函数与导数：求和型不等式恒成立问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

函数与导数：求和型不等式恒成立问题复习讲义 函数与导数：求和型不等式恒成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将求和型不等式恒成立转化为函数最值的判定与求解，核心逻辑：先通过放缩法将求和项与单变量函数关联（如证，则），再利用导数研究的单调性、最值实现放缩；或直接构造关于的函数，将其视为连续函数延拓后用导数分析，最终通过函数最值约束求和式的范围，满足恒成立条件。 核心本质：以导数证单变量不等式，以单变量不等式放缩求和项，以最值定恒成立范围。 二、通用解题思路（四步法，核心：放缩单变→导数证单变→求和放缩→最值定恒成立） 步骤1：拆分求和项，构造单变量函数 观察求和型不等式（或，含参则为）的通项，将其改写为单变量的函数（延拓为），核心目标：找到简单函数，使（或），且易通过导数证明不等式、易求和。 关键：通项多为指对、分式、幂函数型，优先构造可放缩为裂项型、等比型的单变量函数。 步骤2：用导数证明单变量放缩不等式 构造差值函数（或），利用导数研究的单调性、最值，证明单变量不等式（或）在时恒成立： 1. 求，分析在的单调性（单调增/减/先减后增）； 2. 求在的最值（或），证得放缩式成立； 高频技巧：若直接证困难，可先证（用导数求的最大值），再用最大值求和放缩。 步骤3：单变量放缩式求和，约束求和项范围 将步骤2证得的单变量放缩式代入求和项，对进行放缩，转化为可直接求和的形式（裂项相消、等比求和、常数求和），得到求和项的范围： - 若，则； - 若，则； 关键：放缩后得到的需为有界型（如）或可求最值型（如），便于后续恒成立判定。 步骤4：分析放缩后和式的最值，定恒成立条件 根据放缩结果的类型，结合恒成立要求，通过最值/极限确定最终结论（无参证恒成立，含参求参数范围）： 1. 无参型（证/）： 若单调递增且（或单调递减且），则原不等式恒成立；若有最值，证的最值满足不等关系即可。 2. 含参型（求使恒成立）： 放缩后得，则只需；或直接求和得，将视为关于的函数（或延拓为连续函数），用导数求其最小值，令最小值解范围。 三、高频考向及专属解法 考向1：无参求和型不等式恒成立（证明类，如证） · 解法：单变量放缩+导数证明 0. 构造单变量函数（），找放缩式：证（），时等号成立； 0. 构造，求导得（），故，放缩式成立； 0. 求和：，原不等式得证。 · 核心：优先将求和通项放缩为整式、裂项式，便于直接求和。 考向2：含参求和型不等式恒成立（求参数范围，如，恒成立，求范围） · 解法：裂项放缩+导数辅助（或直接求和定最值） 0. 通项裂项：（），求和得； 0. 将视为的函数，分析单调性：单调递增，故； 0. 恒成立条件：，结合裂项意义解； 0. 导数验证：若通项无法裂项，构造单变量，用导数证的单调性，确定求和项的最小值。 考向3：通项为指对混合型求和恒成立（如证） · 解法：单变量最值放缩+导数 0. 构造（），用导数求在的最小值：，； 0. 故，，即（）； 0. 求和：，原不等式得证。 · 核心：用导数求通项单变量函数的最值，将通项放缩为常数，简化求和。 四、核心技巧与关键提醒 1. 单变量延拓原则：将正整数变量延拓为连续变量，才可使用导数，放缩式需保证在时成立； 1. 放缩精度把控：放缩不可过度（如证，若放缩后得，则放缩无效），优先局部放缩（如时放缩，单独计算）； 1. 求和项单调性判定：若直接求和得，无需放缩时，可作差，结合导数证/，确定的单调性，直接求最值； 1. 含参分类讨论：参数出现在通项的分母、指数时，需按参数的临界值（如、）分类，分别构造放缩式、求求和项的最值； 1. 逆向构造技巧：若证，可将拆分为，证，再用导数证单变量不等式。 例题分析 例1．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）易知， 当时，，此时， 又， 所以切线方程为，即； （2）由（1）可知， 若，即时，， 此时函数在区间上单调递增， 因此，符合题意； 若，即， 当时，，函数在区间上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述，的取值范围为. （3）证明： 先证右侧不等式，如下： 由（2）可得，当时，有， 可得，所以， 即， 则有； 即，右侧不等式得证； 左侧不等式证明如下： 构造函数，则在上恒成立； 即在上单调递减，可知， 可得，也即， 可得， 因此， 可得 又因为， 所以， 故，左侧得证； 综上可得，不等式成立. 例2．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故当时，在点处的切线方程为. （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故，. 例3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点 (3)证明见解析 【详解】（1）， 令，则， 而且，所以， 即在上单调递增，， 所以，即在上单调递增， 所以； （2）①时，，， 所以在上单调递增，又， 则此时有且仅有1个零点； ②时，在上小于0，在上大于0， 即在上单调递减，在上单调递增， 又且，则存在唯一的， 即在和上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，， 则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数有且仅有2个零点； 综上所述，当时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点； （3）令，且时，得，再令， 代入化简可得， 则 ， 则. 例4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设，. (1)当时，求证：； (2)求证：（，）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）∵，且， ∴为偶函数， 下面取，可知， 令. ∵，则，则在上单调递增， 可得，即在上恒成立，可知在上单调递增， ∴在上的最小值为，结合偶函数性质可知. （2）由（1）可得，当时，， 当且仅当时，等号成立，即. 令，，，则， 当时，， 即， 则，，…，， 相加可得. 因为，则， 所以， 即（，）. 变式训练 变式1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 变式2．（2026·浙江·一模）在正弦曲线上有一点，按照如下方式依次构造点：作曲线在处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与正弦曲线交于点，记的坐标为，已知，设. (1)证明：； (2)若对任意正整数，都有成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意正整数，有成立. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）记函数，则 因此在上单调递增，故，所以即. （2）由题意可得直线的方程为， 将点代入，得，即. 由题意得即，由（1）得，即 另一方面，记函数，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 即，故在上单调递增，而， 由零点存在定理可得存在唯一使得即. 因此当时，，而为偶函数， 故当时，. 当时，.假设时，则 ，故. 由此归纳可得 所以即. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）得当时且，故. 另一方面，，故 故 所以. 变式3．（25-26高三上·福建福州·期末）已知函数，设在处的切线为直线. (1)求直线的方程； (2)若的图象在直线的上方（除点外）， ①求的取值范围； ②证明：对于任意的正整数，成立. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题得，，所以， 所以在处的切线为， 即. （2）①由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 所以， 令，， （Ⅰ）当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，符合题意. （Ⅱ）当时，令， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，即 取，则有，所以， 则有 ， 与在上恒成立矛盾，舍去， 综上，， 所以的取值范围为. ②先证：，， 令，则， 当时，由①知在上单调递增， 因为， 所以，即，在上单调递减， 所以，即对，有， 所以，， 所以， 当时， ， 当时，， 所以， 由①知，，则， 所以在上单调递增，， 所以，. 变式4．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)证明：（ⅰ）当时，； （ⅱ）当，且时，； (2)若正实数，满足，证明：. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）（ⅰ）要证当时，，即证：. 令，， 则， 因为，所以，，则，又因为， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即，所以， 即当时，； （ⅱ）因为，令， 则在时恒成立， 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减； 令，， 则， 因为，，所以，所以， 所以在上单调递减，因为，所以， 即，所以； （2）因为正实数，满足，所以， 由（1）中的（ⅰ）得，. 由（1）中的（ⅱ），得 ； 综上，. 实战演练 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，求导得. 所以. 所以在处的切线方程为. （2）求导得，令，则. 当时，因为，所以，所以恒成立； 当时，因为，所以， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增，，满足条件. 当时，因为，所以， 所以，所以在上单调递增，所以. 即，因为，所以设使得. 当时，，单调递减，，不满足题意. 综上，的取值范围是. （3）由（2）可知，当时，对任意的恒成立， 即，变形可得. 分别令，可得：. 将上述不等式累加可得：. 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数，. (1)当时，讨论的零点的个数； (2)若在处取得极大值，求的取值范围； (3)当时，证明：. 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 又，即0是的一个零点. 因, 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因为，， 又图象是不间断的，所以在上存在1个零点. 故的零点的个数为2. （2）定义域为， 易知， ①当时，, 令得，列表如下： x 1 - 0 + 极小值 此时在处取得极小值，不符合题意； ②当时，，列表如下： x 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 此时在处取得极小值，不符合题意； ③当时，，，在上单调递增，此时无极值. ④当时，，列表如下：此时在处取得极大值，符合题意. x 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 综上所述，实数a的取值范围是. （3）因为，，所以在点处的切线方程为. 设，下面证明：当时，. 设，则， 设，则， 当时，，，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减，所以， 即，从而. 设数列的前n项和为，则， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：求和型不等式恒成立问题复习讲义 函数与导数：求和型不等式恒成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将求和型不等式恒成立转化为函数最值的判定与求解，核心逻辑：先通过放缩法将求和项与单变量函数关联（如证，则），再利用导数研究的单调性、最值实现放缩；或直接构造关于的函数，将其视为连续函数延拓后用导数分析，最终通过函数最值约束求和式的范围，满足恒成立条件。 核心本质：以导数证单变量不等式，以单变量不等式放缩求和项，以最值定恒成立范围。 二、通用解题思路（四步法，核心：放缩单变→导数证单变→求和放缩→最值定恒成立） 步骤1：拆分求和项，构造单变量函数 观察求和型不等式（或，含参则为）的通项，将其改写为单变量的函数（延拓为），核心目标：找到简单函数，使（或），且易通过导数证明不等式、易求和。 关键：通项多为指对、分式、幂函数型，优先构造可放缩为裂项型、等比型的单变量函数。 步骤2：用导数证明单变量放缩不等式 构造差值函数（或），利用导数研究的单调性、最值，证明单变量不等式（或）在时恒成立： 1. 求，分析在的单调性（单调增/减/先减后增）； 2. 求在的最值（或），证得放缩式成立； 高频技巧：若直接证困难，可先证（用导数求的最大值），再用最大值求和放缩。 步骤3：单变量放缩式求和，约束求和项范围 将步骤2证得的单变量放缩式代入求和项，对进行放缩，转化为可直接求和的形式（裂项相消、等比求和、常数求和），得到求和项的范围： - 若，则； - 若，则； 关键：放缩后得到的需为有界型（如）或可求最值型（如），便于后续恒成立判定。 步骤4：分析放缩后和式的最值，定恒成立条件 根据放缩结果的类型，结合恒成立要求，通过最值/极限确定最终结论（无参证恒成立，含参求参数范围）： 1. 无参型（证/）： 若单调递增且（或单调递减且），则原不等式恒成立；若有最值，证的最值满足不等关系即可。 2. 含参型（求使恒成立）： 放缩后得，则只需；或直接求和得，将视为关于的函数（或延拓为连续函数），用导数求其最小值，令最小值解范围。 三、高频考向及专属解法 考向1：无参求和型不等式恒成立（证明类，如证） · 解法：单变量放缩+导数证明 0. 构造单变量函数（），找放缩式：证（），时等号成立； 0. 构造，求导得（），故，放缩式成立； 0. 求和：，原不等式得证。 · 核心：优先将求和通项放缩为整式、裂项式，便于直接求和。 考向2：含参求和型不等式恒成立（求参数范围，如，恒成立，求范围） · 解法：裂项放缩+导数辅助（或直接求和定最值） 0. 通项裂项：（），求和得； 0. 将视为的函数，分析单调性：单调递增，故； 0. 恒成立条件：，结合裂项意义解； 0. 导数验证：若通项无法裂项，构造单变量，用导数证的单调性，确定求和项的最小值。 考向3：通项为指对混合型求和恒成立（如证） · 解法：单变量最值放缩+导数 0. 构造（），用导数求在的最小值：，； 0. 故，，即（）； 0. 求和：，原不等式得证。 · 核心：用导数求通项单变量函数的最值，将通项放缩为常数，简化求和。 四、核心技巧与关键提醒 1. 单变量延拓原则：将正整数变量延拓为连续变量，才可使用导数，放缩式需保证在时成立； 1. 放缩精度把控：放缩不可过度（如证，若放缩后得，则放缩无效），优先局部放缩（如时放缩，单独计算）； 1. 求和项单调性判定：若直接求和得，无需放缩时，可作差，结合导数证/，确定的单调性，直接求最值； 1. 含参分类讨论：参数出现在通项的分母、指数时，需按参数的临界值（如、）分类，分别构造放缩式、求求和项的最值； 1. 逆向构造技巧：若证，可将拆分为，证，再用导数证单变量不等式。 例题分析 例1．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 例2．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 例3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中． 例4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设，. (1)当时，求证：； (2)求证：（，）. 变式训练 变式1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 变式2．（2026·浙江·一模）在正弦曲线上有一点，按照如下方式依次构造点：作曲线在处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与正弦曲线交于点，记的坐标为，已知，设. (1)证明：； (2)若对任意正整数，都有成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意正整数，有成立. 变式3．（25-26高三上·福建福州·期末）已知函数，设在处的切线为直线. (1)求直线的方程； (2)若的图象在直线的上方（除点外）， ①求的取值范围； ②证明：对于任意的正整数，成立. 变式4．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)证明：（ⅰ）当时，； （ⅱ）当，且时，； (2)若正实数，满足，证明：. 实战演练 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数，. (1)当时，讨论的零点的个数； (2)若在处取得极大值，求的取值范围； (3)当时，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $