∠AGM,∠ALE=∠AMG, .△AEL∽△AGM, LE AL_7 MG AM6' ∴LE==MG, 6 7 ∴.MB=2LE=-MG, :.BG-MB-MG-]MG-MG-4MG, 7 BG 4 MG3· 变式1.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且BD=BE, ∠CAD=∠ABE. D (I)求证：△ABD∽△CBA ②若AD是ABC的中线，求的值. BD 【答案】(1)见解析 6 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ②9-5 BD 【详解】(1)证明：：BD=BE, .∠BDE=∠BED, 180°-∠BDE=180°-∠BED, :ZADC ZBEA ∠CAD=∠ABE, LBDE-LCAD=∠BED-∠ABE :ZC Z BAE ZCBA=ZABD, △ABD∽△CBA. (2)解：：AD是ABC的中线， :BC=2BD, △ABD∽△CBA, ABBD BC AB .AB2=BD·BC=2BD2, AB=反 B 变式2.(24-25九年级下·河北邢台·开学考试)如图，E为AB上一点，∠A=∠CED=∠B. (I)求证：△CAE∽△EBD; (2)若CE平分LACD,CD=9,BD=4,求ED的长. 【答案】()见详解 (2)6 【详解】(1)证明：∠CEB为△ACE外角， :ZCEB=ZA+ZACE=ZCED+ZDEB ZA=ZCED, ∠ACE=∠DEB, > 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ∠A=∠B, ∴△CAE∽△EBD; (2)解：：CE平分LACD, ∴.∠ACE=∠ECD, ∠ACE=∠DEB, ∴.∠DEB=∠ECD, ∠CED=∠B, ∴△CED∽AEBD, :CD、ED ED BD' 即9、ED ED=6. 变式3.(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD,作 DALAE,使得B-AC 连接DE交AC于点F,若AC=6,AB=8. AD AE B D 求证： (I)△ABD~△ACE. (2)若BD=4,求tan∠EDC的值. 【答案】()见解析： 2②5 【详解】(1)解：~∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠EAC. 又，AB-AC AD AE' AABD~△ACE, (2)解：△ABD~△ACE, ∠B=LACE. ×∠B+∠BCA=90°， P 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 ∠ACE+∠BCA=90° ∠BCE=90°. 在Rt△ABC中，AC=6,AB=8, 六BC=√AC2+AB2=V62+82=10. BD=4, .DC=BC-BD=10-4=6. AABD~△ACE, AB BD AC CE .84 6 CE' CE=3. 在R1aDEC中，an∠EDC=EC-3=I DC=62 tan∠EDc= 变式4.(25-26九年级上江西南昌·期末)综合与探究 图1 图2 图3 图4 们如图，在8c巾，BE是边C上的中找，点D在边9C上，且震背D与E相交于点P.如图2，过点 C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,经过推理和计算，得到C的值为 PD ②收国.在4C中，点D在C份延长线上，晨点E车C上，且長子， 能子片的 ③)如图4，点E,E,D分别在ABC的边上，能=，EFCB,FD∥AC，M是ED的中点，连接BM并延长， 交4C于点N,求W的值。 【答案】)2 a @g 【详解】(1)解：如图，过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F, 9 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 B ∠F=∠APF,∠FCE=LEAP, ~BE是AC边上的中线， ∴.AE=CE, ·△AEP≌ACEF(AAS, .AP=FC, CD 1 BC3 BD 2 BC=3' ~CF∥AD, △BPDn△BFC, PD BD 2 FC BC3' PD 2 。。 =9 AP 3' AP 3 PD2' 3 故答案为：2 (2)解：如图，过点A作AF∥BC,交BP的延长线于点F, D B .△AFE∽△CBE, AF AE 2 BC-EC-3' 设AF=2x,BC=3x, .CD 1 BC 3' CD=x, 10相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的性质与圆的性质综合专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的性质与圆的性质综合 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接． (1)求的值； (2)求的度数． 例2．（25-26九年级上·四川资阳·期末）如图，在和中，若． (1)在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； (2)在你选的（1）条件下，若，求的长度． 例3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形中，，为边上一点，，连接并延长交的延长线于点． (1)求的长； (2)过点作交于点，求的长． 例4．（25-26九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【初步感知】 （1）如图1，是的中线，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作交于点H，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，点D为边上一点，且，连接，过点A作于点E，延长交边于点F．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点E为边的中点，点F为边上一点，与、分别交于点G、M．若，请直接写出的值． 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是上的点，是上一点，且． (1)求证： (2)若是的中线，求的值． 变式2．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 变式3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 变式4．（25-26九年级上·江西南昌·期末）综合与探究 (1)如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．如图，过点作，交的延长线于点，经过推理和计算，得到的值为_________． (2)如图，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． (3)如图，点分别在的边上，，，，是的中点，连接并延长，交于点，求的值． 考点二 相似三角形的性质与圆的性质综合 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）综合实践． 定义：如图1，是的直径，是的弦，是的切线，则叫作弦切角， (1)【探究】根据上述条件，求证：． (2)【猜想】如图2，在中，试猜想（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由， (3)【应用】试用（2）中的结论解决下列问题：如图3，在中，，是的弦，且，．求的长． 例2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，已知四边形内接于交于点，已知 (1)求证：； (2)如图2，作于点．设， ①用含代数式表示； ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，．是的外接圆，是线段上一点，过点作的垂线分别交于点，交在点处的切线于点，连接． (1)求证：： (2)若，，求的长度； (3)记的面积为，若，请直接写出的最小值与最大值的比值． 例4．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）综合与实践 在数学探究活动中，“从特殊到一般”是一种常用的思想方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是的外接圆，点在上，连接，，． 【特殊化感知】 （1）如图（1），若，，点在的延长线上，则与的数量关系为_____； 【一般化探究】 （2）如图（2），若，，点在上，猜想，与的数量关系并证明； 【拓展性延伸】 （3）若，，直接写出，与的数量关系． 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，为直径，弦于点，点为弧上一动点，连接，分别交于点和点，连结． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若为中点，的半径为，证明． (3)如图3，连接，若为弧中点，的面积为16． ①试求的面积；②直接写出的长度． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，BE是的直径，A和D是上的两点，延长到点C，连接，，，且． (1)求证：为的切线． (2)已知． ①求阴影部分的面积（结果保留）． ②连接，若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作交的延长线于点P，平分． (1)在图1中，若是的直径，求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若，求的最大值． 变式4．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，C是弧的中点，，延长至点E，使，连接，F是线段上的点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：是的切线． (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $