湖南长沙市第一中学2026届高三下学期月考（九）数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4．在研究线性回归模型时，样本数据（，）（，2，…，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于响应变量变化的线性相关度，则（ ） A． B． C．0 D．1 5．在等比数列中，为其前项和，若，，，则的值为（ ） A． B． C．20 D．30 6．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为，设月球的半径为，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ） A． B． C． D． 7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知，，为单位向量，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．6 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A．直线与是平行直线 B．直线与有一个公共点 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 10．下列有关排列数、组合数的等式中，，，，正确的是（ ） A． B． C． D． 11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行白圈的个数为，其前项和为，黑圈的个数为，其前项和为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．不等式的解集为__________． 13．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，关于原点对称的两点，均在双曲线上，，且是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为__________． 14．若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好亚运故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在内，根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示．分数不低于850分的学生被称为“特优选手”． （1）求的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用按比例分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 16．（本小题满分15分） 如图，在平行六面体中，棱，底面是边长为2的正方形，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，满足，． （1）证明：； （2）求的内切圆半径的取值范围； （3）若，的内切圆上有一点，求点到，，三点的距离的平方和的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知，其中． （1）若，求在零点处图象的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个极值点，，，求证：． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，若圆：与抛物线：有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆． （1）试判断3是否为抛物线的和谐数．若是，求出3的和谐圆；若不是，请说明理由． （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 题号 6 > P 答案 c C D B B D B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项 符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.) 题号 9 10 11 答案 CD ACD AD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 2.【-7,2到18.55)14[是+ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)由频率分布直方图知(0.0015×2+a+0.0025+0.0010×100=1,解得a=0.0035.2 分 设第70百分位数为x,前两组的频率为0.0015+0.0035)×100=0.5， 前三组的频率为0.0015+0.0035+0.0025)×100=0.75，则x位于第三组数据中， 所以x-650 =750-x,解得x=730.4分 70%-50%75%-70% 平均数为500×0.0015+600×0.0035+700×0.0025+800×0.0015+900×0.0010×100=670.6分 (2)由(1)知分数在[750,850)，「850,950]内的两组学生分别有100×0.0015×100=15（人）， 100×0.0010×100=10(人)， 所以各自抽取的人数分别为10×，15 =6,10×,10。=4,则这10人中“特优选手”有4人， 15+10 15+10 故发自可能限氧为824州K=是言川==瓷-会 Px-答-川-瓷-音x-4g0 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 P 8 3-7 4 1 14 21 35 210 11分 8 数学期望E(X)=0× 3 18 +1× 2×+3×+4× .13分 14 21 1 35 2105 16.【解析】(1)如图，以A为坐标原点，AB,AD方向为x轴，y轴正方向，过点A且垂直于底面向上 方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则B2,0,0,D(0,2,0,C2,2,0),AB=（2,0,0,AD=0,2,0, 设AA=a,b,c,依题意得， (a4,4）=(a4,D=5 AA·AB 2 =C0S-π， 3 2a1 3 AA AB a=- 6 21 21 2 2b1 3 则 AA·AD =c0s5兀，→ AA AD 解得b= 6 21 2 a2+b2+c2=9, 3V2 A4=3 C= 2, 3332 .AA= 又BD=（-2,2,0), 2’2’2 .AA·BD=0,故BD⊥A4. 又在正方形ABCD中，BD⊥AC,且AC∩AA,=A, :BD⊥平面ACCA·7分 (2)由题意得，AB=AB+AA= 1335, 2-22 AC=(2,2,0), 设平面ABC的法向量为万=（x,y,z, 则 方：AB=0, 13.32 得22y+22=0取x=35,则y=-32,:-4, i·AC=0, 2x+2y=0, i=3v2,-3W2,-4 又由(1)知平面ACCA的一个法向量为BD=（-2,2,0), 设平面ABC与平面ACC,A的夹角为0， 则cos0=cos(BD, BD:列_313 BD 13 平面BC与平面ACC4的夹角的余弦值为3 2.15分 13 17.【解析】(1)在△ABC中，由anC>0知cosC>0,由余弦定理得， cosCt-+(b-c)(b+e)-b) 2ab 2ab 2ab ∴.b+c<1,∴.a+b+c<2b+C<2.4分 (2)由2ab1+cosC)=(a+b-c2=(a+b+cl(a+b-c,可得，=absinC=(a+b-c)sinc a+b+c2(1+cosC） 仅amc吃mC0sC,rt0 4 由(1)知，a<b+c<1,a∈(0,1， (3)由 ci=bta-2abcosC.f cosc-3 a2+b=c, 51 解得6=3， 25’c= 4,可知△4BC为L角色缃形，A骨 25 如图，以A为原点，AB,AC分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系， B 则8告0小c0)设内心r小，有+9，c,特r=5 2 Γ25 P(r+rcose,r+rsine),PA=(r+rcose)+(r+rsine)2, Pg=a0+r- 玉4-心o-aw若 k里wpf+Pg+Pcf忌w0品 625 当cos8=-1,即P0时，P4+Pa+Pcg得最大值号15分 625 18.【解析】(1)当a=0时，函数为fx)=xlnx-x,求导得f'(x=lnx, 令fx=xlnx-x=0,得lnx=l,解得x=e,即零点为e, 又切线斜率为f'(e)=1,所以切线方程为y=x-e.4分 (2》f")=nx+g-ar(x>0),记g=fx到=lhx+g-arx>0,则g(=-ar+r-a x2 (x>0),记px)=-ax2+x-a,分情况讨论： ①当a≤0时，g(x)=-a+x=>0,故'(x在(0，+o)上单调递塔， x2 ②当a>0时，p(x)为图象开口向下的二次函数，对称轴为直线x=1>0, 2a px)≤0，即g'(x)≤0，f'(x在(0，+0)上单调递减； 若0>0，即0<a<分p纠有两个正学点= 1-v1-4a2.1+V1-4a2 2a -，X2= 2a 2a U1+1-4a+o时，p(x)<0,即g(x)s0 2a 当xe1--4a1+v4 2a 时，p(x)>0,即g(x>0, 2a w上 1-V1-4a21+V1-4a2 1+V1-4a2 2a 上单调递减， 上单调递增， 2a 2a 2a 上单调递减， 综上，当a≤0时，f'(x在(0，+oo上单调递增： a≥时，x在0，+切上单调递减 当0<a<月 时，f(x)在 0 上单调递减， 2a 1-V1-4a21+V1-4a 上单调递增.10分 2a 2a f=lnx+a日f四=0， 1 因为f(x)有3个极值点，由(2)可知0<a< 1-V1-4a2 1+V1-4a2 记t1= ,t= 2a 2a 则f'x)在(0，t)上递减，（t,t2)上递增，（t2,+0)上递减， 由于tt2=1,t<t2,故<1，t2>1,因此1是∫x)的极小值点，记为x2, 由于f'x在(t,t2)上递增，故'(t2)>'1=0, 当x→+0时，'(x→-0，故f'(x在(52，+0)内有唯一零点x,即x为f(x)的极大值点， 小6 面e04小.s数号银人位点，事5=号 数当@0，)时，f四有3个极值点5’且码=，5立 由于y=x+1在(1，+o上递增， 故x++x=1+x+1>1+5,+1=1+6+5,=1+1>2a+1.17分 X3 a 19.【解析】(1)假设3是抛物线C的和谐数，则3的和谐圆为A:(x-32+y2=2, 由对称性，不妨设圆A与抛物线C有公共点T,2V), 显然抛物线C在点T处的切线，即曲线y=2√x在点T处的切线， 1 易知该切线的斜率为y= VXo ,圆A与抛物线C在点T处有相同的切线， 2-0.1=-1,解得x=1, x0-3√x0 ∴.圆A与抛物线C有公共点T(1,2), ·和谐圆的半径为V3-1)2+(0-22=2√2， ∴3是抛物线C的和谐数，且3的和谐圆为x-3)+y2=8.5分 (2)由对称性，只需考虑了，T,,T均在x轴上方的情形，不妨设T,(x,2V) (i):a为抛物线C的和谐数，∴a的和谐圆为A:(x-a)+y2=, ·由(1)可知，2金-01 =-1,解得x=a-2,Ta4-2,2Va-2 Xk-ak xk T在圆A上，n=Va-2-a)}2+(2Va-2=2Va-1, k∈{2,3，…，n-1,n川，圆A1与A外切，且a-1<a4, ak-a1=r-1+=2Vak-1-1+2Va-1, 即(ag-1-(a-1-1=2√a-1-1+2Va4-1, Va4-1-Va-1-1=2, 数列{V口，-可是等差数列，其公差为2，首项为Va-1=2, ∴Van-1=2+2(n-1）=2n,即an=4n2+1, .数列{an}的通项公式为an=4n2+1.10分 (i)证明：显然点A,(1,0)为抛物线C的焦点，∴A,T=a-1=4k2, 易知4，A=4k2，且4，T=r=2Va-1=4k，∴aA4T为等腰三角形， y=4x A 易知△4,4T,的面积S=4kV4k2-(2=42.V4k2-, 当≥2w,41-2-子>22-2石=2》 a8>4-2k-=8-, 1 1 1「11 S8(k3-k)8k(k-1(k+1)16k(k-1)k(k+1 1<1「1 对小日 不等式∑1<得证.17分 2S32