湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高三下学期3月阶段检测数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．若（为虚数单位），则复数的模为（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若与的夹角为，则的值为（    ） A．0 B． C． D．0或 5．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，、分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为（    ） A．1782 B．1720 C．2520 D．1260 7．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为（    ） A． B． C． D．π 8．已知函数，任取，记函数在上的最大值为，最小值为，设，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列说法正确的是（   ） A．图像对称中心为 B．最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的极小值为2 C．的极大值为－2 D．有2个零点 11．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（   ） A． B．当时，面积的最大值为16 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题 12．在等差数列中，，则________. 13．________. 14．若随机变量，若，则_________． 四、解答题 15．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74. （1）求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； （2）估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 16．如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. （1）证明：OD⊥平面PAQ； （2）若BE＝2AE，求二面角C­BQ­A的余弦值． 17．已知动点到点的距离比它到直线的距离大． (1)求动点的轨迹的方程； (2)，是轨迹上异于原点的两点，当时，求证：直线恒过定点． 18．已知函数且. (1)设，讨论的单调性； (2)若且存在三个零点. 1）求实数的取值范围； 2）设，求证：. 19．已知数列是各项均为正整数的递增数列，，且. (1)求和； (2)证明：； (3)设，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C D D C BCD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】将集合求出,用列举法表示,即可得出的结果. 【详解】由题意得, 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和交集的运算,属于基础题. 2．C 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用求模公式计算即可. 【详解】由， 得，即， 所以， 故选：C． 3．B 【分析】根据抽象函数的定义域以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．C 【分析】已知，利用向量数量积的坐标运算求出即可． 【详解】由， 有，，，， 又∵，∴， 两边同时平方，解得或, 当，，不合题意，所以舍去，. 故选：C 5．C 【分析】求出点的坐标，进而可求得点、的坐标，由、、三点共线得出，化简可得与的等量关系，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】易知点，将代入椭圆的方程得，可得， 设点为第二象限内的点，则、， 直线的斜率为， 所以，直线的方程为，当时，，即点， 为的中点，则， 又点，且、、三点共线，则，所以，， 整理得，解得，则. 因此，椭圆的离心率为. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于中等题. 6．D 【分析】由题意得到为定序问题，用倍缩法求出答案. 【详解】同色球不加以区分可以理解为定序问题，故将这9个球排成一列的排法总数为种. 故选：D 7．D 【分析】解方程组求出的正余弦，求出tanα＝，tan2β＝－，再求出tan(α＋2β)＝0，即得解. 【详解】由题意得 (1)2＋(2)2得cosβ＝，cosα＝， 由α，β均为锐角知，sinβ＝，sinα＝， ∴tanβ＝2，tanα＝，∴tan2β＝－， ∴tan(α＋2β)＝0． 因为 所以α＋2β∈， ∴α＋2β＝π. 故选：D． 8．C 【分析】考虑一个周期内的情况，根据的取值，求得的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可. 【详解】因为，其中分别是指在区间上的最大值和最小值， 因为的周期，故在区间的图象与在区间上的图象完全相同， 故，故，即是周期为的函数，故的值域与时的值域相同； 又在单调递减，单调递增，在单调递减， 故当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时； 故在的函数图象如下所示： 数形结合可知，的值域为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到的周期，同时要对进行分类讨论求的解析式，属综合困难题. 9．BCD 【分析】由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，由，可得， 所以的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由，可得，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．AD 【分析】由导数判断单调性后对选项逐一判断 【详解】由可得， 由可得，由可得或， 故在和上单调递减，在上单调递增， 有极小值，极大值， 故A正确，B，C错误． 有两解，，，则有2个零点，故D正确． 故选：AD 11．ACD 【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算即可；对于B，根据直角三角形相似可求出，进而根据三角形面积公式列出面积的表达式，然后根据基本不等式的性质计算即可；对于C，先求出点的坐标，进而代入方程中化简求得离心率；对于D，根据余弦定理和的关系表达式，进而化简即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，， 所以，渐近线为. 假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为， 则为点到渐近线即的距离，即，A正确； 当时，，所以. 所以的面积为. 在直角三角形中，，所以. 所以，所以，所以. 由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误； 因为，所以点是的中点，因为，所以. 又点在双曲线上，所以，化简得. 所以解得双曲线的离心率为，C正确； 设，由点在到渐近线的垂线段上， 直线的斜率为，所以直线的方程为， ，设，所以 设，所以，解得，而. 所以，则. 在中，由余弦定理得， 利用关系式， 即，化简得， 将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得， 故渐近线方程为，D正确.    故选：ACD. 12． 【分析】根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而根据等差数列的通项公式可得结果. 【详解】， ， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 13． 【分析】根据指数幂运算以及对数运算性质求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据二项分布的概率计算求得p的值，利用正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量，， 所以，即， 即， 而，则， 故答案为： 15．（1）平均数71、中位数71.5、方差11、标准差；（2）平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为. 【分析】（1）根据平均数、中位数、方差、标准差的计算公式即可求解. （2）由（1）计算的数据即可得出结果. 【详解】解：(1)这10个学生体重数据的平均数为 ＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76， 位于中间的两个数是71，72，∴这10个学生体重数据的中位数为. 这10个学生体重数据的方差为 s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋ (73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11， 这10个学生体重数据的标准差为s＝. (2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71， 中位数为71.5，方差为11，标准差为. 16．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由OA，OB，OO1两两垂直建立空间直角坐标系，由向量坐标运算得到⊥，⊥证得OD⊥平面PAQ； （2）由空间直角坐标系求得平面CBQ的法向量和平面ABQ的法向量，根据数量积的夹角公式可得答案. 【详解】(1)证明：由题设知OA，OB，OO1两两垂直， ∴以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AQ的长为m，则O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)． ∵点P为BC的中点，∴P， ∴＝(3，0，6)，＝(0，m，0)，＝. ∵·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q， ∴OD⊥平面PAQ. (2)∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝OB＝3， 则Q(6，3，0)，∴＝(－6，3，0)，＝(0，－3，6)． 设平面CBQ的法向量为＝(x，y，z)， 由得 令z＝1，则y＝2，x＝1，＝(1，2，1)． 易得平面ABQ的一个法向量为＝(0，0，1)． 设二面角C­BQ­A的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 则cos θ＝＝， 即二面角C­BQ­A的余弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何，建立空间直角坐标系是解题的关键，线面垂直可以通过直线的方向向量进行相应的计算，二面角的平面角可以通过法向量之间进行相应的计算，就能够得到问题的解决. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用定义法求动点的轨迹的方程； （2）设，，直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，求出直线的方程和直线经过的定点. 【详解】（1）解：由题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离， 故点的轨迹为抛物线，其方程为. （2）证明： 设，，直线的方程为 ，． ，消去得：，，， ， 化简得，， 即直线的方程为：，恒过点． 18．(1)答案见解析 (2)1）；2)证明见解析 【分析】(1)先求的导函数,再分类讨论即可. (2)1)根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求. 2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得. 【详解】（1）,, 因为,定义域为 当时,,解,得,解,得 当时,,解,得,解,得 综上, 当时, 增区间为,减区间为, 当时, 增区间为,减区间为, （2）1）因为且存在三个零点. 所以有3个根 当时, , 在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根. 当,,即有两个根, 令,可转化为与有两个交点 , 可得,,是单调递增的, 可得,,是单调递减的, 其中,当, 所以可得, 即得. 2）因为且存在三个零点. 设，,易知其中 ,, 因为,所以,故可知;① 由1）可知与有两个交点, ,是单调递增的, ,,,所以;② , 若,则 若, 构造函数, 设, 因为 又因为, 所以③ 因为 又因为 所以 即得④ 由③④可知, ,在上单调递增, 可得 ,可知与同号 所以, 在上单调递增. ,,又由1)可知 所以, ,,是单调递增的, 所以⑤ 由①②⑤可知 【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题, 证明的方法总结:先构造,再确定的单调性, 结合特殊值得到再利用单调性可得. 19．(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）令，通过代入得为等比数列，则； （3）首先解得，再构造函数，利用导数得其单调性，再令，最后累加计算即可. 【详解】（1）记，由，得． 由，得，由，得． 由，得． 由，得． 在3与6之间有2个整数，在6与9之间有2个整数， 由及递增，得， 故． （2）令，则， 从而． 又，所以． 所以，即为等比数列， 所以，从而． 又，所以. 故． （3）由（2）得， 再由，解得． 令，则， 所以在上为增函数，从而，即． 令，得，所以． 所以 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $