精品解析：湖南汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式可得，即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得， 故，结合故， ，故， 故选：B 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，进而可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】，， 因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项． 【详解】由题意可得：恒成立， 所以函数在上递增， 又， 所以函数是奇函数， 当，即， 所以，解得， 当时，则，显然不成立； 反之，当，则，成立， 所以是的必要不充分条件 故选：B． 4. 已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（ ） A. 4048 B. 4046 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再得，利用高斯函数的定义计算即可. 【详解】由题设知， 故是首项为4，公差为2的等差数列，则， 由累加法可知当时， ， 所以，又也符合该式，所以， 所以 又时，，时，， 所以. 故选：D 5. 已知，若满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定和的零点，使两者的零点重合，通过比较系数，可令，进而可求得的值，然后再验证即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 为了使，的零点应该与零点重合， 所以， 令，可得， 因为，所以可取或， 当时，， 因为， 所以明显在同区间内，除零点外两者同号，舍去； 当时，， 因为， 所以明显在同区间内，除零点外两者异号，符合题意. 所以. 故选：C 6. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．直线恒过定点与动点的轨迹交于两点，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据列等式，整理得动点的方程，根据直线恒过定点，根据几何知识可求弦长的最小值. 【详解】设，由，得， 整理得，所以动点的轨迹是圆心为，半径的圆， 直线恒过定点，，点在圆内， 由几何知识可得当时，圆心到直线距离最大，弦长最小， 所以. 故选：A. 7. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案. 【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围， 依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：， 则， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和， 即， 综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可. 8. 已知函数，，（为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，利用导数研究单调性比较a、b的大小，再由奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究单调性，进而利用的单调性得，再结合的单调性、奇偶性比较大小. 【详解】设，则， 当时，为减函数，则，得，即． 由，则为偶函数， 又，则，即为增函数，又， 所以，当时，为增函数． 令且，则，即递增， 所以，即在上恒成立，取，得， 所以，故， 综上，． 故选：． 【点睛】关键点点睛：首先构造，应用导数研究单调性比较参数的大小关系，再利用导数研究单调性比较函数值的大小关系. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D. 从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误. 【详解】随机变量，正态曲线关于对称，则, ,即，故正确； 随机变量，则， 故，故错误； ∵，∴两边取对数得，令， 可得， ∵，∴，，∴，故正确； 从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生，其概率为,则其中至少有一名女生的概率为， 故不正确； 故选:． 10. 已知F为抛物线C：的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C在点处的切线过点K B. 的最大值为 C. D. 存在点P，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】研究第一象限内的情况，令且抛物线对x求导有，A：由导数的几何意义求切线方程，即可判断切线是否过过点K；B：当直线与抛物线相切时最大，则即可求的最大值；C：由，结合抛物线定义可判断函数值是否相等；D：由B、C知、，故存在点P使得，则与在上有交点即可，应用数形结合法判断是否有交点. 【详解】由抛物线的对称性，以下只讨论在第一象限内的情况，令在第一象限且有， A：抛物线C在点处的切线为，而，即切线过点K，正确. B：当直线与抛物线相切时最大，此时有，解得，则，即的最大值为，错误； C：如上图，由抛物线定义知：，，所以，，即，正确； D：若存在P使得，在△中，即，结合B有，，由C知：，问题转化为与在上是否有交点： 1、在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减； 2、当时，；当时，； 3、、在上连续； 如下图示，在上、存在一个交点，即在上可以成立，正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：应用导数的几何意义求切点处的斜率，并写出切线方程进而判断是否过定点判断A；由直线与抛物线相切时，直线与x轴正方向的夹角最大，求最大值；利用抛物线定义，结合在相关直角三角形中对应边的比例关系判断C；将问题转化为与在上是否有交点判断D. 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点的坐标和中点的坐标，然后利用空间向量数量积的坐标运算求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；求得与的坐标，根据平行向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由题可得点的运动轨迹，然后求得点在侧面内运动路径长，判断C选项；由空间向量投影求得球心到直线的距离，即可求得球心到过直线的平面的最大距离，从而求得截面圆的半径，然后得到其面积，判断D选项. 【详解】以正方体顶点为原点，建立如图空间直角坐标系，则. 则. 对于A，， 所以，故A正确. 对于B，若点为棱的中点，则，所以. 因为，所以不存在实数，使得，所以B错误. 对于C，因为，所以点在以点为球心的球面上. 又点是正方体侧面上的动点（含边界），所以点在侧面内运动轨迹是球的球面与侧面的交线. 因为侧面，且， 所以点在侧面内运动轨迹是以为圆心的圆与侧面内的交线，即圆心角为的圆弧，且半径为. 所以其路径长为.所以C正确. 对于D，易得正方体的内切球球心为正方体的中心，所以，半径为1. 所以，所以球心到直线的距离为， 所以球心到过直线的平面的最大距离为，此时截面圆的面积最小. 截面圆半径为，所以此时的截面圆面积为.所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知抛物线C：，则抛物线C准线方程为:___. 【答案】 【解析】 【分析】把抛物线C的方程化为标准方程，求出p值，依据开口方向写出准线方程. 【详解】抛物线C：，即，∴，开口向上，故准线方程为. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，利用赋值法可得特定项系数. 【详解】由已知可得二项展开式的通项， 令，可得， 则， 即项的系数为， 故答案为：. 14. 已知等腰梯形是半径为2的圆的内接四边形，且，，则等腰梯形的四条边长的乘积的最大值为__________． 【答案】36 【解析】 【分析】如图所示，连接，设，，则，根据正弦定理 得到乘积为，设，得，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：连接，设，，则． 在中，，，， 在，，， 故梯形的四条边乘积 ， 设，得，，， ， （当且仅当时，等号成立）． ，当时，取得最大值． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了正弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力， 转化能力和综合应用能力，其中引入变量，将乘积转化为关于的函数关系再利用均值不等式求解是解题的关键. 四、解答题 15. 已知，，且. （1）求的单调递增区间. （2）在锐角中，，，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示以及辅助角公式化简，再由正弦函数的单调递增区间即可求解； （2）根据求出角，进而可得，由是锐角三角形可得角的范围，再由正弦定理可将边表示成关于角的函数，再由三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 令，可得，， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，所以，， 可得，， 在中，由正弦定理得， 即， 因为为锐角三角形，所以即， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明面，由判定定理可得平面与平面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）设，利用向量法求解即可判断是否存在. 【小问1详解】 由，即△为等腰直角三角形， 又是直角梯形且，且， 所以，因为， 故为等腰直角三角形， 所以，，， 又，， ∴，， 又，即， ∴四边形为平行四边形，则. 又，故， 由底面，面，则. 又， ∴面， 而面， ∴平面平面. 【小问2详解】 直线与平面所成角的平面角为， 则，. 如下图，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐 标系. ∴，， ∴， 若是面的一个法向量， 则， 令有， 易知，是面的一个法向量， ∴. 又二面角为锐二面角， ∴当直线与平面所成的角为时，二面角的余弦值为. 【小问3详解】 在第（2）问条件下，线段上不存在点，使得平面，理由如下： ，是面的一个法向量. 设，则， 从而. 若平面，则，解得，不合题意， 所以线段上不存在点，使得平面. 17. 已知曲线C的方程为． （1）求曲线C的离心率； （2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知点到点的距离之和为4，且，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为4，焦距为2，从而可求出离心率； （2）由（1）可求得曲线C的方程为，则，所以直线l为，设，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出的中点坐标，则可得线段的垂直平分线的方程，则可表示出点P的坐标，从而可表示出，再利用弦长公式表示出，进而可得的值 【详解】（1）解：由可知，点到点的距离之和为4，且， 根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆． 设椭圆的长轴长为，焦距为， 则， 所以曲线C的离心率为． （2）证明：设椭圆的短轴长为， 由（1）可得， 所以曲线C的方程为，则． 由题意可知，动直线l的方程为， 设， 由 得， 所以． 设的中点为， 则，． 当时，线段的垂直平分线的方程为， 令，得， 所以， ， 所以． 当时，l的方程为， 此时，． 综上，为定值． 18. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，f（x）为增函数，恒成立，参变分离得到，再对进行基本不动处理可解实数a的取值范围. （2）①对函数求导，分类讨论，根据极值确定零点，求得实数a的取值范围. ②根据极值点偏移及齐次化证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立. 即恒成立，，即， ∵，当时取等， ∴. 【小问2详解】 ① 定义域为， 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是，即， 又， 所以在上存在一个零点. 当时，，所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. ② 当时，由， 所以，， 所以， ，， 要证明 ， 只需证明 而， 令，则，欲证明 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以 19. 设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． （1）若，求； （2）若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）10 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式，计算出总数和满足题意的情况数即可； （2）（i）计算出集合中有7个元素总情况数，再计算出时，集合的非空子集个数，再利用古典概型公式即可； （ii）通过分析得，，再利用均值公式结合等比数列求和公式即可得到答案. 【小问1详解】 当时，集合的非空子集的个数为， 其中这些子集中最大元素为4的集合个数为， . 【小问2详解】 （i）当集合中的最大元素和最小元素分别为8，2， 元素个数最少时， 元素个数最多时为7元素集， 集合的可能情况有个； 当时，集合的非空子集个数为个； 且. （ii）当时，集合的非空子集个数为511个， 其中，最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， . 最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， ， . 【点睛】关键点点睛；本题第二问第二小问的关键是根据集合的知识得到，最后再代入均值公式计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月阶段性检测数学试题 一、单选题 1. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（ ） A. 4048 B. 4046 C. 2023 D. 2024 5. 已知，若满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．直线恒过定点与动点的轨迹交于两点，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 7. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知函数，，（为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D. 从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 10. 已知F为抛物线C：的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C在点处的切线过点K B. 的最大值为 C. D. 存在点P，使得 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题 12. 已知抛物线C：，则抛物线C准线方程为:___. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知等腰梯形是半径为2的圆的内接四边形，且，，则等腰梯形的四条边长的乘积的最大值为__________． 四、解答题 15. 已知，，且. （1）求的单调递增区间. （2）在锐角中，，，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17. 已知曲线C的方程为． （1）求曲线C的离心率； （2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值． 18. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 19. 设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． （1）若，求； （2）若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $